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数学,作为一门重要的基础课程,无论是其理论价值和实际应用,对后继课程的学习均起着举足轻重的作用。笔者通过在高校工科学校的数学教学的实践,认为教师只有正确分析高校工科数学的特点和学生的实际,切实加强现代认知理论在数学教学中的应用,才能做好高校工科数学的教学工作。
1.问题的提出
1.1高校一、二年级学生的特点。
高校工科数学课一般在大学一年级或二年级上学期开设,授课时间为一年到一年半,每周六课时或五课时。作为高校一年级学生,刚从高中进入高校,对于教和学来说,存在两方面的问题,一是学生的学习习惯问题。在初、高中六年间,学生一直忙于备考,教学几乎以行为主义心理学,即“刺激—反应”学说为依据,教师通过仔细的讲解、大量的练习,使学生达到熟能生巧的地步,学生一直在教师的直接、耐心、细致的指导下进行学习,尤其是高中阶段,每个学生的习题集和试卷都是厚厚的一大摞,学生的学习已习惯于在教师的指导下进行,学习的目的很明确,就是为了应考。二是心理适应问题。进入高校,教学方式发生了根本性的变化,从“灌输式”变为“放羊式”,学习主要靠学生的主体性来体现,一改过去强灌的做法,教学工作几乎又在课堂进行,平时教师学生接触较少,部分学生会出现无所适从的情况,还有一部分学生出现了“进入高校先放松一段时间,玩玩再说”的思想,时间一长就会出现学习困难的现象。
1.2高校工科数学课程的特点。
高校工科数学主要是作为一门基础课开设的,其特点主要有:一是时间紧,在一年到一年半时间内要学完本专业将要使用的主要数学知识;二是任务重,课程内容包括高等数学的微积分(包括一元和多元)部分、空间解析几何、线性代数、复变函数和积分变换及概率与数理统计等内容;三是应用程度高,学生对以上知识不仅要学懂、学会,还要善于在实际中解决问题,这就增加了教学与学习的难度。
1.3现代认知理论学习观的主要内容。
现代认知理论主要是针对行为主义心理学的教学观提出的,认为“刺激—反应”学说,不能充分考虑作为学习的主体——学生的情况,片面强调教的功能,忽视学生的实际情况和知识的接受过程,其代表人物是纽厄尔、西蒙等,主要内容有皮亚杰的“发生认识论原理”、奥苏贝尔的“有意义学习”、布鲁纳的“结构主义”和加涅的“信息加工理论”等。它的研究对象就是运用信息加工理论研究认知活动,其研究范围主要包括注意、知觉、心象、记忆、思维和语言等认知历程,以及儿童的认知发展和人工智能,它的特点是:(1)强调知识对认知和行为的决定作用;(2)强调认知结构和历程的整体性;(3)强调认知程序之一是产生式系统;(4)强调表征的标志性;(5)强调揭示认知历程的内部心理机制等。
2.认知理论在高校数学教学中的应用
2.1关于概念教学。
概念是学科的基础。数学概念的引入一般有两种方法:一是概念形成,即由一组正例,通过观察、抽象,概括出本质属性;二是概念同化,即利用认知结构中已有的概念与新概念的相互作用,从而获得概念。在高校工科数学中,概念的引入主要是通过概念同化,这就要求教师要充分了解学生头脑中已有的认知结构,分析新旧概念之间的异同,促进学生较好地同化或顺应新的概念。其教学模式一般有:
例如,线性代数中“n维向量”的概念,当n≥4时,在现实生活中就无原型可找,只有靠概念同化,学生此时已学过二维、三维向量的概念,教师此时要了解学生头脑中原有的认知结构(即二维、三维向量),帮助学生及时同化,形成新的认知结构(即n维向量的概念)。
2.2关于问题解决。
问题是数学的心脏。这里的“问题”不仅是包括现成的数学问题,还包括来自实际中的问题;不仅包括常规问题,还包括非常规问题(如开放性问题、数学建模等)。
2.2.1解题策略
