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注重提高学生的数学思维能力是新课程的基本理念之一，也是数学教育的基本目标之一。而不同学习方式的运用会影响学生对研究内容的思维方式，经常运用的学习方式会使学生形成一些稳定的思维方式。作为教师，我们有责任提高教学活动的实效性，帮助学生建立丰富的学习方式，改进学生的学习方法，使学生形成良好的思维方式，为学生的终身学习和终身发展打下良好的基础。
■ 合理继承和发展传统教学
1.重视知识形成过程的“发现学习”理念
“发现学习”的基本特点是不把现成的结论告诉学生，而是为学生提供问题情境并引导学生自己去发现问题、解决问题。学生发现学习的“发现”与科学家的“发现”只是形式和程度不同，其性质是相同的。发现学习重视发现的“过程”。认识是一个过程。“就认识者而言，认识的过程本身含有积极的意义，而不是消极的。假如认识者要使呈现在他面前的知识成为他自己的知识，他就必须亲自从事‘发现的行动’，亲自从事构成模式的过程。”
例如，在研究“等差数列的求和公式”时，我是这样组织教学的。
首先提出一个问题：“谁听过高斯求和的故事？”学生马上被我的提问所吸引。这个故事大部分学生在小学就听教师讲过，所以便都跃跃欲试，我请一位善于表达语言的学生来讲述这个故事。学生讲完故事后，我接着提出第二个问题：“你能用高斯求和的方法来解决等差数列的求和问题吗？”
教师板书：已知数列{an}是等差数列，求Sn=a1+a2+…+an的值。
立刻有学生提出：先利用化归的方法得到Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d，只需求出S=1+2+3+…+(n-1)即可。
由于1+(n-1)=2+(n-2)=3+(n-3)=……，所以只需将原有的各项首尾等距离两两配对求和，显然各项的和都等于n，而原式共有n-1项，所以配对后共有——项，因此得到S=————，所以Sn=na1+————d。
教师继续提问：“这种解法合理吗？”
经过思考，学生发现只有n为奇数时，上面的解法得到的S=————才是正确的，那么当n为偶数时，怎么推导S=————也成立呢？
课堂的气氛活跃起来，大家争抢着回答，有的学生说：“当n为偶数时，n-2是偶数，因此，可以将前n-2项的各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n-1，共——对，所以S=(n-1)×——+(n-1)=————”；有的学生说：“当n为偶数时，可在原式中添一项n，再添一项-n，之后，将前n项的各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n+1，共—对，所以S=(n+1)×—
-n=————”；有的学生说：“当n为偶数时，可在原式中保留一项1，之后，将其余各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n+1，共——对，所以S=(n+1)×——+1=
————”；有的学生说：“当n为偶数时，原式共有奇数项，可在原式中去掉正中间一项，之后，将其余各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n，共——对，所以S=n×——+a中，而1，a中，n-1构成等差数列，所以a中=————=—，所以S=n×
——+—＝————。”
至此，学生不再发言，我追问他们：“还有其他方法吗？”没人回答。
这时，我启发学生认真思考上述四种方法的本质，即重新考虑能用高斯求和的方法求解的特征，再从凑这个特征出发，对上述解法发表评论。
过了一会儿，一位学生说：“能运用高斯求和的方法的基础是‘将式中原有的项两两配成和相等的对，不能剩下单个的’，从这个基点出发，当n为偶数时，S=1+2+3+……+(n-1)中共有奇数项，要想凑成整数对，可添项，可减项，添项可添在式首、式尾、式中间，减项可减首项、尾项、中间项，因此，共有6种方法，其中以在原式的首项前添0最简单。”
听了这位学生的高论，其他学生不自觉地发出了赞叹之声。
趁着学生群情激昂，我又提出：“你能想办法避免对n进行奇、偶讨论，解决问题吗？”大家讨论后提出了“倒序相加法”，至此学生的解法已超过了高斯求和的方法。
本节课从学生熟悉的故事入手，围绕如何运用高斯求和的方法，揭示问题解决过程中要注意一题多解，但更要重视多解归一的道理，从而跳出孤立、零散的方法，不断发现一般规律，达到创新的目的。
