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【摘要】复习课是小学数学教学中的三大课型之一，是让学生进一步理解、掌握和运用所学知识的系统化过程，对复习课的教学必须要把握好知识梳理与能力提升两个维度。复习不仅可以是一个单元的复习，也可以是相同知识点的整体复习。本文通过对三年级下册中两位数乘两位数单元与面积单元的深入分析与思考，认为两个单元可以借助于类似的知识点进行沟通与联系，实现整合性复习，以提高復习效率与学生对复习课的兴趣。
【关键词】整合 复习 生长性
复习课，在小学数学教学中的重要性不言而喻，它不仅能巩固知识、提升能力，还能帮助学生对知识进行梳理，形成体系。但是，在实际教学中复习课却成了烫手的山芋。究其原因，一是参考资料少，各类教研活动等大都回避这一课型，教师缺乏动因；二是复习与考试往往“捆绑”在一起，大量的时间花在了单调、枯燥的做题上，学生缺乏兴趣。久而久之复习课就失去了生命力。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，应注重对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联；要注重知识的“生长点”与“延生点”，引导学生感受数学的整体性。这给复习教学提供了一个启示，复习课不仅可以是一个单元的整体复习，还可以是一个知识点的系统复习，也可以是相关联知识间的整合复习。人教版三年级下册第四单元“两位数乘两位数”与第五单元“面积”这两个单元，笔者认为单元可以独立复习，也可以把这两单元进行整合复习，上一节会生长的复习课。
一、教材知识点的梳理
要实现复习教学的最优化，就必须实现教学过程最优化，而教材的分析是实现教学过程最优化的重要内容之一，它强调从学生经验出发，遵循他们的认知规律，帮助学生有效建构系统性的知识。
（一）“两位数乘两位数单元”知识点分析
“两位数乘两位数”单元在整个小学阶段“数与代数”的学习中有着举足轻重的作用。该单元主要让学生掌握两位数乘两位数的口算与笔算的算理与算法，在此基础上应用这一知识进行“解决问题”的教学，即“连乘、连除问题”的学习，其核心内容是在掌握算理的基础上学会笔算的方法。在人教版“教师教学用书”中这样建议：让学生经历探索计算方法的过程，培养几何直观；注重运算规律的探索，培养数学思维能力。因此，该单元不仅让学生掌握笔算的方法和笔算的算理，还应发展学生的计算能力，提高学习计算类题目的兴趣。
笔者在翻阅教材中发现，教材第59页练习十三第3题：
比较每组算式得数的大小，你发现了什么？
（1）30×30= 31×29= 32×28= 33×27=
（2）50×50= 51×49= 52×48= 53×47=
细细分析这题可以发现，这两题中两个因数它们的和是一定的（60和100）；而两个因数的差是不等的，它们的差越大乘积越小；差变成0时，乘积最大。同时在省编的配套练习中也有这一类型的变式题目：
选择下面的数字5、6、7、8，组成两位数乘两位数的乘法算式，使他们的乘积最大和乘积最小，可以怎么组？
笔者认为，可以抓住教材这样细小的点进行深入的分析，与学生一起开展教学研究，从而发展学生的思维甄别力。
（二）“面积”单元知识点分析
“面积”单元的学习是学生认知上的一次飞跃，他们的认知结构从一维空间发展到二维空间。该单元主要涉及面积意义的理解和面积单位，长方形与正方形面积的计算，面积单位之间的进率和用所学的知识解决简单的实际问题，其核心内容是对面积概念和长方形面积计算的深入理解。笔者认为在学习这两个核心内容时，必须要强化面积与周长的辨析，明确图形的周长与面积在描述图形中的不同作用。