解题策略是解题的关键,其经典莫过于波利亚的《怎样解题表》他在书中列出的常用解题策略有:(1)回到定义去:这是在解题陷入困境时有助于我们摆脱困境的一个方法,因为麻烦很可能就是由于我们还没有充分理解问题中的那些基本问句的意义;(2)问题的重新表述:例如“代数化”“方程化”就是很好的问题重新表述,“数形结合”也是一种行之有效的问题重新表述方法;(3)分解与重新组合:例如在多元函数重积分计算时,通过适当的变形,如变换积分次序,化为极坐标等是很有效的方法;(4)特殊化方法:就是从一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小集合或仅仅一个对象;(5)一般化方法:就是从一个较小集合或仅仅一个对象到一组对象集合的过渡;(6)类比:即由特殊到特殊的思维过程,在高校工科数学中,可建立平面解析几何和空间解析几何的类比、一元微积分和多元微积分的类比、实变函数与复变函数的类比等。
2.2.2模式识别
在解题过程中,模式识别非常重要,它能起到事半功倍的作用。高校工科数学教材中,多数知识是通过定义、定理,然后给出例题来表述的,但有些是直接通过典型例题来给出的,如复变函数中的围道积分问题,就是通过几个例题来讲的,这就需要教师在讲课时分析每一步的意思、解题的思路、模式的应用等。
2.2.3元认知与自我监控
元认知就是个人对其自身的认识过程进行自我反省、自我监控和自我调节,即对认知的认知,也就是把自己考虑的对象放在自身的认识上进行一番自省。在数学教学过程中,笔者发现,学生在解题时普遍不善于自我反省,会做的题目做完了事,不会做的题目置之不理,或索性抄一下答案。由于学生已经进入高校,因此,教师更应该培养学生的元认知能力。例如,在教学复变函数中的“初等解析函数”一节,学生在解题时,要么生搬硬套,要么以实变函数的形式来解决,忽视了在解题过程中对研究对象的具体分析。笔者在教学过程,要求学生在学完一章或一节后,对学习过程进行小节,理顺线索,归纳方法,对典型例题和习题寻找规律,要求学生按照波利亚的《怎样解题表》提出的解题思路思考问题,不断进行调整与修正,适时对自己的解题思路进行反思,反对就题论题。在讲授过程中,笔者也注重对问题的分析与理解,重点讲述解题思路,而具体解法则由学生自己完成。
3.非认知因素的参与
以上着重讲了认知理论在高校数学教学的概念学习和解题策略中的应用,除此之外,有关非认知因素在教学中的作用也同样不可忽视,如学生的动机、兴趣、情感、意志、性格等,这些方面对数学教学与学习有着较大的“动力功能”,应引起足够的重视。
4.数学思想、数学方法论的渗透
数学教学,不仅要传授一定的知识,更应该传授数学的思想和方法,尤其对高校学生来说,站在方法论和哲学的高度来看问题,会学得更深更透。
1.问题的提出
1.1高校一、二年级学生的特点。
高校工科数学课一般在大学一年级或二年级上学期开设,授课时间为一年到一年半,每周六课时或五课时。作为高校一年级学生,刚从高中进入高校,对于教和学来说,存在两方面的问题,一是学生的学习习惯问题。在初、高中六年间,学生一直忙于备考,教学几乎以行为主义心理学,即“刺激—反应”学说为依据,教师通过仔细的讲解、大量的练习,使学生达到熟能生巧的地步,学生一直在教师的直接、耐心、细致的指导下进行学习,尤其是高中阶段,每个学生的习题集和试卷都是厚厚的一大摞,学生的学习已习惯于在教师的指导下进行,学习的目的很明确,就是为了应考。二是心理适应问题。进入高校,教学方式发生了根本性的变化,从“灌输式”变为“放羊式”,学习主要靠学生的主体性来体现,一改过去强灌的做法,教学工作几乎又在课堂进行,平时教师学生接触较少,部分学生会出现无所适从的情况,还有一部分学生出现了“进入高校先放松一段时间,玩玩再说”的思想,时间一长就会出现学习困难的现象。
1.2高校工科数学课程的特点。
高校工科数学主要是作为一门基础课开设的,其特点主要有:一是时间紧,在一年到一年半时间内要学完本专业将要使用的主要数学知识;二是任务重,课程内容包括高等数学的微积分(包括一元和多元)部分、空间解析几何、线性代数、复变函数和积分变换及概率与数理统计等内容;三是应用程度高,学生对以上知识不仅要学懂、学会,还要善于在实际中解决问题,这就增加了教学与学习的难度。
1.3现代认知理论学习观的主要内容。
