论文部分内容阅读
摘 要：为研究摆线针轮齿形参数对啮合刚度的影响，基于Hertz理论构建了摆线针轮传动副的啮合刚度模型，对此模型进行理论计算与啮合仿真分析，从而得到啮合刚度随时间变化的曲线，明确此方法的正确性。并结合提出的可行方法以及改变摆线针轮的重要参数，利用Workbench瞬态动力学分析模块仿真后导入到Matlab软件中，得到针齿半径等重要参数对啮合刚度的影响规律。结果表明：针齿半径对啮合刚度影响较小，而针齿与摆线轮的啮合偏心距对摆线针轮啮合刚度影响较大，在实际工程应用中需着重控制。
关键词：RV减速器;Hertz理论;摆线针轮;偏心距;啮合刚度
DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.006
中图分类号： TH132
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2021）03-0038-07
Influence of Tooth Profile of Cycloidal Pin of RV Reducer
on Meshing Stiffness
ZHANG Xin， YU Guang-bin， QI Shi-yuan， LI Jian-wei
（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：In order to study the influence of the tooth shape parameters of the cycloidal pin on the meshing stiffness， the meshing stiffness model of the cycloidal pinion drive pair is constructed based on Hertz theory. The theoretical calculation and meshing simulation analysis of the model are carried out to obtain the meshing stiffness versus time curve. To clarify the correctness of this method， combined with the proposed feasible method and changing the important parameters of the cycloidal pin wheel， the Workbench transient dynamics module is simulated and imported into Matlab software to obtain the influence of important parameters such as the needle tooth radius on the meshing stiffness. The results show that the pin tooth radius has little effect on the meshing stiffness， and the meshing eccentricity of the pin gear and the cycloidal wheel has a great influence on the meshing pin gear stiffness， which needs to be controlled in practical engineering applications.
Keywords：RV reducer;Hertz theory;cycloidal pin;eccentric distance;meshing stiffness
0 引 言
如今“工业4.0”概念的提出，就意味着人类社会正在向智能化迈进，而用机器人工作代替人工成为智能化社会的代表，所以大力发展机器人的研发与生产就变得尤为重要。在机器人所有的部件中，RV（Rotary Vector）减速器为其核心部件。此种减速器采用渐开线齿轮传动与摆线针轮行星传动相结合的2K—V型传动形式，具体结构如图1所示。此减速器的主要特点为体积小、结构紧凑且传动较大，现在已经广泛的应用于智能机器人、航空航天领域中，用以实现机械运动的准确传递，完成精密复杂的工作。
RV减速器具有两级减速结构，第一级是太阳轮和行星轮之间的变速，称作正齿轮变速。第二级是摆线针轮摆动产生的缓慢旋转变速，称为差动齿轮
变速。其中，起到主要作用，同时也较为复杂的部分是第二级摆线轮减速传动机构[1-2]，此部分对整体传动精度影响较大，所以对此传动部分进行深入研究是非常有必要的。摆线针轮的啮合传动作为一种多对齿传动，其受力分析异常复杂，其属于静不定问题[3-5]。因此，如何精确得到轮齿对的啮合刚度、进而确定各啮合轮齿间的载荷分配问题成为了研究的关键，更是进行动力学分析和强度计算的基础。
有关于齿轮啮合刚度计算方法，已发表文献中所涉及到的方法有材料力學法、石川法、有限元法以及弹性力学法和试验法[6-7]，本文专门针对高重合度摆线针轮其齿形特点与传动特性，考虑到真实过渡曲线以及齿形曲线，采用一种Hertz公式法求得摆线齿轮时变啮合刚度。
本文首先利用三维建模软件建立摆线针轮实体模型，转换为通用格式后导入ANSYS中进行瞬态动力学仿真分析，验证了与啮合齿数相关公式及模型的正确性，而后着重研究了摆线针轮基本齿形参数改变对啮合力和啮合刚度的影响，绘制了不同参数摆线轮的啮合力及啮合刚度曲线，得到了基本齿形参数与啮合力以及啮合刚度的关系。 1 摆线轮齿廓方程与受力分析
