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摘 要：高考试题不仅具有选拔功能，还具有很高的教学价值，很多高考试题要么源于教材，要么来自于竞赛题，在平时的教学中，如何使用，是值得我们研究的问题． 本文以2010年高考四川卷第20题为例，设计一堂高三复习课，对直线与圆锥曲线位置关系问题进行解法的总结提炼，发现题目的原型，探求问题的本质，提升我们的能力．
关键词：高三复习课；解析几何；教学设计
几乎所有的考生都害怕解析几何，但解析几何是每年必考的题，看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点． 仔细分析每年的高考题，我们会发现解析几何题具有很强的规律性，在每一个题中总是若隐若现的出现那种“看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面”的情景，与其大量的去做题，把自己累得喘不过气来，还不如对每一个题都认真在分析一番，发现规律，找到共性，这才是事半功倍的做法．
题目：已知定点A（－1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍． 设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B，C两点，直线AB，AC分别交l于点M，N．
（1）求E的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F？并说明理由．
该题为2010年高考四川卷第20题，文理相同，第1问是以人教社A版选修2－1 P59例题5改编的，第2问是圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意味，考查解析几何的通性通法，考查直线、轨迹方程、双曲线的定义以及直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查平面解析几何的思想方法和推理运算能力．
解法探究
第1问入手容易，学生很快给出了答案x2－=1（y≠0），但多数学生漏掉了y≠0，这是学生在求解轨迹问题时容易犯的错误，教学中应予以重视，加以强调．
对于第2问，学生感觉问题比较熟悉，是一个直线与双曲线位置关系的综合问题，求解的基本思路是：将直线方程代入双曲线方程，围绕所得的一元二次方程的根，运用“设而不求、整体代入”的思路来解决．
教师：对于待证结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”如何转化？
学生：转化为⊥，即•=0．
顺着这一颇为自然的思路走下来，学生却感到运算有些吃力，在师生的共同努力下，完成了下面解法．
解法1：①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x－2）（k≠0），与双曲线x2－=1联立消去y，得
（3－k2）x2+4k2x－（4k2+3）=0．
由题意知3－k2≠0且Δ>0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，
y1y2=k2（x1－2）（x2－2）=k2［x1x2－2（x1+x2）+4］=k2++4=－．
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y=（x+1），M点的坐标为，，
=-，，同理可得，=-，．
因此•=-2+=+=0．
②当直线BC与x轴垂直时，方程为x=2，则B（2，3），C（2，－3），
AB的方程为y=x+1，因此N点的坐标为，，
=－，，同理可得=－，，因此•=0．
综上•=0，即⊥．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：在研究直线与圆锥曲线位置关系的问题时，若用点斜式和斜截式方程，要考虑斜率是否存在．若不能判断，则要讨论；也可以改变直线方程的形式，避免讨论．
学生：根据题目条件可设直线BC方程为x=ty+2．
解法2：因为直线BC与x轴不平行，故可设直线BC的方程为x=ty+2，
联立方程x2－=1，x=ty+2， 消去x，整理得（3t2－1）y2+12ty+9=0．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1+y2=－，y1y2=，
x1+x2=－，x1x2=－．
由解法1，•=+=+=0，
综上，•=0，即FM⊥FN．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
至此，问题虽得到解决，解法2较解法1有所改进，但本质没变，学生仍感觉不满意：运算较繁，都渴望寻找到更简捷的解法．
教师：著名的数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们能提高自己对这个解答的理解水平．”
教师：对于问题，一定要对条件、结论进行分析、研究和转化，从不同的角度和层面去认识它． 我们已经将结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”转化为•=0，那么结合题目条件和图形特征（此时运用几何画板作出准确的图形），能进行不同的转化吗？
学生：注意到A，F关于直线l对称，结合双曲线的对称性，要证⊥，只需证AM⊥AN，即AB⊥AC．
解法3：由解法2得，y1+y2=－，y1y2=，
•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（ty1+3）•（ty2+3）+y1y2=（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9
=++9=0，
所以AB⊥AC，即AM⊥AN．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