2.重视培养学生“求真务实”的学习习惯
虽然新课程教材在编写上有了很大的变化，但数学概念的抽象性、论证的逻辑性、解法的灵活性、应用的广泛性对学生来讲仍然具有很大挑战。因此，在教学中我们还要指导学生从多角度认真分析，学会理解和把握概念本质属性的思维方式，提高学习效率。
例如，在学习高一数学《函数的概念和性质》的知识时，要指导学生养成从文字语言、符号语言、图形语言三个角度去理解数学知识的习惯，在处理问题时有意识地运用三种语言的相互转化弄通问题背景，进而解决问题。
比如，在理解函数单调性的概念时，从图形语言看，它是揭示函数图像上升或下降趋势的变化规律的；从文字语言看，它是研究函数在某个局部区间，当自变量增大时，函数值是否随之增大的特征的；从符号语言看，它是在刻画在某个区间，当自变量x1f(x2)）；③f(x)单调增(或减)函数。知道①②，就可得到③，这是在判断函数的单调性；知道①③，就可得到②，这是在利用单调性比较大小；知道②③，就可得到①，这是在解不等式。也就是说，有关不等式的问题只可能出现三类：判断单调性、比较大小、解不等式。
实际上，由于符号语言的高度抽象概括性的特点，许多数学问题都以符号语言形式叙述，这就需要我们把符号语言转化为文字语言或图形语言，增强直观性，把握本质属性，解决问题。
例如，已知函数f(x)是定义在R上偶函数，f(1)=0,且在[0，+∞)上是增函数，解不等式xf(x)<0的解集。
根据题目涉及的函数特征，画图1。而xf(x)<0转化成文字语言就是要求函数横坐标与纵坐标异号的图像对应的x值的集合，即找出函数图像在第二、四象限时对应的x的取值集合，所以xf(x)<0的解集为{x|x<-1,或0
■ 科学地看待新课程教材特点
新课程教材在选修1、2中，安排了《推理与证明》。新课程标准对《推理与证明》的定位为：“推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、试验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。”
数学发现靠的主要是合情推理，而数学理论的整理主要是靠演绎推理，我们对两者不可偏废。我们要通过数学教学来培养学生发现数学知识的能力，让学生通过数学的学习过程，循着数学家发现数学的道路，只有这样才能培养出具有创新性和发现能力的新人。而这方面的培养，一个最有力的工具就是合情推理。因此，提高学生合情推理的能力是我们当前数学教学的一项重要任务。
教材中“合情推理”模块仅是一个抛砖引玉式的设计，我们应该在高中整个数学教学过程中有意识地渗透合情推理的思维方式。
1.有意识地渗透归纳推理的思维方式
归纳推理是针对一类事物而言的，是对特例进行观察与整合、从而发现一般规律的过程。在合情推理的思维方式中，由特殊到一般是一种最基本的推理方式，归纳常常从观察开始，从观察数与形开始。
例如，画函数图像是掌握函数的基本功。进入高一不久的学生，在画函数图像时，有的说应该描3个点，有的说应该描5个点。其实，正确的做法是，不应该千篇一律地认为画函数图像一定要确定描几个点，而是要因题而异，描点的原则应该是通过描出的点，能够归纳出尚未描出的点的变化趋势。
再比如，在探究指数函数的图像和性质时，我们在同一直角坐标系中，通过描点，画出函数y=2x,y=(—)x,y=3x, y=(—)x的图像后，学生就会发现函数y=2x的图像与y=(—)x的图像关于y轴对称；函数y=3x的图像与y=(—)x的图像关于y轴对称。这时，如果我们启发学生将函数y=2x记作y=f(x),那么函数y=(—)x应该如何表示，进而可以归纳得到什么规律？引导学生得出函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称。当然，我们还可以引导学生，根据上述四个函数的图像可以归纳得出：对于指数函数来说，当x>0时，底数越大，图像相对位置越高等。
2.有意识地渗透类比推理的思维方式
类比推理是针对两类事物而言的，是根据两类对象具有某些相同的属性而推出当一类对象具有一个另外的性质时，另一类对象也具有这一性质的一种推理方式。尽管类比推理仅是一种“似真”性质推理，并不具备证明的效力，但它在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法，乃至今后科研创新中均具有独特的作用。