1.1 摆线轮轮廓生成
与标准针齿啮合，并且和针齿共轭且无啮合间隙的摆线轮齿形，称之为标准摆线轮齿形。选用摆线轮的几何中心作为坐标原点，通过原点并与摆线轮齿槽对称轴重合的轴线作为x轴，如图2所示，得到摆线轮的标准齿形方程式为：
xe=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]cos（1-iH）φ-
[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]cosiHφ
ye=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]sin（1-iH）φ+
[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]siniHφ
式中：
rp為针齿分布圆半径，mm;
rrp为针齿半径，mm;
iH为摆线轮和针齿相对传动比，
iH=zpzc;
zp为针齿数，个;
zc为摆线轮齿数，个;
φ为转臂相对某一针齿中心矢径的转角，即啮合相位角;
e为偏心距;mm;
K1为短幅系数，K1=ezprp。
在实际应用中，当摆线轮与针齿啮合传动时，为补偿制造误差，以及保持合理的侧隙便于拆装与保证润滑，摆线轮与针轮齿之间必须要留有啮合间隙。因此，实际应用的摆线轮不能采用标准齿形，必须进行修形，修形后的实际摆线轮比理论轮廓稍小一些。摆线轮常见的修形方法有等距修形法、移距修形法两种或其组合[8]。
以上提到的两种修形方法只需用rrp+Δrrp，rp-Δrp，代替标准齿廓方程中的rrp、rp，即可得到修形之后的摆线轮齿廓方程[9]：
xe=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]
cos[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-
zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]cos（iHφ+δ）
ye=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]
sin[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-
zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]sin（iHφ+δ）
式中K′1为有移距修形时齿形短幅系数。
K′1=ezprp+Δrp
其余符号含义与单位同上，但应当注意的是Δrp与Δrrp的值有正负之分，当以负值代入时，则为负移矩。修形之后的摆线轮三维轮廓曲面如图3所示：
1.2 摆线针轮啮合载荷分配模型
RV减速器中摆线针轮的运动状况较为复杂：摆线轮安装在曲柄轴上，当曲柄轴输入扭矩时，曲柄轴带动两个摆线轮做围绕针齿中心的运动，即为公转运动。针齿与针齿壳固定连接，摆线轮与针齿相互接触从而发生自转，摆线轮既有自转又随曲柄轴做公转，公转角速度即为此RV减速器输出角速度。针齿外壳由若干个针齿均匀分布在半径为rp的圆周上，摆线轮齿的齿数比针齿数少一个，所以摆线针轮传动为少齿差传动的一种形式[10]，由此可建立如图3所示的运动受力分析模型[11-13]：
由图可知，摆线轮公转转动中心为Op，自转转动中心为Of，e为偏心距并且针齿受力为Fi，文[2]可知第i个针齿接触作用力臂长为
li=OpP·sinφi1+K21-2K1cosφi（1）
2 摆线针轮啮合接触模型
2.1 HERTZ法求啮合刚度原理
理论上，摆线针轮啮合时是通过线接触进行传递的[14]。考虑到弹性变形之后，其接触位置的弹性变形实际是一个很小的面区域。对于摆线轮与针齿啮合，可以假设接触位置的两弹性体变形为直线，如图5所示，因此可以按Hertz公式进行计算。
abi=rzS3/2Ti+ρr，S=1+K′1-2K1cosφi，
Ti=Ki（1+zp）cosφi-（1-K21zp）
其中：ai为综合曲率半径;L为接触变形区域长度的一半;F为接触点所受的力;abi为摆线轮第i个接触点处的当量曲率半径;φi为啮合相位角;rz为针齿中心圆半径;zz为针齿数;ρz为针齿曲率半径。由于摆线轮和针轮所用材料一致，故取：
μ1=μ2=μ=1=0.3
E1=E2=E=206Gpa
式中：μ1，μ2为摆线轮和针轮材料的泊松比;
E1，E2为摆线轮和针轮材料的弹性模量。
化简式（1）得：
L=8Fiai（1-μ2）πbE（2）
其中，Fi为第i个接触点所受的力。
由图4可知接触变形后，由勾股定理得针齿满足：
（rz-tz）2+L2=r2z（3）
式中，tz为针齿的接触变形量。
化简得：
tz=rz-r2z-L2=L2rz+r2z-L2（4）
利用泰勒公式，又因L的大小远小于tz，即忽略高阶无穷小[15-16]，并把式（2）带入，可得第i个针齿的径向变形量tzi为：
tzi=4Fiai（1-μ2）πbErz（5）
由此得单个针齿的刚度
k1=Fitz=πbErz4ai（1-μ2）（6）
同理，第i个摆线轮齿的径向变形量tbi为：
tbi=4Fiai（1-μ2）πbEabi（7）
则摆线轮齿的接触刚度为：
k2=πbEabi4ai（1-μ2）（8）
当摆线针轮传动单对齿啮合时，综合刚度k为摆线针轮齿法向接触刚度与针齿法向接触刚度的串联形式，模型如图6所示，
所以单齿对啮合刚度为： k=k1k2k1+k2（9）
把k1、k2代入并化简：
k=πbERzS3/24（1-μ2）（RzS3/2+2rzT）（10）
2.2 摆线针轮啮合刚度数学模型
