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对于中小学而言，手持技术主要指图形计算器GC（Graphing Calculator）、数据库、传感器等机件连接而成的一套系统.它不仅能支持教师的演示与讲解，更能为学生的数学探究与合作交流提供支持，对数学的教学方法产生重要影响，对数学教育产生深远意义.[1]
函数是高中数学的主线，与导数、不等式、数列、解析几何等都有密切的联系，是知识的“十字路口”，同时也是学生数学学习中的重点和难点.一方面，高中函数要求学生会用抽象的集合与对应的数学符号语言来刻画（构造）函数，用运动变化的观点、集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的数量关系，并建立函数关系；另一方面，由于高中数学课堂容量较大，教师较多地采用“讲解—传授”的教学模式，函数知识的高度抽象性和课堂的大容量、快节奏成为学生学习函数很难逾越的“两座大山”，同时也造成了教师函数教学的困难，师生双方都有一定的“恐函症”.复合函数的性质比较隐蔽，研究起来更是困难，一是因为解析式本身就复杂，二是因为复合函数的图象难以绘制.
在函数教学中恰当合理地应用TI Npsire CAS手持技术势必会对传统函数教学带来一定的革新，产生良好的图感，解决以上提到的函数教与学中的难题，能以有效的方式传递数学教学过程中的各种信息，而且使教师、学生、教学内容之间的互动关系得到强化.复合函数显然是函数问题中较为困难的，解决了这类问题能对解决其他函数问题奠定良好的心理优势.针对以上研究复合函数性质困难的两个原因，我们可以应用TI Npsire CAS手持技术从“数”和“形”两方面寻求突破.
一、先“数” 后“形”：先数学探究再用图形计算器验证
【案例1】研究函数f（x）=-sin2x sinx的性质
函数f（x）=-sin2x sinx是由内函数t=sinx与外函数y=-t2 t复合而成的，先研究其在一个周期[0，2π]内的情况.如图1、图2，因为外函数y=-t2 t=-（t-）2 在（-∞，）上单调递增，在（， ∞）上单调递减，由于t既是内函数t=sinx的函数值，又是外函数y=-t2 t的自变量，所以，在内函数t=sinx的图象中，画一条直线t=，与正弦曲线t=sinx的交点的横坐标为x=，，而函数t=sinx在[0，]上单调递增，在[，]单调递减，在[，2π]单调递增.综合以上原因，要把自变量x所在的区间分成[0，]，[，]，[，]，[，]，[，2π]五种情况讨论，其中当x∈[0，]时，t=sinx单调递增，t∈[0，]，y=-t2 t在t∈[0，]上单调递增，所以原函数f（x）=-sin2x sinx在[0，]上单调递增.同理，依据“内函数与外函数同增异减”的复合函数单调性规律，可讨论原函数在[，]，[，]，[，]，[，2π]上的单调性（如图3所示）.
这是依据“内函数与外函数同增异减”的单调性规律，用代数推理的方法探究复合函数函数的性质，对不对呢？用TI Npsire CAS图形计算器验证便知.在图形计算器中输入f（x）=-sin（x）·sin（x） sin（x），立即得到图4，显然图形计算器呈现的函数图象与代数探究的图象基本一致！接下来复合函数的其他性质就比较简单了.
（1）周期性：T=2π；
（2）奇偶性：非奇非偶函数；
（3）单调性：单调增区间为[- 2kπ， 2kπ]，[ 2kπ， 2kπ]，k∈Z，单调减区间为[ 2kπ， 2kπ]，[ 2kπ， 2kπ]，k∈Z；
（4）最值：当x= 2kπ（k∈Z）或x= 2kπ（k∈Z）时，函数取到最大值，当x=- 2kπ（k∈Z）时，函数取到最小值-2.
二、先“形”后“数”：先用图形计算器作图再阐述其数学意义
GC的显著优势是可以架起数学对象的高度抽象性与形象化之间的桥梁，使得复杂的思维过程得以简化.这个优势恰恰又是它的“软肋”！
要注意GC的数学现代应用技术与数学意义之间的关系，学生在使用GC时会说：“一键OK！”但是数学教育的意义在于探讨为什么会是这样.我们手握GC时，前人把数学的严谨性与逻辑性，数学之“理”就浓缩在GC内.它是无数数学人的智慧的集体结晶.
