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本考点考查同学们对定义、定理的深刻理解,以及对符号语言、图形语言、文字语言三者之间转换的能力. 考查主要以选择题、填空题的形式出现,题目难度不大,主要是判断命题真假、判断充要关系等.
(1)理解空间中点、线、面的位置关系.
(2)熟练运用平行、垂直关系的判定定理和性质定理,判定较复杂的平行、垂直问题.
(3)通过大量图形的观察、实验,实现平面图形到立体图形的飞跃,培养空间想象能力.
该知识点的重点、难点是:符号语言、图形语言、文字语言三者之间的转换,异面直线的定义及其所成角的求法.
(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理来解决问题.
(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作出选择.
(3)注意反例和生活中的图例的应用.
例1 若m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A. m∥β且l1∥α
B. m∥l1且n∥l2
C. m∥β且n∥β
D. m∥β且n∥l2
破解思路 要得到两个平面平行,必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行. 若两个平面平行,则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面. 其实解决此类问题更好的办法是利用数学模型,比如正方体模型,把相关直线、平面的关系在正方体上表示出来再进行判定.
答案详解 对于选项A,不是同一平面的两条直线,显然既不充分也不必要. 对于选项B,由于l1与l2是相交直线,且l1∥m,m?奂α,l1?埭α,所以l1∥α,同理得l2∥α,且l1与l2相交,故可得α∥β,充分性成立;而α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立. 对于选项C,由于m,n不一定是相交直线,故是必要非充分条件. 对于选项D,由n∥l2可转化为C,故不符合题意. 综上所述,正确答案为B.
例2 如图9,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,BB1,B1C1的中点,给出下列结论:①FG⊥BD;②B1D⊥平面EFG;③平面EFG∥平面ACC1A1;④EF∥平面CDD1C1. 正确结论的序号是?摇______.
图9
破解思路 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,属于基础知识的考查. 可利用中位线的性质把有关量转移到正方体的对角线或对角面考虑.
答案详解 对于①,FG∥BC1,BC 与BD成60°角,所以①错;对于③,只能得到直线EG∥平面ACC1A1,而判定面面平行需有两相交直线的条件,所以③错;②和④正确. 故答案为②④.
1. 设l,m,n表示三条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若l∥m,m?奂α,则l∥α
B. 若l⊥m,l⊥n,m,n?奂α,则l⊥α
C. 若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m
D. 若l?奂α,m?奂β,l⊥m,则α⊥β
2. 如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 以上都有可能
图10
3. 四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是点A,其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形(如图11所示),则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线共有______对.
图11
(1)理解空间中点、线、面的位置关系.
(2)熟练运用平行、垂直关系的判定定理和性质定理,判定较复杂的平行、垂直问题.
(3)通过大量图形的观察、实验,实现平面图形到立体图形的飞跃,培养空间想象能力.
该知识点的重点、难点是:符号语言、图形语言、文字语言三者之间的转换,异面直线的定义及其所成角的求法.
(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理来解决问题.
(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作出选择.
(3)注意反例和生活中的图例的应用.
例1 若m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A. m∥β且l1∥α
B. m∥l1且n∥l2
C. m∥β且n∥β
D. m∥β且n∥l2
破解思路 要得到两个平面平行,必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行. 若两个平面平行,则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面. 其实解决此类问题更好的办法是利用数学模型,比如正方体模型,把相关直线、平面的关系在正方体上表示出来再进行判定.
答案详解 对于选项A,不是同一平面的两条直线,显然既不充分也不必要. 对于选项B,由于l1与l2是相交直线,且l1∥m,m?奂α,l1?埭α,所以l1∥α,同理得l2∥α,且l1与l2相交,故可得α∥β,充分性成立;而α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立. 对于选项C,由于m,n不一定是相交直线,故是必要非充分条件. 对于选项D,由n∥l2可转化为C,故不符合题意. 综上所述,正确答案为B.
例2 如图9,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,BB1,B1C1的中点,给出下列结论:①FG⊥BD;②B1D⊥平面EFG;③平面EFG∥平面ACC1A1;④EF∥平面CDD1C1. 正确结论的序号是?摇______.
图9
破解思路 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,属于基础知识的考查. 可利用中位线的性质把有关量转移到正方体的对角线或对角面考虑.
答案详解 对于①,FG∥BC1,BC 与BD成60°角,所以①错;对于③,只能得到直线EG∥平面ACC1A1,而判定面面平行需有两相交直线的条件,所以③错;②和④正确. 故答案为②④.
1. 设l,m,n表示三条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若l∥m,m?奂α,则l∥α
B. 若l⊥m,l⊥n,m,n?奂α,则l⊥α
C. 若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m
D. 若l?奂α,m?奂β,l⊥m,则α⊥β
2. 如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 以上都有可能
图10
3. 四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是点A,其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形(如图11所示),则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线共有______对.
图11