摆线针轮传动的特征之一就是重合度比较大，理论上可以达到针齿数的一半[17]。并且，由以上对摆线针轮的受力分析可知，整轮的啮合刚度与同时参与啮合的齿数有关，并且为角度的函数关系，所以要想得到摆线针轮的综合刚度，不能简单进行每个齿刚度的叠加。
此外，在传动过程中考虑到各种误差以及润滑需要，都需要对摆线针轮进行等距修形或移距修形。因此，这也会引起初始啮合侧隙，使得同时啮合的齿对数减少，达不到理论同时啮合齿数[18]。初始的啮合侧隙为：
Δ（φ）=Δrrp1-sinφi1+K2-2Kcosφi-
Δrp（1-Kcosφi-1-K2sinφi）1+K2-2Kcosφi（11）
摆线针轮传递某一转矩时，由于摆线轮与针齿发生接触变形，当摆线轮转过β角，在啮合点法线方向的位移为
δ=liβ（12）
当摆线针轮被转矩作用时，轮齿的变形曲线与初始间隙分布曲线交点之间的区间[φa，φb]就为实际参与啮合的轮齿范围，即同时啮合的齿数为
z=lnt（Δφ/2πzp）（13）
式中
Δφ=φb-φa
与此同时还要考虑到齿轮加工误差和装配误差等各种因素带来的影响，所以在啮合刚度公式中加入系数λ（λ一般取0.7），因此摆线针轮整轮等效扭转刚度为
K=λ∑bi=akl2i（14）
式中，li为摆线轮第i点的力臂。
3 摆线针轮时变啮合刚度有限元分析
3.1 摆线针轮三维模型建立
因摆线轮齿面是高阶曲面，所以建立模型时必须应用数值计算得到摆线轮轮廓曲线[19-20]。本文应用SolidWorks三维建模软件，根据摆线轮齿廓的标准齿形方程构建参数化实体模型，其中零件包括摆线轮2片、针齿40个、针齿壳1个、偏心轴2个。具体参数：针齿数40mm;针齿半径3mm;摆线轮齿数39个;偏心距2.2mm;摆线轮齿宽16mm;短幅系数0.675。
此外，为了便于在后续ANSYS运算中简便提高分析效率，使网格质量更高，所以本文在建模时忽略一些非重要因素，如忽略轴承的影响，以及删除模型中较小的圆角和倒角，三维实体模型如图7所示。
3.2 有限元结果与分析
添加齿轮的材料，具体参数如表1所示。
將三维实体模型导入Workbench中，应用Edge Sizing工具划分网格，Method选择Hex Dominant六面体优先。由于直接在摆线轮齿面上生成的网格质量不高，不利于结果分析，所以采用一种“点-线-面-体”的方法，建立辅助分割面，将实体划分为六面体，以实现结构化六面体单元划分。为了使结果尽可能的准确，在齿宽和齿厚方向上划分较密集的网格，如图8所示。
因此最后得到的网格节点数为765154，单元数为165658。为了简化计算，将输入轴定义为刚体，在进行分析时不考虑其变形情况。载荷为额定输出载荷 3N·m，加载位置为针齿壳上，加载方式为将
转矩转化为圆周方向的力，并均摊到针齿壳的所有节点上。
除此此外，还要对摆线轮和针齿壳进行约束。把针齿壳和针齿看做一个整体，做轴向约束和径向约束，摆线轮只做轴向约束，求解后的应力云图如图9所示。
待仿真完成后，将Workbench仿真数据导入到MATLAB中，得到啮合位置与摆线针轮齿面受力及啮合刚度关系曲线，如图10、11所示。
由曲线趋势可以看出，仿真所得的摆线轮啮合刚度与在Matlab中编写计算程序得到的理论分析法啮合刚度基本趋势一致，偏差较小，所以可以证明我们所建立的摆线针轮模型准确，仿真结果可信。
所以，为了更好的研究分析摆线针轮啮合刚度问题，确定其刚度与自身尺寸以及外部环境之间的关系，基于之前的建模理论，我们继续进行进一步研究。因为针齿分布圆半径对啮合刚度的影响较小，所以，我们只对偏心距与针齿半径进行分析，其应力云图及参数变化与刚度关系如图所示。
4 结 论
通过对RV减速器第二级传动机构的一系列分析，我们可以得到如下结论：
在实际啮合过程中，摆线针轮机构一定要进行等距修形和移距修形，是摆线轮与针轮之间存在一定的间隙，并不是无缝啮合，所以当计算啮合刚度是要充分考虑初始间隙的影响。对摆线针轮的受力情况进行分析，并结合赫兹理论计算出所创建模型的啮合刚度，再利用有限元仿真软件求出其啮合刚度与理论计算结果进行比较，验证了其理论与仿真方法的正确性。改变对摆线针轮啮合刚度影响较大因素的参数值，进行多次仿真分析并绘制刚度随时间变化的曲线图。基于摆线针轮基本齿形参数及啮合力与啮合刚度的关系，并结合图14与图15，不难得知偏心距对啮合刚度影响较大，即合理控制偏心距，对摆线针轮啮合传动以及RV减速器整机的扭转刚度起到关键作用。
参 考 文 献：
[1] 田红亮， 陈甜敏， 郑金华， 等.平行轴圆柱副接触分析[J].西安交通大学学报， 2016， 50 （1） ：1.
Zhang Dongsheng， Guan Tianmin. Theory of Dynamic Force Analysis of Cycloidal Pinwheel Drive[J]. Mechanical Design，2006，23（10）：35.
[2] 陆博.基于加速退化试验的RV减速器寿命预测方法[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2017. [3] XU L X， YANG Y H. Dynamic Modeling and Contact Analysis of a Cycloid-pin Gear Mechanism with Aturning Arm Cylindrical Roller Bearing[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 104： 327.
[4] 陈奇， 黄守武， 张振， 等.考虑摩擦因素的两圆柱体表面接触承载能力的分形模型研究[J].机械工程学报， 2016， 52 （7） ：114.
