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图像法在中学物理中的应用十分广泛,这是因为它具有如下优点:能够直观、形象、简洁地展现两个物理量之间的关系,展示物理情景,清晰地表达物理过程,正确地反映实验规律。
物理图像中的截距、斜率、图线所围面积、两图线交点等都是描述和解决物理问题的重要手段之一,特别是图像与坐标轴所围成的“面积”,若巧妙运用,不仅思路清晰,而且在很多情况下可以使解题过程得到简化,起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。
一、利用图像v-t处理运动学问题
【例1】如图1所示,物体从斜面上A点由静止开始下滑,第一次经光滑斜面AB滑到底端时间为;第二次经光滑斜面ACD下滑,滑到底端时间为t,已知AC+CD=AB,在各斜面的等高处物体的速率相等,试判断()。
A.t>t B.t=t C.t<t D.不确定p
【解析】在分析运动的全过程中,可由机械能守恒定律判定出两球落地时的速率相等。因为b球运动时间无法用运动学公式求得,所以不能直接比较两球落地时间的大小。但因为两球从顶端到落地过程运动位移相等,根据v-t图中的“面积”表示位移的大小,可以作出两次运动的v-t图像(见图2),由图可知t>t,b球用时比a球用时少,故正确答案为A。
二、利用-L图像求解时间
【例2】部队集合后开发沿直线前进,已知部队前进的速度与到出发点的距离成反比,当部队行进到距出发点距离为L的A位置时速度为v,求:
(1)部队行进到距出发点距离为L的B位置时,速度v是多大?
(2)部队从A位置到B位置所用的时间t为多大?
【解析】此题中,部队行进时速度的变化既不是匀速运动,又不是匀变速运动,很难直接用运动学规律进行求解。本题若巧妙地采用-L图像解答,不仅仅可以使它的“面积”能够表示运动的时间,同时还能把速度与距离成反比(图线为曲线)转化为速度的倒数与距离成正比(图线为直线),使原来较复杂的运动求解变得很容易。
(1)已知部队前进的速度与到出发点的距离成反比,即有公式V=k/L(L为部队距出发点的距离,V为部队在此位置的瞬时速度),
根据题意有V=k/L,V=k/L
所以V=LV/L
(2)如图3所示,作出部队行进时的-L图像,可知图像中直线下画有斜线部分的梯形“面积”在数值上就等于所求的时间,
即t=(L-L)
又因为=
故t=
三、利用F-L图像求做功大小
【例3】用锤子把铁钉入木块中,设每次打击时,锤子给予铁钉的动能相同,铁钉进入木块所受的阻力跟钉入钉子的深度成正比,如果钉子第一次被击人木块的深度为2厘米,求第二次打击后,钉子再进入几厘米?
解:进入木块所受的阻力f跟钉子进入的深度x的大小关系为
f=kx
显然,阻力做功的过程是变力做功的问题,作出f=kx的图像,如图4所示,第一次钉子克服阻力做的功等于△OAC的面积W,第二次钉子克服阻力做的功等于梯形ABCD的面积W,因为每次打击时给予钉子的动能相等。故有W=W。
设第二次打击钉子进入木块的深度为x,由图4可知。
△OAC~△OBD
由相似三角形的性质可知
=,所以=,
得x=2-2(cm)
故在第二次打击后,钉子再进入木块的深度为2-2(cm)。
四、利用F-t图像求冲量大小
【例4】如图5所示,在光滑的水平面上,有竖直向下(垂直纸面向里)的匀强磁场分布在宽度为s的区域内,一个边长为L(L<s)的正方形闭合线圈以初速度v垂直磁场的边界穿过磁场后速度变为v,设线圈完全进入磁场时的速度为v′,则()。
A.v′>B.v′=
C.v′<D.A、C均有可能,B不可能
【解析】线圈在进入磁场的过程中,穿过它的磁通量发生变化,产生感应电流,受安培力作用,而且随着速度减小,安培力逐渐减小,线圈做变减速运动;线圈完全进入磁场后,不再有感应电流,做匀速运动;在线圈离开磁场的过程中,又做变减速运动,可以做出v-t图像如图6所示,由于线圈长度一定,因此图中两条曲线和时间轴所围的“面积”是相等的,而其它关系则不能确定。
用牛顿定律、运动学公式、能量关系都不能解决此题,故考虑采用动量定理,线圈运动过程中只受安培力F=BLv=,由此可以看出,F与v的变化规律。
相对应,即F-t图应与v-t图一致,因此F图线与时间轴所围“面积”即冲量I也应相等,如图7所示。由以上分析可得:
故选项B正确。
五、利用U-Q图像求电容的电能
【例5】一平行板电容器,电容量为C,当两端电压为U时,具有多少电能?