同样，在教材中我们发现了3个密切相关的知识点，一是第65页练习十四第7题：画几个长方形或正方形，使它们周长相等，然后比较面积，你发现了什么？二是第75页练习十六第10题：两个一样大小的长方形长36厘米，宽18厘米，拼成长方形和正方形，它们的周长是多少？面积是多少？三是第75页练习十六第11题：画出面积是16平方厘米的长方形（长宽是整厘米数），并计算出这些长方形的周长。仔细比较这3题，其实是对面积与周长意义的辨别，让学生更加清楚地理解两个意义。同时让学生知道，有时长方形的周长不等而面积相等，有时它们周长相等但面积不等。
（三）寻找两个单元之间的关联点
通过对两个单元的分析和部分典型题目梳理、解读后，我们发现上述这些题目既是本单元的重点知识，都围绕着单元目标开展的一些基本练习。又是对核心知识的提升，能充分发展学生的思维能力和动态想象力。它们之间还存在着一种联系，周长相等就是两个数的和相等，面积不等就是这两个数的乘积不等。当长方形变成正方形时长和宽的差就是0，它们的面积最大也就是乘积最大；反之，长方形的长和宽差变大，它们的面积就变小也就是乘积变小。
笔者认为，围绕上述知识点把这两个单元进行整合的复习，一是有利于加深对笔算乘法单元知识的巩固，借助于图形的直观来揭示“和一定积发生变化”的规律性知识的道理；二是能巩固面积与周长的计算方法，知道面积与周长的辩证关系，懂得图形背后有着计算作为支撑的秘密。
二、教学实践与思考
基于对教材的分析与思考，笔者觉得，可以从由4个数字组成两个两位数乘积最大和乘积最小开始进行复习，逐步引导学生对教材进行梳理与思考，寻找与此知识点相关联的知识，体会到知识之间的联系与生长点。
（一）自主计算，复习算理与算法，寻找知识内部之间的规律
课始，笔者出示“1、2、3、4”四个数字，要求组成两个没有重复数字的两位数乘两位数，其中乘积最小是□□×□□，乘积最大是□□×□□。学生根据已有的认知经验很快组出乘积最大是42×31或41×32，组出乘积最小为13×24或14×23。随后，组织学生独立计算4个题目，选择一题进行两位数笔算方法的回忆以及对算理的解释。 接着，组织学生一组一组仔细观察：42×31和41×32，13×24和14×23，质疑有什么发现？
生1：42×31与41×32中41×32乘积较大，13×24和14×23中13×24的乘积较小；
生2：42×31与41×32中，两个因数的和都是73，但它们的乘积不一样；而13×24和14×23中，两个因数的和都是37，但它们的乘积也不一样；
生3：42×31与41×32中，两个因数的差分别是11和9，差是9的两个因数乘积较大，同样13×24和14×23中，两个因数的差也是11和9，差是9的两个因数乘积较大，两组算式中，差是11的两个因数的乘积较小。
通过思考并讨论，发现在这样的计算中有一定的规律存在，是否在其他这样类似的题目中还有着相同的规律？于是，教师再次出示“1、2、3、5”四个数字，组织学生列出乘积大的一组算式51×32和52×31、乘积小的一组算式15×23和13×25进行比对，由男生与女生分别计算。通过汇报得出这组算式的规律：乘积大的一组算式中两个因数的和均为83，差分别是19和21，差是19的算式乘积较大，而乘积小的一组算式中两个因数的和都是38，差分别是8和12，差是8的乘积较大，差是12的乘积较小。经过验证后可以得出一个普遍性的规律：两个因数的和一样，差较小的乘积较大，差较大的乘积较小。
这一环节旨在让学生通过组数、计算，进一步熟练掌握笔算两位数乘法的计算方法和算理，逐渐发现计算教学中在特定的规则下存在着一种规律。当然，这一规律还只是停留在计算层面上，要让学生更加直观地感受到还需要借助于图形的分析来支撑，这为整合复习奠定了基础。
（二）合作探究，复习周长与面积，寻求知识外部之间的联系
在完成第一个环节后，笔者设疑：在其他单元的知识点中是否也存在着这样的现象，它们的和一样，但它们的乘积不一样。带着疑问组织学生翻阅书本，4人小组讨论寻找类似的知识点，勾起学生的记忆。
生4：我们小组认为在面积单元也存在着这样的规律，周长相等，正方形面积大。
生5：我们小组觉得周长相等时，长方形与正方形面积相比，正方形大长方形小。也就是长 宽的和是不变的，但是长×宽的积在发生变化，越扁的长方形面积越小，越接近正方形面积越大。
