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摘 要 应用随机最优控制方法研究Heston随机波动率模型下带有负债过程的动态投资组合问题，其中假设股票价格服从Heston随机波动率模型，负债过程由带漂移的布朗运动所驱动.金融市场由一种无风险资产和一种风险资产组成.应用随机动态规划原理和变量替换法得出了上述问题在幂效用和指数效用函数下最优投资策略的显示解，并给出数值算例分别分析了市场参数在幂效用和指数效用函数下对最优投资策略的影响.
关键词 金融学；最优投资策略；动态规划原理；资产负债管理
中图分类号 F832.48 O211.6文献标识码 A
Abstract The stochastic optimal control theory was used to study a dynamic portfolio selection problem with liability process under the Heston’s stochastic volatility model. Stock price was assumed to be governed by the Hestonmodel， and the liability process was supposed to be driven by the drifted Brownian motion. The financial market consists of one risk-free asset and one risky asset. The explicit solutions to the optimal investment strategies under power utility and exponential utility were obtained by using stochastic dynamic programming principle and variable separation method. Finally， a numerical example was given to illustrate the effect of market parameters on the optimal investment strategy.
Key words finance；optimal investment strategy； dynamic programming principle； asset-liability management
1 引 言
资产负债管理是研究投资过程中带有负债因素的投资组合选择问题，它将资金分散投资在多种资产中来实现资产的最优配置，从而确定最优投资策略和度量风险.1952年，Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型，为现代投资组合选择问题奠定了理论基础.随着经济的不断发展，金融投资环境面临着许多不确定性的影响因素，比如连续时间、多期、可控或者不可控的内生负债、不确定终止时间等等.与此同时，许多学者从投资的角度对资产负债管理问题进行了深入研究，并应用动态规划理论分析面临负债的投资者在特定决策目标下的最优投资组合策略.姚海祥等人[2]研究了不确定退出时间下带内生负债的多期均值方差准则下的资产负债管理问题，并应用动态规划原理、Lagrange对偶理论和矩阵Hadamard乘积技术得到最优投资策略和有效前沿的显示表达式.Chiu和Wong[3]研究了风险资产回报和保险索赔方面的均值方差准则下的资产负债管理问题，并应用Lagrangian法和最优反馈控制理论得到最优投资策略的闭式解和有效前沿.Zeng和Li[4]研究了跳扩散市场下均值-方差准则下的资产负债管理问题，并应用动态规划理论和对偶理论得到最优投资组合策略和有效前沿的显示解.常浩和常凯[5]研究了引入负债因素到借贷限制下的均值-方差准则下投资组合选择问题，并应用动态规划理论和Lagrange对偶理论得到最优投资策略和有效前沿的显示解.曾艳等人[6]研究了连续时间不完备环境下资产价值与负债价值之比的期望效用最大化问题，并应用随机动态规划理论得到幂效用函数下最优投资策略的解析表达式.常浩和荣喜民[7]研究了在负债情形下基于幂效用函数、指数效用函数和对数效用函数的投资组合问题，并应用最优控制理论和Legendre变换-对偶理论得到最优投资策略的显示表达式.而常浩[8]研究了CIR利率模型下的资产负债管理问题，并应用动态规划原理和Legendre变换法得到二次效用函数下最优投资策略的闭式解.这些成果都是在常数波动率的假设下取得的，在实际的投资环境中，股票价格会受到许多不确定性因素的影响，其波动率往往不是一个常数，而是随机变化的，上述成果在随机波动率环境下的应用都有一定的局限性.