【案例2】研究函数f（x）=-sin的性质
对于这个函数，如果我们仍然先“数” 后“形”，按照复合函数的思路去研究，很难作出其大致图象.对这个问题我们不妨先“形” 后“数”，借助于TI Npsire CAS图形计算器先作图（如图5），再阐述其数学意义.
直观性背后之“理”：
（1）定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性如何？为什么？
（2）为什么当x∈[， ∞）时函数单调递减？而且在x轴上方向右无限趋于0？
（3）为什么图象越靠近0震荡越激烈？
事实上，由解析式f（x）=-sin易知函数的定义域是（-∞，0）∪（0， ∞），值域是[-1，1]，无周期性，是非奇非偶函数.单调性比较复杂，图象越靠近0震荡越激烈，但是当x∈[， ∞）时函数单调递减，这完全可以依据“内外函数同增异减”复合函数的单调性规律，得到代数意义上的理性解释，这里不再赘述.在x轴上方向右无限趋于0是因为x→ ∞；→0，sin>0且sin→0，至于为什么图象越靠近0震荡越激烈，我们可以这样“悟”直观性背后之“理”：设=t，令t∈[2kπ，2kπ 2π]，不妨设k∈Z，k>0，则x∈[，]，k∈Z，当k→ ∞时，x→0，完成一个正弦周期的图象的x的取值区间长度-→0，反映在图象上就是越靠近0震荡越激烈.
与其他教学软件不同的是，图形计算器与数学整合可以不囿于教师演示的局限，能真正交到学生手中.学生可以在手持技术的支持下，自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”，在此过程中学生以研究者的身份进行学习，由“听数学”转为“做数学”.
手持技术的应用开创了今天数学教学的数字化时代，但是人们在享受技术带来便利的时候，却远远没有感受到建立数学模型、解决数学问题的艰涩历程以及数学的博大精深.对于一般人不必强求，但是作为数学教育者，因为“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”，我们要引导学生去“悟”直观性背后之“理”！ 最终使我们的学生不仅仅是汽车驾驶员，而且是汽车4S店修理师，甚至是汽车设计者和生产商.这样学生通过经历“听数学”—“做数学”—“悟数学”，才能真正地变被动接受为主动研究，从而逐步提升学生的数学思维水平，培养学生的数学素养.
参考文献：
[1] 曹一鸣，王长沛.MCL 环境支持下的中学数学教学研究[J].数学教育学报，2009，18（2）：56-58.
函数是高中数学的主线，与导数、不等式、数列、解析几何等都有密切的联系，是知识的“十字路口”，同时也是学生数学学习中的重点和难点.一方面，高中函数要求学生会用抽象的集合与对应的数学符号语言来刻画（构造）函数，用运动变化的观点、集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的数量关系，并建立函数关系；另一方面，由于高中数学课堂容量较大，教师较多地采用“讲解—传授”的教学模式，函数知识的高度抽象性和课堂的大容量、快节奏成为学生学习函数很难逾越的“两座大山”，同时也造成了教师函数教学的困难，师生双方都有一定的“恐函症”.复合函数的性质比较隐蔽，研究起来更是困难，一是因为解析式本身就复杂，二是因为复合函数的图象难以绘制.
在函数教学中恰当合理地应用TI Npsire CAS手持技术势必会对传统函数教学带来一定的革新，产生良好的图感，解决以上提到的函数教与学中的难题，能以有效的方式传递数学教学过程中的各种信息，而且使教师、学生、教学内容之间的互动关系得到强化.复合函数显然是函数问题中较为困难的，解决了这类问题能对解决其他函数问题奠定良好的心理优势.针对以上研究复合函数性质困难的两个原因，我们可以应用TI Npsire CAS手持技术从“数”和“形”两方面寻求突破.
一、先“数” 后“形”：先数学探究再用图形计算器验证
【案例1】研究函数f（x）=-sin2x sinx的性质
函数f（x）=-sin2x sinx是由内函数t=sinx与外函数y=-t2 t复合而成的，先研究其在一个周期[0，2π]内的情况.如图1、图2，因为外函数y=-t2 t=-（t-）2 在（-∞，）上单调递增，在（， ∞）上单调递减，由于t既是内函数t=sinx的函数值，又是外函数y=-t2 t的自变量，所以，在内函数t=sinx的图象中，画一条直线t=，与正弦曲线t=sinx的交点的横坐标为x=，，而函数t=sinx在[0，]上单调递增，在[，]单调递减，在[，2π]单调递增.综合以上原因，要把自变量x所在的区间分成[0，]，[，]，[，]，[，]，[，2π]五种情况讨论，其中当x∈[0，]时，t=sinx单调递增，t∈[0，]，y=-t2 t在t∈[0，]上单调递增，所以原函数f（x）=-sin2x sinx在[0，]上单调递增.同理，依据“内函数与外函数同增异减”的复合函数单调性规律，可讨论原函数在[，]，[，]，[，]，[，2π]上的单调性（如图3所示）.