例如，在学习《指数函数的概念和性质》一节中，我给学生机会，请学生根据自己的理解为指数函数下定义。一位学生说：“我们在初中已经学过正比例函数y=kx(k为常数，k≠0),反比例函数y=—(k为常数，k≠0),一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0),我们可以定义指数函数y=ax，类比前面函数的定义还要考虑对常数a进行分析，合理限制。”之后通过学生集体讨论，得到了常数a的限制条件：a>0,且a≠1,完善了指数函数的概念。
再比如，新的人教版教材中出现的微分和积分的概念，因为没有系统地介绍极限等基本概念，导致无法严格地在积分这段教学中采取严谨的论证方式。在课堂上，能够利用好类比合情推理模式，就能很自然地将知识展开。而且，这也还原了历史上微积分真实的逻辑展开顺序，让学生易于接受和融会贯通。
我们研究积分中最基本的定积分计算的时候，就把积分和求部分和进行类比，考虑一个物体依照s=s(t)规律在直线上运动。我们已经知道，其在某—时刻t0的运动速度v(t0)(即瞬时速度或瞬时变化率)为s=s(t)在t0时刻的导数,即v(t0)=s′(t0)。今考虑s(t)在t=a到t=b之间位置的总变化。我们把区间[a,b]分割成n个小区间，不妨假设小区间的长度相等，均为△ti。对每一个小区间，我们假设s(t)的变化率近似为某一常量，于是我们可以说△s≈s(t)的变化率×时间。在第一个小区间内，即从t0到t1，假设s(t)的变化率近似地为s′(t0)，于是有△s0≈s′(t0)△t0，△t0=t1-t0，同样，在第二个小区间内，即从t1到t2，假设s(t)的变化率近似地为s′(t1)，因此有△s1≈s′(t1)△t1，△t1=t2-t1等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得出s的总变化=△si≈s′(ti)△ti，我们可以把s(t)在t0=a到tn=b之间位置的总变化写成s(b)-s(a)。另一方面，当分割无限加细，n趋于无穷时，和式s′(ti)△ti≈v(ti)△ti的极限就是定积分v(t)dt或s′(t)dt，也就是s(t)在t=a到t=b之间位置的总变化。于是我们可以得到以下结论：s(b)-s(a)=v(t)dt或s′(t)dt，也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。特别地，当物体做匀速运动时，即v(t)≡v时，s(b)-s(a)=
v(b-a)=vdt，当物体做匀速运动时，即v(t)≡v时，s(b)-s(a)=v(b-a)=vdt，当物体做匀加速运动时，即v(t)=c(t)(其中c是常数)时，s(b)-s(a)=—c(b2-a2)=ctdt。一般地，如果f(t)是连续函数，并且f(t)=F′(t)，那么f(t)dt=F(b)-F(a)。这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分(导数)与积分的联系。类似地，微分符号dx、dy、——的运用，参数方程、反函数或者隐函数的导数公式的导出都可以类比使用形式符号进行，既形象生动，又深入浅出，体现了数学的和谐之美，也培养了学生的探究发现的意识。
■ 巧妙利用高考试题的导向作用
合情推理在解决问题的过程中具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。近几年全国各地的高考试题，有许多对合情推理进行了考查。
①在数与式的归纳中考查合情推理的，如2007年湖南高考卷第15题。
将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是。
②在图与形的归纳中考查合情推理的，如2006年广东高考卷第14题。
在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2、3、4……堆最底层（第一层）分别按图3所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=；f(n)=
（答案用n表示）。
③通过类比定义新概念的，如2008年北京高考卷中的第20题。
对于每项均是正整数的数列A：a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n,a1-1,a2-1,…,an-1。
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2。