师：请这组同学到黑板上来画出草图，其他同学看看他刚才表述的和画出来的图是不是一致（如下图）。
师：这位同学画了长是5厘米，宽是3厘米的长方形和一个边长是4厘米的正方形，能说明刚才他的意思吗？
生6：长方形的周长是（5 3）×2=16厘米，面积是5×3=15平方厘米，正方形的周长是4×4=16厘米，面积是4×4=16平方厘米。周长都是16，相等；面積是正方形大。
在反馈与讨论过程中，不仅复习了长方形的周长与面积的计算方法，而且学生慢慢地发现面积单元中周长与面积之间确实存在着和不变、积发生变化的情况。接着，全体学生独立研究教师提供的素材，让学生自己量并计算周长和面积（数据如下图）。汇报后得出周长均是20厘米，面积分别是（9、21、25）平方厘米，也就是“长 宽”的和不变，“长×宽”的积发生变化，当长与宽的差是0时面积最大，长与宽的差越大，面积越小。
学生借助于自己寻找相关联的知识点，动手量图形进行验证，从笔算乘法中规律性的知识慢慢地与图形相结合，树立起周长守恒观念和周长、面积之间的辩证关系。
接着，笔者出示长23厘米、宽14厘米的长方形，面积是322平方厘米；再出示一个长24厘米、宽13厘米的长方形，面积是312平方厘米（如上图）。把笔算乘法13×24与14×23用图的形式进行了解释，学生直观发现长23厘米宽14厘米更加接近于正方形，因此这两个数的乘积相对于24×13要大一些。在图形的表征下，学生明确了13×24与14×23乘积的差就是23×（14-13）与13×（24-23）的差，较好地渗透了数形结合的思想与方法。
完成上述两个教学过程后，需要对相关的知识点进行一定的梳理，让学生更加清楚地明白看似不相关的知识是如何紧密地结合在一起的。教师设问：一个是两位数乘两位数，一个是长方形的周长与面积，它们之间有何种联系？经过学生的汇报与小结，进一步明确了：两个数的和不变，差越小乘积越大；长方形中周长不变，越接近正方形面积越大。随后，组织学生独立完成：一根长36cm的铁丝，围成一个长方形或正方形（如果边是整厘米数），有几种方法？怎样围面积最大？此时，学生能较快地知道“长 宽”的和是18厘米，围成正方形（边长为9厘米）面积最大是81平方厘米。
著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这一环节通过“以形助数”和“以数解形”两个方法使抽象思维与形象思维紧密地结合：乘法中隐藏的规律用图的形式直观地表现出来，而长方形中周长与面积的关系又通过算式给抽象出来，真正把两个知识点进行了有机的沟通，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到了整合复习的目的。
（三）借助微课，拓展课堂的空间，寻味数学知识之间的魅力
笔者认为，一节好的复习课犹如一篇好的文章，需要有豹头和凤尾。因此，课堂结束前需要对这节课整体设计的思路与背后的思考让学生能触摸到，不仅感知“两位数乘两位数”单元与“面积”单元有着一定的关联，也能感受到数学中其他的知识点也存在着密切的联系。
完成上述两个主要环节后，笔者谈话引入微课，旨在借助于微课的形式拓展学生学习的空间，呈现另一个知识点的网络图。多媒体视频依次出示下图并解释，从3 4=7这一基本算式出发，一年级是怎么运用3 4=7，三、四、五年级甚至更高的年级如何运用这个算式的，这样学生就能明白原来一个简单的加法算式有如此强大的功能，能串联起不同年级的知识。充分地感受到数学知识是紧密地联系在一起的，可以从一个知识延伸拓展到另一个知识，感悟数学知识间的生长性。
笔者以为：数学学科核心素养是基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。它反映的是数学本质与数学思想，以及学生在解决复杂现实问题过程中表现出来的综合性运用数学的意识与能力。在教学中不仅要关注教材本身所赋予的知识，更要关注教材之外的能力体系。对“两位数乘两位数”和“面积”两个单元的整合复习，正是基于这样的考虑而设计与实践的，它有利于在数学学习过程中让学生形成综合性、整体性和持久性的学习能力。因此，复习课要“面向未来”，有知识增量，有技能提升，有思维深度，充满活力。