这是依据“内函数与外函数同增异减”的单调性规律，用代数推理的方法探究复合函数函数的性质，对不对呢？用TI Npsire CAS图形计算器验证便知.在图形计算器中输入f（x）=-sin（x）·sin（x） sin（x），立即得到图4，显然图形计算器呈现的函数图象与代数探究的图象基本一致！接下来复合函数的其他性质就比较简单了.
（1）周期性：T=2π；
（2）奇偶性：非奇非偶函数；
（3）单调性：单调增区间为[- 2kπ， 2kπ]，[ 2kπ， 2kπ]，k∈Z，单调减区间为[ 2kπ， 2kπ]，[ 2kπ， 2kπ]，k∈Z；
（4）最值：当x= 2kπ（k∈Z）或x= 2kπ（k∈Z）时，函数取到最大值，当x=- 2kπ（k∈Z）时，函数取到最小值-2.
二、先“形”后“数”：先用图形计算器作图再阐述其数学意义
GC的显著优势是可以架起数学对象的高度抽象性与形象化之间的桥梁，使得复杂的思维过程得以简化.这个优势恰恰又是它的“软肋”！
要注意GC的数学现代应用技术与数学意义之间的关系，学生在使用GC时会说：“一键OK！”但是数学教育的意义在于探讨为什么会是这样.我们手握GC时，前人把数学的严谨性与逻辑性，数学之“理”就浓缩在GC内.它是无数数学人的智慧的集体结晶.
【案例2】研究函数f（x）=-sin的性质
对于这个函数，如果我们仍然先“数” 后“形”，按照复合函数的思路去研究，很难作出其大致图象.对这个问题我们不妨先“形” 后“数”，借助于TI Npsire CAS图形计算器先作图（如图5），再阐述其数学意义.
直观性背后之“理”：
（1）定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性如何？为什么？
（2）为什么当x∈[， ∞）时函数单调递减？而且在x轴上方向右无限趋于0？
（3）为什么图象越靠近0震荡越激烈？
事实上，由解析式f（x）=-sin易知函数的定义域是（-∞，0）∪（0， ∞），值域是[-1，1]，无周期性，是非奇非偶函数.单调性比较复杂，图象越靠近0震荡越激烈，但是当x∈[， ∞）时函数单调递减，这完全可以依据“内外函数同增异减”复合函数的单调性规律，得到代数意义上的理性解释，这里不再赘述.在x轴上方向右无限趋于0是因为x→ ∞；→0，sin>0且sin→0，至于为什么图象越靠近0震荡越激烈，我们可以这样“悟”直观性背后之“理”：设=t，令t∈[2kπ，2kπ 2π]，不妨设k∈Z，k>0，则x∈[，]，k∈Z，当k→ ∞时，x→0，完成一个正弦周期的图象的x的取值区间长度-→0，反映在图象上就是越靠近0震荡越激烈.
与其他教学软件不同的是，图形计算器与数学整合可以不囿于教师演示的局限，能真正交到学生手中.学生可以在手持技术的支持下，自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”，在此过程中学生以研究者的身份进行学习，由“听数学”转为“做数学”.
手持技术的应用开创了今天数学教学的数字化时代，但是人们在享受技术带来便利的时候，却远远没有感受到建立数学模型、解决数学问题的艰涩历程以及数学的博大精深.对于一般人不必强求，但是作为数学教育者，因为“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”，我们要引导学生去“悟”直观性背后之“理”！ 最终使我们的学生不仅仅是汽车驾驶员，而且是汽车4S店修理师，甚至是汽车设计者和生产商.这样学生通过经历“听数学”—“做数学”—“悟数学”，才能真正地变被动接受为主动研究，从而逐步提升学生的数学思维水平，培养学生的数学素养.
参考文献：
[1] 曹一鸣，王长沛.MCL 环境支持下的中学数学教学研究[J].数学教育学报，2009，18（2）：56-58.