早在1993年，Heston[9]通过实证分析提出了一种随机波动率模型，并且广泛地应用到债券和期权定价问题中.如今，Heston随机波动率作为随机波动率中的主流模型，已经被学界和业界广泛采用.Heston模型与其他随机波动率模型比较，优势在于其有计算效率和稳健性，而其他一些随机波动率模型的缺点是不存在显性解.更为重要的是Heston模型可以弥补Black-Scholes模型的不足，并且其提供的定价模型更贴近实际.李静和周峤[10]研究了Heston随机波动率模型下的期权定价问题，修正了Black-Scholes模型下波动率为常数的不合理性.王愫新等人[11]研究了Heston随机波动率模型下的保险公司和再保险公司的最优投资组合问题，并得到最优投资和再保险策略.张初兵等人[12]研究了Heston模型下确定缴费型养老金的最优投资策略问题，并应用变量分离法得到幂效用函数下最优投资策略的显示解.常浩[13]研究了Heston随机波动率模型下的动态投资组合问题，并应用动态规划原理得到幂效用函数和指数效用函数下最优投资策略的显示解.Zhao等人[14]研究了Heston随机波动率模型下带跳扩散模型的超额损失再保险问题，并应用最优控制理论得到指数效用函数下最优投资策略的精确解.上述这些模型都没有考虑投资人面临的负债因素.在Heston随机波动率模型框架下考虑投资人所面临的负债环境，由此而确定的最优投资策略将会更加符合实际的投资环境. 拟在文献[13]的基础上引入负债因素，并假设负债过程服从带漂移的布朗运动，风险资产价格满足Heston随机波动率模型.金融市场由一种无风险资产和一种风险资产组成.首先，应用动态规划原理得到效用最大化下值函数所满足的HJB方程.然后，假设投资者对风险的厌恶程度分别满足幂效用函数和指数效用函数，进而研究两种效用函数下的最优投资策略.最后，应用分离变量法和变量代换法得到两种效用函数下最优投资策略的显示表达式，并给出算例分析了市场参数对最优投资策略的影响.
本文的主要创新点有：（1）在常浩[13]的市场模型的基础上引入负债因素，研究了Heston随机波动率模型下的动态投资组合问题；（2）应用随机动态规划原理和变量替换法得出了幂效用和指数效用函数下最优投资策略的显示解；（3）将现有的资产负债管理问题拓展到Heston随机波动率模型中.
参考文献
[1] H MARKOWITZ. Portfolio selection[J]. Journal of Finance， 1952， 7（1）： 77-91.
[2] 姚海祥，马庆华，姜灵敏.带内生负债的不确定终止时间多期均值-方差资产负债管理[J].控制理论与应用，2013， 30（2）： 249-253.
[3] M C CHIU， H Y WONG. Mean-variance asset-liability management with asset correlation risk and insurance liabilities[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2014， 59（1）： 300-310.
[4] Y ZENG， Z F LI. Asset-liability management under benchmark and mean-variance criteria in a jump diffusion market[J]. Journal of Systems Science
关键词 金融学；最优投资策略；动态规划原理；资产负债管理
中图分类号 F832.48 O211.6文献标识码 A
Abstract The stochastic optimal control theory was used to study a dynamic portfolio selection problem with liability process under the Heston’s stochastic volatility model. Stock price was assumed to be governed by the Hestonmodel， and the liability process was supposed to be driven by the drifted Brownian motion. The financial market consists of one risk-free asset and one risky asset. The explicit solutions to the optimal investment strategies under power utility and exponential utility were obtained by using stochastic dynamic programming principle and variable separation method. Finally， a numerical example was given to illustrate the effect of market parameters on the optimal investment strategy.
Key words finance；optimal investment strategy； dynamic programming principle； asset-liability management
1 引 言
资产负债管理是研究投资过程中带有负债因素的投资组合选择问题，它将资金分散投资在多种资产中来实现资产的最优配置，从而确定最优投资策略和度量风险.1952年，Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型，为现代投资组合选择问题奠定了理论基础.随着经济的不断发展，金融投资环境面临着许多不确定性的影响因素，比如连续时间、多期、可控或者不可控的内生负债、不确定终止时间等等.与此同时，许多学者从投资的角度对资产负债管理问题进行了深入研究，并应用动态规划理论分析面临负债的投资者在特定决策目标下的最优投资组合策略.姚海祥等人[2]研究了不确定退出时间下带内生负债的多期均值方差准则下的资产负债管理问题，并应用动态规划原理、Lagrange对偶理论和矩阵Hadamard乘积技术得到最优投资策略和有效前沿的显示表达式.Chiu和Wong[3]研究了风险资产回报和保险索赔方面的均值方差准则下的资产负债管理问题，并应用Lagrangian法和最优反馈控制理论得到最优投资策略的闭式解和有效前沿.Zeng和Li[4]研究了跳扩散市场下均值-方差准则下的资产负债管理问题，并应用动态规划理论和对偶理论得到最优投资组合策略和有效前沿的显示解.常浩和常凯[5]研究了引入负债因素到借贷限制下的均值-方差准则下投资组合选择问题，并应用动态规划理论和Lagrange对偶理论得到最优投资策略和有效前沿的显示解.曾艳等人[6]研究了连续时间不完备环境下资产价值与负债价值之比的期望效用最大化问题，并应用随机动态规划理论得到幂效用函数下最优投资策略的解析表达式.常浩和荣喜民[7]研究了在负债情形下基于幂效用函数、指数效用函数和对数效用函数的投资组合问题，并应用最优控制理论和Legendre变换-对偶理论得到最优投资策略的显示表达式.而常浩[8]研究了CIR利率模型下的资产负债管理问题，并应用动态规划原理和Legendre变换法得到二次效用函数下最优投资策略的闭式解.这些成果都是在常数波动率的假设下取得的，在实际的投资环境中，股票价格会受到许多不确定性因素的影响，其波动率往往不是一个常数，而是随机变化的，上述成果在随机波动率环境下的应用都有一定的局限性.