CHEN Qi， HUANG Shouwu， ZHANG Zhen， et al.Research on Fractal Contact Model for Contact Carrying Capacity of Two Cylinders’ Surfaces Considering Friction Factors[J].Journal of Mechanical Engineering， 2016， 52 （7） ：114.
[5] 杨玉虎，朱临宇，陈振宇，等.RV减速器扭转刚度特性分析[J] .天津大学学报，2015，48（2）：111.
YANG Yuhu， ZHU Linyu， CHEN Zhenyu， et al. Analysis of Torsional Stiffness Characteristics of RV Reducer[J].Journal of Tianjin University， 2015，48（2）：111.
[6] 王嘉宁，顾京君，闫勇华.摆线轮基本齿形参数与RV减速器啮合刚度的关系[J].机械设计与研究，2017，33（04），63.
WANG Jianing， GU Jingjun， YAN Yonghua. Relationship Between Basic Tooth Profile of Cycloidal Wheel and Meshing Stiffness of RV Reducer[J]. Mechanical Design and Research，2017，33（04），63.
[7] LIN W S， SHIH Y P， LEE J J.Design of a Two-stage Cycloidal Gear Reducer with Tooth Modifications[J]. Mechanism and Machine Theory， 2014， 79： 184.
[8] 何衛东，张子扬，吴鑫辉.基于ANSYS的RV传动摆线轮时变啮合刚度研究[J]. 大连交通大学学报，2017，38（2）：55.
HE Weidong， ZHANG Ziyang， WU Xinhui. Research on Time-varying Meshing Stiffness of RV Driven Cycloid Based on ANSYS[J].Journal of Dalian Jiaotong University， 2017， 38（2）： 55.
[9] LIU J Y， MATSUMURA S，CHEN B K， et al. Torsional Stiffness Calculation of Double-Enveloping Cycloid Drive[J].Jouranal of Advanced Mechanical Design，Systems，and Manufacturing， 2012， 6（1）：2.
[10]赵博，邓效忠，李天兴，等.机器人RV减速器摆线轮修形的理论研究[J].机械传动，2015，39（12）：1.
ZHAO Bo， DENG Xiaozhong， LI Tianxing， et al. Theoretical Study on the Modification of the Cycloidal Wheel of the Robot RV Reducer[J].Mechanical Transmission， 2015， 39（12）： 1.
[11]黄振锋，梁顺可，唐子坚，等.基于ANSYS软件的RV减速器有限元分析[J].机械制造，2019，57（2）：9.
HUANG Zhenfeng， LIANG Shunke， TANG Zijian，et al.Finite Element Analysis of RV Reducer Based on ANSYS Software[J].Mechanical Manufacturing，2019，57（2）： 9.
[12]HSIEH C.Traditional Versus Improved Designs for Cycloidal Speed Reducers with a Small Tooth Difference： The Effect on Dynamics[J].Mechanism and Machine Theory， 2015， 86：15.
[13]WANG Jianing， GU Jingjun， YAN Yonghua. Study on the Relationship Between the Stiffness of RV Reducer and the Profile Modification Method of Cycloid-pin Wheel[J].Springer International Publishing Switzerland， 2016 （1） ：721. [14]CHEN B K， ZHONG H， LIU J Y， et al. Generation and Investigation of a New Cycloid Drive with Double Contact. Mechanism and Machine Theory[J]. 2012， 49（4）：270.
[15]TRAN T L， PHAM A D， AHN H J. Lost Motion Analysis of One Stage Cycloid Reducer Considering Tolerances[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing， 2016， 17： 1009.
[16]许立新，杨玉虎.一种摆线针轮传动多齿啮合接触特性分析方法[J].中国机械工程，2016，27（10）：1382.
XU Lixin，YANG Yuhu. Method for Analyzing Multi-tooth Meshing Contact Characteristics of Cycloidal Pinwheel Transmission[J].China Mechanical Engineering， 2016，27（10）：1382.
[17]李威，胡岳龙. RV 减速器摆线齿轮热分析[J]. 哈尔滨工程大学学报，2017，38（10）：1560.
LI Wei， HU Yuelong. Thermal Analysis of Cycloidal Gear for the RV Reducer[J]. Journal of Harbin Engineering University，2017，38（10）：1560.
[18]LI Xuan， LI Chaoyang， WANG Yawen. Analysis of a Cycloid Speed Reducer Considering Tooth Profile Modi Fication and Clearance-Fit Output Mechanism[J].Journal of Mechanical Design， 2017，139（3）：033303.
[19]彭鵬，柯梁亮，汪久根.噪声干扰下的RV减速器故障诊断[J].机械工程学报，2020，56（1）：30.
PENG Peng，KE Liangliang，WANG Jiugen. Fault Diagnosis of RV Reducer under Noise Interference [J] .Journal of Mechanical Engineering， 2020，56 （1）： 30.
[20]陆龙生，张飞翔，唐恒，等.基于优化承载能力的RV减速器摆线齿轮齿廓的等距-移距修形[J].中国机械工程，2019，30（17）：2022.