现代认知理论主要是针对行为主义心理学的教学观提出的,认为“刺激—反应”学说,不能充分考虑作为学习的主体——学生的情况,片面强调教的功能,忽视学生的实际情况和知识的接受过程,其代表人物是纽厄尔、西蒙等,主要内容有皮亚杰的“发生认识论原理”、奥苏贝尔的“有意义学习”、布鲁纳的“结构主义”和加涅的“信息加工理论”等。它的研究对象就是运用信息加工理论研究认知活动,其研究范围主要包括注意、知觉、心象、记忆、思维和语言等认知历程,以及儿童的认知发展和人工智能,它的特点是:(1)强调知识对认知和行为的决定作用;(2)强调认知结构和历程的整体性;(3)强调认知程序之一是产生式系统;(4)强调表征的标志性;(5)强调揭示认知历程的内部心理机制等。
2.认知理论在高校数学教学中的应用
2.1关于概念教学。
概念是学科的基础。数学概念的引入一般有两种方法:一是概念形成,即由一组正例,通过观察、抽象,概括出本质属性;二是概念同化,即利用认知结构中已有的概念与新概念的相互作用,从而获得概念。在高校工科数学中,概念的引入主要是通过概念同化,这就要求教师要充分了解学生头脑中已有的认知结构,分析新旧概念之间的异同,促进学生较好地同化或顺应新的概念。其教学模式一般有:
例如,线性代数中“n维向量”的概念,当n≥4时,在现实生活中就无原型可找,只有靠概念同化,学生此时已学过二维、三维向量的概念,教师此时要了解学生头脑中原有的认知结构(即二维、三维向量),帮助学生及时同化,形成新的认知结构(即n维向量的概念)。
2.2关于问题解决。
问题是数学的心脏。这里的“问题”不仅是包括现成的数学问题,还包括来自实际中的问题;不仅包括常规问题,还包括非常规问题(如开放性问题、数学建模等)。
2.2.1解题策略
解题策略是解题的关键,其经典莫过于波利亚的《怎样解题表》他在书中列出的常用解题策略有:(1)回到定义去:这是在解题陷入困境时有助于我们摆脱困境的一个方法,因为麻烦很可能就是由于我们还没有充分理解问题中的那些基本问句的意义;(2)问题的重新表述:例如“代数化”“方程化”就是很好的问题重新表述,“数形结合”也是一种行之有效的问题重新表述方法;(3)分解与重新组合:例如在多元函数重积分计算时,通过适当的变形,如变换积分次序,化为极坐标等是很有效的方法;(4)特殊化方法:就是从一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小集合或仅仅一个对象;(5)一般化方法:就是从一个较小集合或仅仅一个对象到一组对象集合的过渡;(6)类比:即由特殊到特殊的思维过程,在高校工科数学中,可建立平面解析几何和空间解析几何的类比、一元微积分和多元微积分的类比、实变函数与复变函数的类比等。
2.2.2模式识别
在解题过程中,模式识别非常重要,它能起到事半功倍的作用。高校工科数学教材中,多数知识是通过定义、定理,然后给出例题来表述的,但有些是直接通过典型例题来给出的,如复变函数中的围道积分问题,就是通过几个例题来讲的,这就需要教师在讲课时分析每一步的意思、解题的思路、模式的应用等。
2.2.3元认知与自我监控
元认知就是个人对其自身的认识过程进行自我反省、自我监控和自我调节,即对认知的认知,也就是把自己考虑的对象放在自身的认识上进行一番自省。在数学教学过程中,笔者发现,学生在解题时普遍不善于自我反省,会做的题目做完了事,不会做的题目置之不理,或索性抄一下答案。由于学生已经进入高校,因此,教师更应该培养学生的元认知能力。例如,在教学复变函数中的“初等解析函数”一节,学生在解题时,要么生搬硬套,要么以实变函数的形式来解决,忽视了在解题过程中对研究对象的具体分析。笔者在教学过程,要求学生在学完一章或一节后,对学习过程进行小节,理顺线索,归纳方法,对典型例题和习题寻找规律,要求学生按照波利亚的《怎样解题表》提出的解题思路思考问题,不断进行调整与修正,适时对自己的解题思路进行反思,反对就题论题。在讲授过程中,笔者也注重对问题的分析与理解,重点讲述解题思路,而具体解法则由学生自己完成。
3.非认知因素的参与
以上着重讲了认知理论在高校数学教学的概念学习和解题策略中的应用,除此之外,有关非认知因素在教学中的作用也同样不可忽视,如学生的动机、兴趣、情感、意志、性格等,这些方面对数学教学与学习有着较大的“动力功能”,应引起足够的重视。
4.数学思想、数学方法论的渗透
数学教学,不仅要传授一定的知识,更应该传授数学的思想和方法,尤其对高校学生来说,站在方法论和哲学的高度来看问题,会学得更深更透。