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak)。
合情推理的应用，使原有认知结构得到有效的整合和优化，思维能力得到发展，并把学习者引入到一个更广阔的领域，去体验数学探究与发展的乐趣。在打造创新型国家的今天，这已成为新时代的要求。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
■ 合理继承和发展传统教学
1.重视知识形成过程的“发现学习”理念
“发现学习”的基本特点是不把现成的结论告诉学生，而是为学生提供问题情境并引导学生自己去发现问题、解决问题。学生发现学习的“发现”与科学家的“发现”只是形式和程度不同，其性质是相同的。发现学习重视发现的“过程”。认识是一个过程。“就认识者而言，认识的过程本身含有积极的意义，而不是消极的。假如认识者要使呈现在他面前的知识成为他自己的知识，他就必须亲自从事‘发现的行动’，亲自从事构成模式的过程。”
例如，在研究“等差数列的求和公式”时，我是这样组织教学的。
首先提出一个问题：“谁听过高斯求和的故事？”学生马上被我的提问所吸引。这个故事大部分学生在小学就听教师讲过，所以便都跃跃欲试，我请一位善于表达语言的学生来讲述这个故事。学生讲完故事后，我接着提出第二个问题：“你能用高斯求和的方法来解决等差数列的求和问题吗？”
教师板书：已知数列{an}是等差数列，求Sn=a1+a2+…+an的值。
立刻有学生提出：先利用化归的方法得到Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d，只需求出S=1+2+3+…+(n-1)即可。
由于1+(n-1)=2+(n-2)=3+(n-3)=……，所以只需将原有的各项首尾等距离两两配对求和，显然各项的和都等于n，而原式共有n-1项，所以配对后共有——项，因此得到S=————，所以Sn=na1+————d。
教师继续提问：“这种解法合理吗？”
经过思考，学生发现只有n为奇数时，上面的解法得到的S=————才是正确的，那么当n为偶数时，怎么推导S=————也成立呢？
课堂的气氛活跃起来，大家争抢着回答，有的学生说：“当n为偶数时，n-2是偶数，因此，可以将前n-2项的各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n-1，共——对，所以S=(n-1)×——+(n-1)=————”；有的学生说：“当n为偶数时，可在原式中添一项n，再添一项-n，之后，将前n项的各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n+1，共—对，所以S=(n+1)×—
-n=————”；有的学生说：“当n为偶数时，可在原式中保留一项1，之后，将其余各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n+1，共——对，所以S=(n+1)×——+1=
————”；有的学生说：“当n为偶数时，原式共有奇数项，可在原式中去掉正中间一项，之后，将其余各项首尾等距离两两配对求和，每对和都等于n，共——对，所以S=n×——+a中，而1，a中，n-1构成等差数列，所以a中=————=—，所以S=n×
——+—＝————。”
至此，学生不再发言，我追问他们：“还有其他方法吗？”没人回答。
这时，我启发学生认真思考上述四种方法的本质，即重新考虑能用高斯求和的方法求解的特征，再从凑这个特征出发，对上述解法发表评论。
过了一会儿，一位学生说：“能运用高斯求和的方法的基础是‘将式中原有的项两两配成和相等的对，不能剩下单个的’，从这个基点出发，当n为偶数时，S=1+2+3+……+(n-1)中共有奇数项，要想凑成整数对，可添项，可减项，添项可添在式首、式尾、式中间，减项可减首项、尾项、中间项，因此，共有6种方法，其中以在原式的首项前添0最简单。”
听了这位学生的高论，其他学生不自觉地发出了赞叹之声。
趁着学生群情激昂，我又提出：“你能想办法避免对n进行奇、偶讨论，解决问题吗？”大家讨论后提出了“倒序相加法”，至此学生的解法已超过了高斯求和的方法。
本节课从学生熟悉的故事入手，围绕如何运用高斯求和的方法，揭示问题解决过程中要注意一题多解，但更要重视多解归一的道理，从而跳出孤立、零散的方法，不断发现一般规律，达到创新的目的。
2.重视培养学生“求真务实”的学习习惯