LU Longsheng，ZHANG Feixiang，TANG Heng，et al. Isometric-shift Distance Modification of Tooth Profile of RV Reducer Based on Optimized Load Carrying Capacity[J].China Mechanical Engineering， 2019， 30 （17）： 2022.
（编辑：王 萍）
关键词：RV减速器;Hertz理论;摆线针轮;偏心距;啮合刚度
DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.006
中图分类号： TH132
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2021）03-0038-07
Influence of Tooth Profile of Cycloidal Pin of RV Reducer
on Meshing Stiffness
ZHANG Xin， YU Guang-bin， QI Shi-yuan， LI Jian-wei
（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：In order to study the influence of the tooth shape parameters of the cycloidal pin on the meshing stiffness， the meshing stiffness model of the cycloidal pinion drive pair is constructed based on Hertz theory. The theoretical calculation and meshing simulation analysis of the model are carried out to obtain the meshing stiffness versus time curve. To clarify the correctness of this method， combined with the proposed feasible method and changing the important parameters of the cycloidal pin wheel， the Workbench transient dynamics module is simulated and imported into Matlab software to obtain the influence of important parameters such as the needle tooth radius on the meshing stiffness. The results show that the pin tooth radius has little effect on the meshing stiffness， and the meshing eccentricity of the pin gear and the cycloidal wheel has a great influence on the meshing pin gear stiffness， which needs to be controlled in practical engineering applications.
Keywords：RV reducer;Hertz theory;cycloidal pin;eccentric distance;meshing stiffness
0 引 言
如今“工业4.0”概念的提出，就意味着人类社会正在向智能化迈进，而用机器人工作代替人工成为智能化社会的代表，所以大力发展机器人的研发与生产就变得尤为重要。在机器人所有的部件中，RV（Rotary Vector）减速器为其核心部件。此种减速器采用渐开线齿轮传动与摆线针轮行星传动相结合的2K—V型传动形式，具体结构如图1所示。此减速器的主要特点为体积小、结构紧凑且传动较大，现在已经广泛的应用于智能机器人、航空航天领域中，用以实现机械运动的准确传递，完成精密复杂的工作。
RV减速器具有两级减速结构，第一级是太阳轮和行星轮之间的变速，称作正齿轮变速。第二级是摆线针轮摆动产生的缓慢旋转变速，称为差动齿轮
变速。其中，起到主要作用，同时也较为复杂的部分是第二级摆线轮减速传动机构[1-2]，此部分对整体传动精度影响较大，所以对此传动部分进行深入研究是非常有必要的。摆线针轮的啮合传动作为一种多对齿传动，其受力分析异常复杂，其属于静不定问题[3-5]。因此，如何精确得到轮齿对的啮合刚度、进而确定各啮合轮齿间的载荷分配问题成为了研究的关键，更是进行动力学分析和强度计算的基础。
有关于齿轮啮合刚度计算方法，已发表文献中所涉及到的方法有材料力學法、石川法、有限元法以及弹性力学法和试验法[6-7]，本文专门针对高重合度摆线针轮其齿形特点与传动特性，考虑到真实过渡曲线以及齿形曲线，采用一种Hertz公式法求得摆线齿轮时变啮合刚度。
本文首先利用三维建模软件建立摆线针轮实体模型，转换为通用格式后导入ANSYS中进行瞬态动力学仿真分析，验证了与啮合齿数相关公式及模型的正确性，而后着重研究了摆线针轮基本齿形参数改变对啮合力和啮合刚度的影响，绘制了不同参数摆线轮的啮合力及啮合刚度曲线，得到了基本齿形参数与啮合力以及啮合刚度的关系。 1 摆线轮齿廓方程与受力分析
1.1 摆线轮轮廓生成
与标准针齿啮合，并且和针齿共轭且无啮合间隙的摆线轮齿形，称之为标准摆线轮齿形。选用摆线轮的几何中心作为坐标原点，通过原点并与摆线轮齿槽对称轴重合的轴线作为x轴，如图2所示，得到摆线轮的标准齿形方程式为：