【关键词】整合 复习 生长性
复习课，在小学数学教学中的重要性不言而喻，它不仅能巩固知识、提升能力，还能帮助学生对知识进行梳理，形成体系。但是，在实际教学中复习课却成了烫手的山芋。究其原因，一是参考资料少，各类教研活动等大都回避这一课型，教师缺乏动因；二是复习与考试往往“捆绑”在一起，大量的时间花在了单调、枯燥的做题上，学生缺乏兴趣。久而久之复习课就失去了生命力。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，应注重对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联；要注重知识的“生长点”与“延生点”，引导学生感受数学的整体性。这给复习教学提供了一个启示，复习课不仅可以是一个单元的整体复习，还可以是一个知识点的系统复习，也可以是相关联知识间的整合复习。人教版三年级下册第四单元“两位数乘两位数”与第五单元“面积”这两个单元，笔者认为单元可以独立复习，也可以把这两单元进行整合复习，上一节会生长的复习课。
一、教材知识点的梳理
要实现复习教学的最优化，就必须实现教学过程最优化，而教材的分析是实现教学过程最优化的重要内容之一，它强调从学生经验出发，遵循他们的认知规律，帮助学生有效建构系统性的知识。
（一）“两位数乘两位数单元”知识点分析
“两位数乘两位数”单元在整个小学阶段“数与代数”的学习中有着举足轻重的作用。该单元主要让学生掌握两位数乘两位数的口算与笔算的算理与算法，在此基础上应用这一知识进行“解决问题”的教学，即“连乘、连除问题”的学习，其核心内容是在掌握算理的基础上学会笔算的方法。在人教版“教师教学用书”中这样建议：让学生经历探索计算方法的过程，培养几何直观；注重运算规律的探索，培养数学思维能力。因此，该单元不仅让学生掌握笔算的方法和笔算的算理，还应发展学生的计算能力，提高学习计算类题目的兴趣。
笔者在翻阅教材中发现，教材第59页练习十三第3题：
比较每组算式得数的大小，你发现了什么？
（1）30×30= 31×29= 32×28= 33×27=
（2）50×50= 51×49= 52×48= 53×47=
细细分析这题可以发现，这两题中两个因数它们的和是一定的（60和100）；而两个因数的差是不等的，它们的差越大乘积越小；差变成0时，乘积最大。同时在省编的配套练习中也有这一类型的变式题目：
选择下面的数字5、6、7、8，组成两位数乘两位数的乘法算式，使他们的乘积最大和乘积最小，可以怎么组？
笔者认为，可以抓住教材这样细小的点进行深入的分析，与学生一起开展教学研究，从而发展学生的思维甄别力。
（二）“面积”单元知识点分析
“面积”单元的学习是学生认知上的一次飞跃，他们的认知结构从一维空间发展到二维空间。该单元主要涉及面积意义的理解和面积单位，长方形与正方形面积的计算，面积单位之间的进率和用所学的知识解决简单的实际问题，其核心内容是对面积概念和长方形面积计算的深入理解。笔者认为在学习这两个核心内容时，必须要强化面积与周长的辨析，明确图形的周长与面积在描述图形中的不同作用。
同样，在教材中我们发现了3个密切相关的知识点，一是第65页练习十四第7题：画几个长方形或正方形，使它们周长相等，然后比较面积，你发现了什么？二是第75页练习十六第10题：两个一样大小的长方形长36厘米，宽18厘米，拼成长方形和正方形，它们的周长是多少？面积是多少？三是第75页练习十六第11题：画出面积是16平方厘米的长方形（长宽是整厘米数），并计算出这些长方形的周长。仔细比较这3题，其实是对面积与周长意义的辨别，让学生更加清楚地理解两个意义。同时让学生知道，有时长方形的周长不等而面积相等，有时它们周长相等但面积不等。