虽然新课程教材在编写上有了很大的变化，但数学概念的抽象性、论证的逻辑性、解法的灵活性、应用的广泛性对学生来讲仍然具有很大挑战。因此，在教学中我们还要指导学生从多角度认真分析，学会理解和把握概念本质属性的思维方式，提高学习效率。
例如，在学习高一数学《函数的概念和性质》的知识时，要指导学生养成从文字语言、符号语言、图形语言三个角度去理解数学知识的习惯，在处理问题时有意识地运用三种语言的相互转化弄通问题背景，进而解决问题。
比如，在理解函数单调性的概念时，从图形语言看，它是揭示函数图像上升或下降趋势的变化规律的；从文字语言看，它是研究函数在某个局部区间，当自变量增大时，函数值是否随之增大的特征的；从符号语言看，它是在刻画在某个区间，当自变量x1
实际上，由于符号语言的高度抽象概括性的特点，许多数学问题都以符号语言形式叙述，这就需要我们把符号语言转化为文字语言或图形语言，增强直观性，把握本质属性，解决问题。
例如，已知函数f(x)是定义在R上偶函数，f(1)=0,且在[0，+∞)上是增函数，解不等式xf(x)<0的解集。
根据题目涉及的函数特征，画图1。而xf(x)<0转化成文字语言就是要求函数横坐标与纵坐标异号的图像对应的x值的集合，即找出函数图像在第二、四象限时对应的x的取值集合，所以xf(x)<0的解集为{x|x<-1,或0
■ 科学地看待新课程教材特点
新课程教材在选修1、2中，安排了《推理与证明》。新课程标准对《推理与证明》的定位为：“推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、试验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。”
数学发现靠的主要是合情推理，而数学理论的整理主要是靠演绎推理，我们对两者不可偏废。我们要通过数学教学来培养学生发现数学知识的能力，让学生通过数学的学习过程，循着数学家发现数学的道路，只有这样才能培养出具有创新性和发现能力的新人。而这方面的培养，一个最有力的工具就是合情推理。因此，提高学生合情推理的能力是我们当前数学教学的一项重要任务。
教材中“合情推理”模块仅是一个抛砖引玉式的设计，我们应该在高中整个数学教学过程中有意识地渗透合情推理的思维方式。
1.有意识地渗透归纳推理的思维方式
归纳推理是针对一类事物而言的，是对特例进行观察与整合、从而发现一般规律的过程。在合情推理的思维方式中，由特殊到一般是一种最基本的推理方式，归纳常常从观察开始，从观察数与形开始。
例如，画函数图像是掌握函数的基本功。进入高一不久的学生，在画函数图像时，有的说应该描3个点，有的说应该描5个点。其实，正确的做法是，不应该千篇一律地认为画函数图像一定要确定描几个点，而是要因题而异，描点的原则应该是通过描出的点，能够归纳出尚未描出的点的变化趋势。
再比如，在探究指数函数的图像和性质时，我们在同一直角坐标系中，通过描点，画出函数y=2x,y=(—)x,y=3x, y=(—)x的图像后，学生就会发现函数y=2x的图像与y=(—)x的图像关于y轴对称；函数y=3x的图像与y=(—)x的图像关于y轴对称。这时，如果我们启发学生将函数y=2x记作y=f(x),那么函数y=(—)x应该如何表示，进而可以归纳得到什么规律？引导学生得出函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称。当然，我们还可以引导学生，根据上述四个函数的图像可以归纳得出：对于指数函数来说，当x>0时，底数越大，图像相对位置越高等。
2.有意识地渗透类比推理的思维方式
类比推理是针对两类事物而言的，是根据两类对象具有某些相同的属性而推出当一类对象具有一个另外的性质时，另一类对象也具有这一性质的一种推理方式。尽管类比推理仅是一种“似真”性质推理，并不具备证明的效力，但它在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法，乃至今后科研创新中均具有独特的作用。
例如，在学习《指数函数的概念和性质》一节中，我给学生机会，请学生根据自己的理解为指数函数下定义。一位学生说：“我们在初中已经学过正比例函数y=kx(k为常数，k≠0),反比例函数y=—(k为常数，k≠0),一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0),我们可以定义指数函数y=ax，类比前面函数的定义还要考虑对常数a进行分析，合理限制。”之后通过学生集体讨论，得到了常数a的限制条件：a>0,且a≠1,完善了指数函数的概念。