学生：既然只需证AB⊥AC，设BC的中点为Q，利用直角三角形的性质，只需证明BC=2AQ．
解法4：由解法3，并设BC的中点为Q（x0，y0），则
y0==－，
x0=ty0+2=－，
AQ2=（x0+1）2+y=，
BC2=（t2+1）［（y1+y2）2－4y1y2］=，
所以BC=2AQ，所以AB⊥AC，即AM⊥AN．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：解法4中出现了弦的中点，对于涉及弦的中点的问题，都可以用点差法来解决，此题能用吗？学生积极动手，得到解法5．
解法5：设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点为Q（x0，y0），则
x－=1，x－=1，
两式相减，得•=3，从而k=kBC===（x0≠2）．
因此，y=3x－6x0，此式对x0=2也成立．
AQ2=（x0+1）2+y=（x0+1）2+3x－6x0=2（x0－1）2．
设B，C到直线l的距离为d1，d2，则易得2d1=2x1－1，2d2=2x2－1，
BC2=（2d1+2d2）2=（2x1－1+2x2－1）2=4（2x0－1）2，
所以BC=2AQ，所以AB⊥AC．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：大多数解析几何问题最终都被转化成了代数问题，因此运算量大． 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，更是数与形的统一、代数与几何的结合，因此，充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，也会大大地简化运算，优化解题过程． 那么，此题可以用几何方法来证明吗？另外此题中涉及双曲线第二定义，第二定义在此题中作用何在，难道仅仅是为了给出双曲线的方程吗？请同学们想一想．
经过思考，一学生提出借助前面提到的A，F关于直线l对称，有如下解法．
解法6：如图1，过点B作准线l的垂线交FM的延长线于点D． 过C作准线l的垂线交FN的延长线于点E． 所以∠MFN=∠BDF，∠NFA=∠CEF．
图1
因为A，F关于直线l对称，
所以B，D关于直线l对称，C，E关于直线l对称．
由已知FB，FC为B，C到直线l距离的2倍．
所以FB=BD，FC=CE，所以∠BDF=∠BFM，∠CEF=∠CFN．
所以∠MFA=∠MFM，∠NFA=∠CFN．
因为∠MFA+∠MFM+∠NFA+∠CFN=180°，
所以∠MFA+∠NFA=90°，即∠MFN=90°，
所以以线段MN为直径的圆经过点F．
学生1：结合图形，如果能证明NF平分∠AFC，FM平分∠AFB，由∠AFC+∠AFB=180°可得∠MFN=90°，但我不知道如何证明．
学生2：要证NF平分∠AFC，根据角平分线定理，只需证=，为此过C作CC1⊥l，垂足为C1，利用双曲线第二定义及平行线的性质可得到结论．
解法7：如图2过B作BB1⊥l，垂足为B1，过C作CC1⊥l，垂足为C1，
则CC1∥x轴，所以=．
图1
由双曲线第二定义可知，
=，
所以=，所以FN平分∠AFC．
同理，FM平分∠AFB．
又∠AFC+∠AFB=180°，
所以∠MFN=90°，故以线段MN为直径的圆必经过右焦点F．
反思、提炼
教师：在数学上，遇到一个真正触及数学本质的题目时，要停下匆匆的脚步，认真感悟一下，欣赏一下，这样在你的头脑中会留下很多的沉淀． 当类似的情况在今后再发生的时候，你的沉淀迅速的激活，所以你的思路大开，便多了很多帮手． 接下来让我们对上述解法进行总结，理清思路、提升认识．
解法1、2由以线段MN为直径的圆必经过右焦点F，得到⊥，即•=0出发，这是解析问题的常规做法，是我们必须要掌握的方法．
解法3、4、5的关键是能得到A，F关于直线l对称，但有局限，是针对此题的一种特殊解法，但能起到简化运算的作用．
解法6、7充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，揭示了问题的几何本质，证法简洁漂亮，值得我们深思．
变式、拓展和推广
教师：对一个数学问题的探究思考，最基本的切入点就是要对题目的条件和结论加以多角度的思考，对问题进行推广、变式、拓展．为此，提出以下问题，供同学们课后研究．
问题1：能将此题一般化并推广到圆、椭圆、抛物线中去吗？给出解答．
问题2：根据此题条件，编拟新的题目并给出解答．
针对这两个问题，请同学们分小组进行深入的讨论、研究，并将研究结果形成报告．
笔者课后收集、整理学生上交的报告，得到了很多结论和编拟的题目，限于篇幅，不再一一列出．
课后反思
就目前的高三教学现状而言，有不少教师大量选取历年全国各地高考试题进行教学，但缺乏对题目的深入研究，仅仅是就题论题进行教学，不能把握问题的本质以及不同问题之间的联系，重复地讲解大量的题目，导致复习课的效率低下，不利于学生能力的提升． 难以达到高三复习课所要达成的“夯实基础、提高能力”的目标，高三复习课要充分用好各地高考试题，对试题应从以下几方面进行研究：（1）试题的来源；（2）有哪些解法；（3）试题变式、推广和拓展．
关键词：高三复习课；解析几何；教学设计
几乎所有的考生都害怕解析几何，但解析几何是每年必考的题，看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点． 仔细分析每年的高考题，我们会发现解析几何题具有很强的规律性，在每一个题中总是若隐若现的出现那种“看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面”的情景，与其大量的去做题，把自己累得喘不过气来，还不如对每一个题都认真在分析一番，发现规律，找到共性，这才是事半功倍的做法．