xe=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]cos（1-iH）φ-
[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]cosiHφ
ye=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]sin（1-iH）φ+
[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]siniHφ
式中：
rp為针齿分布圆半径，mm;
rrp为针齿半径，mm;
iH为摆线轮和针齿相对传动比，
iH=zpzc;
zp为针齿数，个;
zc为摆线轮齿数，个;
φ为转臂相对某一针齿中心矢径的转角，即啮合相位角;
e为偏心距;mm;
K1为短幅系数，K1=ezprp。
在实际应用中，当摆线轮与针齿啮合传动时，为补偿制造误差，以及保持合理的侧隙便于拆装与保证润滑，摆线轮与针轮齿之间必须要留有啮合间隙。因此，实际应用的摆线轮不能采用标准齿形，必须进行修形，修形后的实际摆线轮比理论轮廓稍小一些。摆线轮常见的修形方法有等距修形法、移距修形法两种或其组合[8]。
以上提到的两种修形方法只需用rrp+Δrrp，rp-Δrp，代替标准齿廓方程中的rrp、rp，即可得到修形之后的摆线轮齿廓方程[9]：
xe=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]
cos[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-
zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]cos（iHφ+δ）
ye=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]
sin[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-
zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]sin（iHφ+δ）
式中K′1为有移距修形时齿形短幅系数。
K′1=ezprp+Δrp
其余符号含义与单位同上，但应当注意的是Δrp与Δrrp的值有正负之分，当以负值代入时，则为负移矩。修形之后的摆线轮三维轮廓曲面如图3所示：
1.2 摆线针轮啮合载荷分配模型
RV减速器中摆线针轮的运动状况较为复杂：摆线轮安装在曲柄轴上，当曲柄轴输入扭矩时，曲柄轴带动两个摆线轮做围绕针齿中心的运动，即为公转运动。针齿与针齿壳固定连接，摆线轮与针齿相互接触从而发生自转，摆线轮既有自转又随曲柄轴做公转，公转角速度即为此RV减速器输出角速度。针齿外壳由若干个针齿均匀分布在半径为rp的圆周上，摆线轮齿的齿数比针齿数少一个，所以摆线针轮传动为少齿差传动的一种形式[10]，由此可建立如图3所示的运动受力分析模型[11-13]：
由图可知，摆线轮公转转动中心为Op，自转转动中心为Of，e为偏心距并且针齿受力为Fi，文[2]可知第i个针齿接触作用力臂长为
li=OpP·sinφi1+K21-2K1cosφi（1）
2 摆线针轮啮合接触模型
2.1 HERTZ法求啮合刚度原理
理论上，摆线针轮啮合时是通过线接触进行传递的[14]。考虑到弹性变形之后，其接触位置的弹性变形实际是一个很小的面区域。对于摆线轮与针齿啮合，可以假设接触位置的两弹性体变形为直线，如图5所示，因此可以按Hertz公式进行计算。
abi=rzS3/2Ti+ρr，S=1+K′1-2K1cosφi，
Ti=Ki（1+zp）cosφi-（1-K21zp）
其中：ai为综合曲率半径;L为接触变形区域长度的一半;F为接触点所受的力;abi为摆线轮第i个接触点处的当量曲率半径;φi为啮合相位角;rz为针齿中心圆半径;zz为针齿数;ρz为针齿曲率半径。由于摆线轮和针轮所用材料一致，故取：
μ1=μ2=μ=1=0.3
E1=E2=E=206Gpa
式中：μ1，μ2为摆线轮和针轮材料的泊松比;
E1，E2为摆线轮和针轮材料的弹性模量。
化简式（1）得：
L=8Fiai（1-μ2）πbE（2）
其中，Fi为第i个接触点所受的力。
由图4可知接触变形后，由勾股定理得针齿满足：
（rz-tz）2+L2=r2z（3）
式中，tz为针齿的接触变形量。
化简得：
tz=rz-r2z-L2=L2rz+r2z-L2（4）
利用泰勒公式，又因L的大小远小于tz，即忽略高阶无穷小[15-16]，并把式（2）带入，可得第i个针齿的径向变形量tzi为：
tzi=4Fiai（1-μ2）πbErz（5）
由此得单个针齿的刚度
k1=Fitz=πbErz4ai（1-μ2）（6）
同理，第i个摆线轮齿的径向变形量tbi为：
tbi=4Fiai（1-μ2）πbEabi（7）
则摆线轮齿的接触刚度为：
k2=πbEabi4ai（1-μ2）（8）
当摆线针轮传动单对齿啮合时，综合刚度k为摆线针轮齿法向接触刚度与针齿法向接触刚度的串联形式，模型如图6所示，
所以单齿对啮合刚度为： k=k1k2k1+k2（9）
把k1、k2代入并化简：
k=πbERzS3/24（1-μ2）（RzS3/2+2rzT）（10）
2.2 摆线针轮啮合刚度数学模型
摆线针轮传动的特征之一就是重合度比较大，理论上可以达到针齿数的一半[17]。并且，由以上对摆线针轮的受力分析可知，整轮的啮合刚度与同时参与啮合的齿数有关，并且为角度的函数关系，所以要想得到摆线针轮的综合刚度，不能简单进行每个齿刚度的叠加。