（三）寻找两个单元之间的关联点
通过对两个单元的分析和部分典型题目梳理、解读后，我们发现上述这些题目既是本单元的重点知识，都围绕着单元目标开展的一些基本练习。又是对核心知识的提升，能充分发展学生的思维能力和动态想象力。它们之间还存在着一种联系，周长相等就是两个数的和相等，面积不等就是这两个数的乘积不等。当长方形变成正方形时长和宽的差就是0，它们的面积最大也就是乘积最大；反之，长方形的长和宽差变大，它们的面积就变小也就是乘积变小。
笔者认为，围绕上述知识点把这两个单元进行整合的复习，一是有利于加深对笔算乘法单元知识的巩固，借助于图形的直观来揭示“和一定积发生变化”的规律性知识的道理；二是能巩固面积与周长的计算方法，知道面积与周长的辩证关系，懂得图形背后有着计算作为支撑的秘密。
二、教学实践与思考
基于对教材的分析与思考，笔者觉得，可以从由4个数字组成两个两位数乘积最大和乘积最小开始进行复习，逐步引导学生对教材进行梳理与思考，寻找与此知识点相关联的知识，体会到知识之间的联系与生长点。
（一）自主计算，复习算理与算法，寻找知识内部之间的规律
课始，笔者出示“1、2、3、4”四个数字，要求组成两个没有重复数字的两位数乘两位数，其中乘积最小是□□×□□，乘积最大是□□×□□。学生根据已有的认知经验很快组出乘积最大是42×31或41×32，组出乘积最小为13×24或14×23。随后，组织学生独立计算4个题目，选择一题进行两位数笔算方法的回忆以及对算理的解释。 接着，组织学生一组一组仔细观察：42×31和41×32，13×24和14×23，质疑有什么发现？
生1：42×31与41×32中41×32乘积较大，13×24和14×23中13×24的乘积较小；
生2：42×31与41×32中，两个因数的和都是73，但它们的乘积不一样；而13×24和14×23中，两个因数的和都是37，但它们的乘积也不一样；
生3：42×31与41×32中，两个因数的差分别是11和9，差是9的两个因数乘积较大，同样13×24和14×23中，两个因数的差也是11和9，差是9的两个因数乘积较大，两组算式中，差是11的两个因数的乘积较小。
通过思考并讨论，发现在这样的计算中有一定的规律存在，是否在其他这样类似的题目中还有着相同的规律？于是，教师再次出示“1、2、3、5”四个数字，组织学生列出乘积大的一组算式51×32和52×31、乘积小的一组算式15×23和13×25进行比对，由男生与女生分别计算。通过汇报得出这组算式的规律：乘积大的一组算式中两个因数的和均为83，差分别是19和21，差是19的算式乘积较大，而乘积小的一组算式中两个因数的和都是38，差分别是8和12，差是8的乘积较大，差是12的乘积较小。经过验证后可以得出一个普遍性的规律：两个因数的和一样，差较小的乘积较大，差较大的乘积较小。
这一环节旨在让学生通过组数、计算，进一步熟练掌握笔算两位数乘法的计算方法和算理，逐渐发现计算教学中在特定的规则下存在着一种规律。当然，这一规律还只是停留在计算层面上，要让学生更加直观地感受到还需要借助于图形的分析来支撑，这为整合复习奠定了基础。
（二）合作探究，复习周长与面积，寻求知识外部之间的联系
在完成第一个环节后，笔者设疑：在其他单元的知识点中是否也存在着这样的现象，它们的和一样，但它们的乘积不一样。带着疑问组织学生翻阅书本，4人小组讨论寻找类似的知识点，勾起学生的记忆。
生4：我们小组认为在面积单元也存在着这样的规律，周长相等，正方形面积大。
生5：我们小组觉得周长相等时，长方形与正方形面积相比，正方形大长方形小。也就是长 宽的和是不变的，但是长×宽的积在发生变化，越扁的长方形面积越小，越接近正方形面积越大。
师：请这组同学到黑板上来画出草图，其他同学看看他刚才表述的和画出来的图是不是一致（如下图）。
师：这位同学画了长是5厘米，宽是3厘米的长方形和一个边长是4厘米的正方形，能说明刚才他的意思吗？