再比如，新的人教版教材中出现的微分和积分的概念，因为没有系统地介绍极限等基本概念，导致无法严格地在积分这段教学中采取严谨的论证方式。在课堂上，能够利用好类比合情推理模式，就能很自然地将知识展开。而且，这也还原了历史上微积分真实的逻辑展开顺序，让学生易于接受和融会贯通。
我们研究积分中最基本的定积分计算的时候，就把积分和求部分和进行类比，考虑一个物体依照s=s(t)规律在直线上运动。我们已经知道，其在某—时刻t0的运动速度v(t0)(即瞬时速度或瞬时变化率)为s=s(t)在t0时刻的导数,即v(t0)=s′(t0)。今考虑s(t)在t=a到t=b之间位置的总变化。我们把区间[a,b]分割成n个小区间，不妨假设小区间的长度相等，均为△ti。对每一个小区间，我们假设s(t)的变化率近似为某一常量，于是我们可以说△s≈s(t)的变化率×时间。在第一个小区间内，即从t0到t1，假设s(t)的变化率近似地为s′(t0)，于是有△s0≈s′(t0)△t0，△t0=t1-t0，同样，在第二个小区间内，即从t1到t2，假设s(t)的变化率近似地为s′(t1)，因此有△s1≈s′(t1)△t1，△t1=t2-t1等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得出s的总变化=△si≈s′(ti)△ti，我们可以把s(t)在t0=a到tn=b之间位置的总变化写成s(b)-s(a)。另一方面，当分割无限加细，n趋于无穷时，和式s′(ti)△ti≈v(ti)△ti的极限就是定积分v(t)dt或s′(t)dt，也就是s(t)在t=a到t=b之间位置的总变化。于是我们可以得到以下结论：s(b)-s(a)=v(t)dt或s′(t)dt，也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。特别地，当物体做匀速运动时，即v(t)≡v时，s(b)-s(a)=
v(b-a)=vdt，当物体做匀速运动时，即v(t)≡v时，s(b)-s(a)=v(b-a)=vdt，当物体做匀加速运动时，即v(t)=c(t)(其中c是常数)时，s(b)-s(a)=—c(b2-a2)=ctdt。一般地，如果f(t)是连续函数，并且f(t)=F′(t)，那么f(t)dt=F(b)-F(a)。这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分(导数)与积分的联系。类似地，微分符号dx、dy、——的运用，参数方程、反函数或者隐函数的导数公式的导出都可以类比使用形式符号进行，既形象生动，又深入浅出，体现了数学的和谐之美，也培养了学生的探究发现的意识。
■ 巧妙利用高考试题的导向作用
合情推理在解决问题的过程中具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。近几年全国各地的高考试题，有许多对合情推理进行了考查。
①在数与式的归纳中考查合情推理的，如2007年湖南高考卷第15题。
将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是。
②在图与形的归纳中考查合情推理的，如2006年广东高考卷第14题。
在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2、3、4……堆最底层（第一层）分别按图3所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=；f(n)=
（答案用n表示）。
③通过类比定义新概念的，如2008年北京高考卷中的第20题。
对于每项均是正整数的数列A：a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n,a1-1,a2-1,…,an-1。
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2。
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak)。
合情推理的应用，使原有认知结构得到有效的整合和优化，思维能力得到发展，并把学习者引入到一个更广阔的领域，去体验数学探究与发展的乐趣。在打造创新型国家的今天，这已成为新时代的要求。
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