此外，在传动过程中考虑到各种误差以及润滑需要，都需要对摆线针轮进行等距修形或移距修形。因此，这也会引起初始啮合侧隙，使得同时啮合的齿对数减少，达不到理论同时啮合齿数[18]。初始的啮合侧隙为：
Δ（φ）=Δrrp1-sinφi1+K2-2Kcosφi-
Δrp（1-Kcosφi-1-K2sinφi）1+K2-2Kcosφi（11）
摆线针轮传递某一转矩时，由于摆线轮与针齿发生接触变形，当摆线轮转过β角，在啮合点法线方向的位移为
δ=liβ（12）
当摆线针轮被转矩作用时，轮齿的变形曲线与初始间隙分布曲线交点之间的区间[φa，φb]就为实际参与啮合的轮齿范围，即同时啮合的齿数为
z=lnt（Δφ/2πzp）（13）
式中
Δφ=φb-φa
与此同时还要考虑到齿轮加工误差和装配误差等各种因素带来的影响，所以在啮合刚度公式中加入系数λ（λ一般取0.7），因此摆线针轮整轮等效扭转刚度为
K=λ∑bi=akl2i（14）
式中，li为摆线轮第i点的力臂。
3 摆线针轮时变啮合刚度有限元分析
3.1 摆线针轮三维模型建立
因摆线轮齿面是高阶曲面，所以建立模型时必须应用数值计算得到摆线轮轮廓曲线[19-20]。本文应用SolidWorks三维建模软件，根据摆线轮齿廓的标准齿形方程构建参数化实体模型，其中零件包括摆线轮2片、针齿40个、针齿壳1个、偏心轴2个。具体参数：针齿数40mm;针齿半径3mm;摆线轮齿数39个;偏心距2.2mm;摆线轮齿宽16mm;短幅系数0.675。
此外，为了便于在后续ANSYS运算中简便提高分析效率，使网格质量更高，所以本文在建模时忽略一些非重要因素，如忽略轴承的影响，以及删除模型中较小的圆角和倒角，三维实体模型如图7所示。
3.2 有限元结果与分析
添加齿轮的材料，具体参数如表1所示。
將三维实体模型导入Workbench中，应用Edge Sizing工具划分网格，Method选择Hex Dominant六面体优先。由于直接在摆线轮齿面上生成的网格质量不高，不利于结果分析，所以采用一种“点-线-面-体”的方法，建立辅助分割面，将实体划分为六面体，以实现结构化六面体单元划分。为了使结果尽可能的准确，在齿宽和齿厚方向上划分较密集的网格，如图8所示。
因此最后得到的网格节点数为765154，单元数为165658。为了简化计算，将输入轴定义为刚体，在进行分析时不考虑其变形情况。载荷为额定输出载荷 3N·m，加载位置为针齿壳上，加载方式为将
转矩转化为圆周方向的力，并均摊到针齿壳的所有节点上。
除此此外，还要对摆线轮和针齿壳进行约束。把针齿壳和针齿看做一个整体，做轴向约束和径向约束，摆线轮只做轴向约束，求解后的应力云图如图9所示。
待仿真完成后，将Workbench仿真数据导入到MATLAB中，得到啮合位置与摆线针轮齿面受力及啮合刚度关系曲线，如图10、11所示。
由曲线趋势可以看出，仿真所得的摆线轮啮合刚度与在Matlab中编写计算程序得到的理论分析法啮合刚度基本趋势一致，偏差较小，所以可以证明我们所建立的摆线针轮模型准确，仿真结果可信。
所以，为了更好的研究分析摆线针轮啮合刚度问题，确定其刚度与自身尺寸以及外部环境之间的关系，基于之前的建模理论，我们继续进行进一步研究。因为针齿分布圆半径对啮合刚度的影响较小，所以，我们只对偏心距与针齿半径进行分析，其应力云图及参数变化与刚度关系如图所示。
4 结 论
通过对RV减速器第二级传动机构的一系列分析，我们可以得到如下结论：
在实际啮合过程中，摆线针轮机构一定要进行等距修形和移距修形，是摆线轮与针轮之间存在一定的间隙，并不是无缝啮合，所以当计算啮合刚度是要充分考虑初始间隙的影响。对摆线针轮的受力情况进行分析，并结合赫兹理论计算出所创建模型的啮合刚度，再利用有限元仿真软件求出其啮合刚度与理论计算结果进行比较，验证了其理论与仿真方法的正确性。改变对摆线针轮啮合刚度影响较大因素的参数值，进行多次仿真分析并绘制刚度随时间变化的曲线图。基于摆线针轮基本齿形参数及啮合力与啮合刚度的关系，并结合图14与图15，不难得知偏心距对啮合刚度影响较大，即合理控制偏心距，对摆线针轮啮合传动以及RV减速器整机的扭转刚度起到关键作用。
参 考 文 献：
[1] 田红亮， 陈甜敏， 郑金华， 等.平行轴圆柱副接触分析[J].西安交通大学学报， 2016， 50 （1） ：1.
Zhang Dongsheng， Guan Tianmin. Theory of Dynamic Force Analysis of Cycloidal Pinwheel Drive[J]. Mechanical Design，2006，23（10）：35.
[2] 陆博.基于加速退化试验的RV减速器寿命预测方法[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2017. [3] XU L X， YANG Y H. Dynamic Modeling and Contact Analysis of a Cycloid-pin Gear Mechanism with Aturning Arm Cylindrical Roller Bearing[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 104： 327.
[4] 陈奇， 黄守武， 张振， 等.考虑摩擦因素的两圆柱体表面接触承载能力的分形模型研究[J].机械工程学报， 2016， 52 （7） ：114.
CHEN Qi， HUANG Shouwu， ZHANG Zhen， et al.Research on Fractal Contact Model for Contact Carrying Capacity of Two Cylinders’ Surfaces Considering Friction Factors[J].Journal of Mechanical Engineering， 2016， 52 （7） ：114.