【解析】由C=Q/U可知,电容器所带的电量,与两板电压成正比,我们可以得到一条U-Q曲线,且为一条直线,如图8给电容器充电过程,可以设想为将电荷从一板迁移到另一板,由于两极间有电压,因此外力必须做功,以反抗在迁移+△q时负极对它的吸引力和正极对它的排斥力。外力做功的大小计算如下:
设某一时刻,电容器两板间电压为,当迁移+△q时,外力做功为
△W=△q·u
从图可看出,△W的大小恰为画阴影的小矩形面积,若迁移电荷总值为Q,而此时两极间电压为U,则整个过程外力所做功为图中△OAQ的面积。
即W=UQ/2
外力所做功转化为电容器的能量,故
W=UQ=CU=
从上面的分析可以看出,物理图像的教学功能不仅仅是对知识的延伸,它还贯穿着对思想方法的教学。学生理解图像的功能和特点,就能利用图像“多、快、好、省”地解决问题,用直观、简练的手段从另一角度深刻地表达物理内涵,有助于培养思维能力和解题能力。
物理图像中的截距、斜率、图线所围面积、两图线交点等都是描述和解决物理问题的重要手段之一,特别是图像与坐标轴所围成的“面积”,若巧妙运用,不仅思路清晰,而且在很多情况下可以使解题过程得到简化,起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。
一、利用图像v-t处理运动学问题
【例1】如图1所示,物体从斜面上A点由静止开始下滑,第一次经光滑斜面AB滑到底端时间为;第二次经光滑斜面ACD下滑,滑到底端时间为t,已知AC+CD=AB,在各斜面的等高处物体的速率相等,试判断()。
A.t>t B.t=t C.t<t D.不确定p
【解析】在分析运动的全过程中,可由机械能守恒定律判定出两球落地时的速率相等。因为b球运动时间无法用运动学公式求得,所以不能直接比较两球落地时间的大小。但因为两球从顶端到落地过程运动位移相等,根据v-t图中的“面积”表示位移的大小,可以作出两次运动的v-t图像(见图2),由图可知t>t,b球用时比a球用时少,故正确答案为A。
二、利用-L图像求解时间
【例2】部队集合后开发沿直线前进,已知部队前进的速度与到出发点的距离成反比,当部队行进到距出发点距离为L的A位置时速度为v,求:
(1)部队行进到距出发点距离为L的B位置时,速度v是多大?
(2)部队从A位置到B位置所用的时间t为多大?
【解析】此题中,部队行进时速度的变化既不是匀速运动,又不是匀变速运动,很难直接用运动学规律进行求解。本题若巧妙地采用-L图像解答,不仅仅可以使它的“面积”能够表示运动的时间,同时还能把速度与距离成反比(图线为曲线)转化为速度的倒数与距离成正比(图线为直线),使原来较复杂的运动求解变得很容易。
(1)已知部队前进的速度与到出发点的距离成反比,即有公式V=k/L(L为部队距出发点的距离,V为部队在此位置的瞬时速度),
根据题意有V=k/L,V=k/L
所以V=LV/L
(2)如图3所示,作出部队行进时的-L图像,可知图像中直线下画有斜线部分的梯形“面积”在数值上就等于所求的时间,
即t=(L-L)
又因为=
故t=
三、利用F-L图像求做功大小
【例3】用锤子把铁钉入木块中,设每次打击时,锤子给予铁钉的动能相同,铁钉进入木块所受的阻力跟钉入钉子的深度成正比,如果钉子第一次被击人木块的深度为2厘米,求第二次打击后,钉子再进入几厘米?
解:进入木块所受的阻力f跟钉子进入的深度x的大小关系为
f=kx
显然,阻力做功的过程是变力做功的问题,作出f=kx的图像,如图4所示,第一次钉子克服阻力做的功等于△OAC的面积W,第二次钉子克服阻力做的功等于梯形ABCD的面积W,因为每次打击时给予钉子的动能相等。故有W=W。
设第二次打击钉子进入木块的深度为x,由图4可知。
△OAC~△OBD
由相似三角形的性质可知
=,所以=,
得x=2-2(cm)
故在第二次打击后,钉子再进入木块的深度为2-2(cm)。
四、利用F-t图像求冲量大小
【例4】如图5所示,在光滑的水平面上,有竖直向下(垂直纸面向里)的匀强磁场分布在宽度为s的区域内,一个边长为L(L<s)的正方形闭合线圈以初速度v垂直磁场的边界穿过磁场后速度变为v,设线圈完全进入磁场时的速度为v′,则()。
A.v′>B.v′=
C.v′<D.A、C均有可能,B不可能
【解析】线圈在进入磁场的过程中,穿过它的磁通量发生变化,产生感应电流,受安培力作用,而且随着速度减小,安培力逐渐减小,线圈做变减速运动;线圈完全进入磁场后,不再有感应电流,做匀速运动;在线圈离开磁场的过程中,又做变减速运动,可以做出v-t图像如图6所示,由于线圈长度一定,因此图中两条曲线和时间轴所围的“面积”是相等的,而其它关系则不能确定。
用牛顿定律、运动学公式、能量关系都不能解决此题,故考虑采用动量定理,线圈运动过程中只受安培力F=BLv=,由此可以看出,F与v的变化规律。
相对应,即F-t图应与v-t图一致,因此F图线与时间轴所围“面积”即冲量I也应相等,如图7所示。由以上分析可得:
故选项B正确。
五、利用U-Q图像求电容的电能
【例5】一平行板电容器,电容量为C,当两端电压为U时,具有多少电能?
【解析】由C=Q/U可知,电容器所带的电量,与两板电压成正比,我们可以得到一条U-Q曲线,且为一条直线,如图8给电容器充电过程,可以设想为将电荷从一板迁移到另一板,由于两极间有电压,因此外力必须做功,以反抗在迁移+△q时负极对它的吸引力和正极对它的排斥力。外力做功的大小计算如下:
设某一时刻,电容器两板间电压为,当迁移+△q时,外力做功为
△W=△q·u
从图可看出,△W的大小恰为画阴影的小矩形面积,若迁移电荷总值为Q,而此时两极间电压为U,则整个过程外力所做功为图中△OAQ的面积。
即W=UQ/2
外力所做功转化为电容器的能量,故
W=UQ=CU=
从上面的分析可以看出,物理图像的教学功能不仅仅是对知识的延伸,它还贯穿着对思想方法的教学。学生理解图像的功能和特点,就能利用图像“多、快、好、省”地解决问题,用直观、简练的手段从另一角度深刻地表达物理内涵,有助于培养思维能力和解题能力。