生6：长方形的周长是（5 3）×2=16厘米，面积是5×3=15平方厘米，正方形的周长是4×4=16厘米，面积是4×4=16平方厘米。周长都是16，相等；面積是正方形大。
在反馈与讨论过程中，不仅复习了长方形的周长与面积的计算方法，而且学生慢慢地发现面积单元中周长与面积之间确实存在着和不变、积发生变化的情况。接着，全体学生独立研究教师提供的素材，让学生自己量并计算周长和面积（数据如下图）。汇报后得出周长均是20厘米，面积分别是（9、21、25）平方厘米，也就是“长 宽”的和不变，“长×宽”的积发生变化，当长与宽的差是0时面积最大，长与宽的差越大，面积越小。
学生借助于自己寻找相关联的知识点，动手量图形进行验证，从笔算乘法中规律性的知识慢慢地与图形相结合，树立起周长守恒观念和周长、面积之间的辩证关系。
接着，笔者出示长23厘米、宽14厘米的长方形，面积是322平方厘米；再出示一个长24厘米、宽13厘米的长方形，面积是312平方厘米（如上图）。把笔算乘法13×24与14×23用图的形式进行了解释，学生直观发现长23厘米宽14厘米更加接近于正方形，因此这两个数的乘积相对于24×13要大一些。在图形的表征下，学生明确了13×24与14×23乘积的差就是23×（14-13）与13×（24-23）的差，较好地渗透了数形结合的思想与方法。
完成上述两个教学过程后，需要对相关的知识点进行一定的梳理，让学生更加清楚地明白看似不相关的知识是如何紧密地结合在一起的。教师设问：一个是两位数乘两位数，一个是长方形的周长与面积，它们之间有何种联系？经过学生的汇报与小结，进一步明确了：两个数的和不变，差越小乘积越大；长方形中周长不变，越接近正方形面积越大。随后，组织学生独立完成：一根长36cm的铁丝，围成一个长方形或正方形（如果边是整厘米数），有几种方法？怎样围面积最大？此时，学生能较快地知道“长 宽”的和是18厘米，围成正方形（边长为9厘米）面积最大是81平方厘米。
著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这一环节通过“以形助数”和“以数解形”两个方法使抽象思维与形象思维紧密地结合：乘法中隐藏的规律用图的形式直观地表现出来，而长方形中周长与面积的关系又通过算式给抽象出来，真正把两个知识点进行了有机的沟通，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到了整合复习的目的。
（三）借助微课，拓展课堂的空间，寻味数学知识之间的魅力
笔者认为，一节好的复习课犹如一篇好的文章，需要有豹头和凤尾。因此，课堂结束前需要对这节课整体设计的思路与背后的思考让学生能触摸到，不仅感知“两位数乘两位数”单元与“面积”单元有着一定的关联，也能感受到数学中其他的知识点也存在着密切的联系。
完成上述两个主要环节后，笔者谈话引入微课，旨在借助于微课的形式拓展学生学习的空间，呈现另一个知识点的网络图。多媒体视频依次出示下图并解释，从3 4=7这一基本算式出发，一年级是怎么运用3 4=7，三、四、五年级甚至更高的年级如何运用这个算式的，这样学生就能明白原来一个简单的加法算式有如此强大的功能，能串联起不同年级的知识。充分地感受到数学知识是紧密地联系在一起的，可以从一个知识延伸拓展到另一个知识，感悟数学知识间的生长性。
笔者以为：数学学科核心素养是基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。它反映的是数学本质与数学思想，以及学生在解决复杂现实问题过程中表现出来的综合性运用数学的意识与能力。在教学中不仅要关注教材本身所赋予的知识，更要关注教材之外的能力体系。对“两位数乘两位数”和“面积”两个单元的整合复习，正是基于这样的考虑而设计与实践的，它有利于在数学学习过程中让学生形成综合性、整体性和持久性的学习能力。因此，复习课要“面向未来”，有知识增量，有技能提升，有思维深度，充满活力。