早在1993年，Heston[9]通过实证分析提出了一种随机波动率模型，并且广泛地应用到债券和期权定价问题中.如今，Heston随机波动率作为随机波动率中的主流模型，已经被学界和业界广泛采用.Heston模型与其他随机波动率模型比较，优势在于其有计算效率和稳健性，而其他一些随机波动率模型的缺点是不存在显性解.更为重要的是Heston模型可以弥补Black-Scholes模型的不足，并且其提供的定价模型更贴近实际.李静和周峤[10]研究了Heston随机波动率模型下的期权定价问题，修正了Black-Scholes模型下波动率为常数的不合理性.王愫新等人[11]研究了Heston随机波动率模型下的保险公司和再保险公司的最优投资组合问题，并得到最优投资和再保险策略.张初兵等人[12]研究了Heston模型下确定缴费型养老金的最优投资策略问题，并应用变量分离法得到幂效用函数下最优投资策略的显示解.常浩[13]研究了Heston随机波动率模型下的动态投资组合问题，并应用动态规划原理得到幂效用函数和指数效用函数下最优投资策略的显示解.Zhao等人[14]研究了Heston随机波动率模型下带跳扩散模型的超额损失再保险问题，并应用最优控制理论得到指数效用函数下最优投资策略的精确解.上述这些模型都没有考虑投资人面临的负债因素.在Heston随机波动率模型框架下考虑投资人所面临的负债环境，由此而确定的最优投资策略将会更加符合实际的投资环境. 拟在文献[13]的基础上引入负债因素，并假设负债过程服从带漂移的布朗运动，风险资产价格满足Heston随机波动率模型.金融市场由一种无风险资产和一种风险资产组成.首先，应用动态规划原理得到效用最大化下值函数所满足的HJB方程.然后，假设投资者对风险的厌恶程度分别满足幂效用函数和指数效用函数，进而研究两种效用函数下的最优投资策略.最后，应用分离变量法和变量代换法得到两种效用函数下最优投资策略的显示表达式，并给出算例分析了市场参数对最优投资策略的影响.
本文的主要创新点有：（1）在常浩[13]的市场模型的基础上引入负债因素，研究了Heston随机波动率模型下的动态投资组合问题；（2）应用随机动态规划原理和变量替换法得出了幂效用和指数效用函数下最优投资策略的显示解；（3）将现有的资产负债管理问题拓展到Heston随机波动率模型中.
参考文献
[1] H MARKOWITZ. Portfolio selection[J]. Journal of Finance， 1952， 7（1）： 77-91.
[2] 姚海祥，马庆华，姜灵敏.带内生负债的不确定终止时间多期均值-方差资产负债管理[J].控制理论与应用，2013， 30（2）： 249-253.
[3] M C CHIU， H Y WONG. Mean-variance asset-liability management with asset correlation risk and insurance liabilities[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2014， 59（1）： 300-310.
[4] Y ZENG， Z F LI. Asset-liability management under benchmark and mean-variance criteria in a jump diffusion market[J]. Journal of Systems Science