[5] 杨玉虎，朱临宇，陈振宇，等.RV减速器扭转刚度特性分析[J] .天津大学学报，2015，48（2）：111.
YANG Yuhu， ZHU Linyu， CHEN Zhenyu， et al. Analysis of Torsional Stiffness Characteristics of RV Reducer[J].Journal of Tianjin University， 2015，48（2）：111.
[6] 王嘉宁，顾京君，闫勇华.摆线轮基本齿形参数与RV减速器啮合刚度的关系[J].机械设计与研究，2017，33（04），63.
WANG Jianing， GU Jingjun， YAN Yonghua. Relationship Between Basic Tooth Profile of Cycloidal Wheel and Meshing Stiffness of RV Reducer[J]. Mechanical Design and Research，2017，33（04），63.
[7] LIN W S， SHIH Y P， LEE J J.Design of a Two-stage Cycloidal Gear Reducer with Tooth Modifications[J]. Mechanism and Machine Theory， 2014， 79： 184.
[8] 何衛东，张子扬，吴鑫辉.基于ANSYS的RV传动摆线轮时变啮合刚度研究[J]. 大连交通大学学报，2017，38（2）：55.
HE Weidong， ZHANG Ziyang， WU Xinhui. Research on Time-varying Meshing Stiffness of RV Driven Cycloid Based on ANSYS[J].Journal of Dalian Jiaotong University， 2017， 38（2）： 55.
[9] LIU J Y， MATSUMURA S，CHEN B K， et al. Torsional Stiffness Calculation of Double-Enveloping Cycloid Drive[J].Jouranal of Advanced Mechanical Design，Systems，and Manufacturing， 2012， 6（1）：2.
[10]赵博，邓效忠，李天兴，等.机器人RV减速器摆线轮修形的理论研究[J].机械传动，2015，39（12）：1.
ZHAO Bo， DENG Xiaozhong， LI Tianxing， et al. Theoretical Study on the Modification of the Cycloidal Wheel of the Robot RV Reducer[J].Mechanical Transmission， 2015， 39（12）： 1.
[11]黄振锋，梁顺可，唐子坚，等.基于ANSYS软件的RV减速器有限元分析[J].机械制造，2019，57（2）：9.
HUANG Zhenfeng， LIANG Shunke， TANG Zijian，et al.Finite Element Analysis of RV Reducer Based on ANSYS Software[J].Mechanical Manufacturing，2019，57（2）： 9.
[12]HSIEH C.Traditional Versus Improved Designs for Cycloidal Speed Reducers with a Small Tooth Difference： The Effect on Dynamics[J].Mechanism and Machine Theory， 2015， 86：15.
[13]WANG Jianing， GU Jingjun， YAN Yonghua. Study on the Relationship Between the Stiffness of RV Reducer and the Profile Modification Method of Cycloid-pin Wheel[J].Springer International Publishing Switzerland， 2016 （1） ：721. [14]CHEN B K， ZHONG H， LIU J Y， et al. Generation and Investigation of a New Cycloid Drive with Double Contact. Mechanism and Machine Theory[J]. 2012， 49（4）：270.
[15]TRAN T L， PHAM A D， AHN H J. Lost Motion Analysis of One Stage Cycloid Reducer Considering Tolerances[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing， 2016， 17： 1009.
[16]许立新，杨玉虎.一种摆线针轮传动多齿啮合接触特性分析方法[J].中国机械工程，2016，27（10）：1382.
XU Lixin，YANG Yuhu. Method for Analyzing Multi-tooth Meshing Contact Characteristics of Cycloidal Pinwheel Transmission[J].China Mechanical Engineering， 2016，27（10）：1382.
[17]李威，胡岳龙. RV 减速器摆线齿轮热分析[J]. 哈尔滨工程大学学报，2017，38（10）：1560.
LI Wei， HU Yuelong. Thermal Analysis of Cycloidal Gear for the RV Reducer[J]. Journal of Harbin Engineering University，2017，38（10）：1560.
[18]LI Xuan， LI Chaoyang， WANG Yawen. Analysis of a Cycloid Speed Reducer Considering Tooth Profile Modi Fication and Clearance-Fit Output Mechanism[J].Journal of Mechanical Design， 2017，139（3）：033303.
[19]彭鵬，柯梁亮，汪久根.噪声干扰下的RV减速器故障诊断[J].机械工程学报，2020，56（1）：30.
PENG Peng，KE Liangliang，WANG Jiugen. Fault Diagnosis of RV Reducer under Noise Interference [J] .Journal of Mechanical Engineering， 2020，56 （1）： 30.
[20]陆龙生，张飞翔，唐恒，等.基于优化承载能力的RV减速器摆线齿轮齿廓的等距-移距修形[J].中国机械工程，2019，30（17）：2022.
LU Longsheng，ZHANG Feixiang，TANG Heng，et al. Isometric-shift Distance Modification of Tooth Profile of RV Reducer Based on Optimized Load Carrying Capacity[J].China Mechanical Engineering， 2019， 30 （17）： 2022.
（编辑：王 萍）