在全等三角形的教学中,众所周知满足边边角对应相等的两个三角形是不一定全等的,而只有当两个三角形都是锐角三角形或都是钝角三角形时两个三角形才能全等。为了清楚说明这两种情况的正确性,现将其证明如下:
　　问题:在⊿ABC和⊿A1B1C1中,AB=A1B1,BC=B1C1,∠A=∠A1,那么⊿ABC与⊿A1B1C1全等吗?
　　1.若⊿ABC和⊿A1B1C1都是锐角三角形,且∠A=∠A1,AB=A1B1,BC=B1C1,求证:⊿ABC≌⊿A1B1C1
　　证明:分别过B,B1作BD⊥AC于D,B1D1⊥A1C1于D1
　　∵ 由于⊿ABC,⊿A1B1C1均为锐角三角形
　　∴D,D1必在AC,A1C1上
　　∵∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1= 90°,AB=A1B1
　　∴⊿ABD≌⊿A1B1C1(AAS)
　　∴BD=B1D1
　　又∵∠BDC=∠B1D1C1= 90°, BC=B1C1,
　　∴Rt⊿BCD≌Rt⊿B1C1D1(HL)
　　∴∠C=∠C1
　　又∵∠CAB=∠C1A1B1 ,BC=B1C1
　　∴⊿ABC≌⊿A1B1C1(AAS)
　　
　　2.当⊿ABC和⊿A1B1C1中有一个三角形为锐角三角形,另一个为钝角三角形时,两个三角形也具有∠A=∠A1 ,AB=A1B1 ,BC=B1C1显然两个三角形不全等。其图形可以这样画出来。
　　先画两个全等的三角形的⊿ABC和⊿A1B1C1 ,再到⊿A1B1C1的B1C1上取一点D1使A1D1=AC(以A1为圆心以A1C1为半径画交B1C1于D1点)
　　∵A1C1=A1D1
　　∴∠C1=∠A1D1C1(等边对等角)
　　
　　又∵∠C=∠C1
　　∴∠A1D1C1=∠C
　　又∵∠A1D1C1+∠A1D1B1=180°
　　∴∠C≠∠A1D1B1
　　∴在⊿ABC和⊿A1B1C1中,∠B=∠B1,AB=A1B1,AC=A1D1,而这两个三角形显然是不全等的。
　　3.若⊿ABC和⊿A1B1C1都是钝角三角形时,∠A=∠A1,AB=A1B1,BC=B1C1,且∠A和∠A1均为钝角,则⊿ABC≌⊿A1B1C1
　　证明:分别过B,B1作BD⊥CA的延长线于D,B1D1⊥C1A1的延长线于D1
　　∵∠CAB,∠C1A1B1均为钝角
　　∴D,D1必在CA,C1A1的延长线上
　　∵∠CAB=∠C1A1B1
　　∴∠BAD=∠B1A1D1(等角的补角相等)
　　
　　又∵∠D=∠D1=90°,AB=A1B1
　　∴⊿ABD≌⊿A1B1D1(AAS)
　　∴BD=B1D1 ,
　　在Rt⊿BDC和RtB1D1C1中
　　∵∠BDC=∠B1D1C1=90°,
　　BC=B1C1,BD=B1D1
　　∴Rt⊿BDC≌Rt⊿B1D1C1(HL)
　　∴∠C=∠C1
　　又∵∠CAB=∠C1A1B1,AB=A1B1
　　∴⊿ABC≌⊿A1B1C1(AAS)
　　也就是说两个三角形具备两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,也就是常说的“SSA”不成立。
　　现在要提出这方面的另一个命题:在四边形中一组对边相等,一组对角相等,这个四边形是平行四边形吗?
　　若四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形吗?
　　
　　(1)如果这个四边形画成了下图的形式
　　过A作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F
　　∵∠B=∠D,∠AEB=∠CFD=90°,AB=CD
　　∴⊿ABE≌⊿CDF(AAS)
　　∴AE=CF,BE=DF
　　在Rt⊿AEC和Rt⊿CFA中
　　AE=CF,AC=CA
　　∴Rt⊿AEC≌Rt⊿CFA(HL)
　　∴AF=CE
　　又∵AF+FD=CE+BE
　　∴AD=CB,AB=CD
　　∴四边形ABCD为平行四边形
　　这个结论为什么真确呢?原因是我们用了两个全等的三角形(⊿ABC≌⊿CDA)去拼。实际上未证之前就承认了这个四边形是平行四边形。也就是
　　运用了⊿ABC和⊿CDA中的AB=CD,AC=CA,∠B=∠D,即边边角去拼的。
　　(2)不用方式(1)去拼,而是按如下方式拼
　　两个三角形⊿ABC和⊿DEF.且⊿ABC≌⊿DEF
　　在EF上取一点M,使DF=DM
　　在⊿ABC和⊿DEM中,AB=DE,AC=DM,
　　∠B=∠E,把⊿DEM拼在⊿ABC上,使MD与AC重合(E在⊿ABC外)如下图得到四边形ABCE,显然它不是平行四边形。
　　
　　也就是说,有一组对角对边相等的四边形不一定是平行四边形。
　　通过以上的两个问题的研究,有些几何问题表面上或特殊情况下是成立的,不要被假象所迷惑,要把不同情况下的图形都画出来,有时要做几何模型进行拼接,让学生能透彻理解,达到真正理解问题成立与不成立的道理,明其理,达到动手动脑结合思考问题的目的。
　　(作者联通:445700湖北省来凤县实验中学)