题目：已知定点A（－1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍． 设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B，C两点，直线AB，AC分别交l于点M，N．
（1）求E的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F？并说明理由．
该题为2010年高考四川卷第20题，文理相同，第1问是以人教社A版选修2－1 P59例题5改编的，第2问是圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意味，考查解析几何的通性通法，考查直线、轨迹方程、双曲线的定义以及直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查平面解析几何的思想方法和推理运算能力．
解法探究
第1问入手容易，学生很快给出了答案x2－=1（y≠0），但多数学生漏掉了y≠0，这是学生在求解轨迹问题时容易犯的错误，教学中应予以重视，加以强调．
对于第2问，学生感觉问题比较熟悉，是一个直线与双曲线位置关系的综合问题，求解的基本思路是：将直线方程代入双曲线方程，围绕所得的一元二次方程的根，运用“设而不求、整体代入”的思路来解决．
教师：对于待证结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”如何转化？
学生：转化为⊥，即•=0．
顺着这一颇为自然的思路走下来，学生却感到运算有些吃力，在师生的共同努力下，完成了下面解法．
解法1：①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x－2）（k≠0），与双曲线x2－=1联立消去y，得
（3－k2）x2+4k2x－（4k2+3）=0．
由题意知3－k2≠0且Δ>0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，
y1y2=k2（x1－2）（x2－2）=k2［x1x2－2（x1+x2）+4］=k2++4=－．
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y=（x+1），M点的坐标为，，
=-，，同理可得，=-，．
因此•=-2+=+=0．
②当直线BC与x轴垂直时，方程为x=2，则B（2，3），C（2，－3），
AB的方程为y=x+1，因此N点的坐标为，，
=－，，同理可得=－，，因此•=0．
综上•=0，即⊥．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：在研究直线与圆锥曲线位置关系的问题时，若用点斜式和斜截式方程，要考虑斜率是否存在．若不能判断，则要讨论；也可以改变直线方程的形式，避免讨论．
学生：根据题目条件可设直线BC方程为x=ty+2．
解法2：因为直线BC与x轴不平行，故可设直线BC的方程为x=ty+2，
联立方程x2－=1，x=ty+2， 消去x，整理得（3t2－1）y2+12ty+9=0．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1+y2=－，y1y2=，
x1+x2=－，x1x2=－．
由解法1，•=+=+=0，
综上，•=0，即FM⊥FN．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
至此，问题虽得到解决，解法2较解法1有所改进，但本质没变，学生仍感觉不满意：运算较繁，都渴望寻找到更简捷的解法．
教师：著名的数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们能提高自己对这个解答的理解水平．”
教师：对于问题，一定要对条件、结论进行分析、研究和转化，从不同的角度和层面去认识它． 我们已经将结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”转化为•=0，那么结合题目条件和图形特征（此时运用几何画板作出准确的图形），能进行不同的转化吗？
学生：注意到A，F关于直线l对称，结合双曲线的对称性，要证⊥，只需证AM⊥AN，即AB⊥AC．
解法3：由解法2得，y1+y2=－，y1y2=，
•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（ty1+3）•（ty2+3）+y1y2=（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9
=++9=0，
所以AB⊥AC，即AM⊥AN．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
学生：既然只需证AB⊥AC，设BC的中点为Q，利用直角三角形的性质，只需证明BC=2AQ．
解法4：由解法3，并设BC的中点为Q（x0，y0），则
y0==－，
x0=ty0+2=－，
AQ2=（x0+1）2+y=，
BC2=（t2+1）［（y1+y2）2－4y1y2］=，
所以BC=2AQ，所以AB⊥AC，即AM⊥AN．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：解法4中出现了弦的中点，对于涉及弦的中点的问题，都可以用点差法来解决，此题能用吗？学生积极动手，得到解法5．
解法5：设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点为Q（x0，y0），则
x－=1，x－=1，
两式相减，得•=3，从而k=kBC===（x0≠2）．
因此，y=3x－6x0，此式对x0=2也成立．
AQ2=（x0+1）2+y=（x0+1）2+3x－6x0=2（x0－1）2．
设B，C到直线l的距离为d1，d2，则易得2d1=2x1－1，2d2=2x2－1，
BC2=（2d1+2d2）2=（2x1－1+2x2－1）2=4（2x0－1）2，
所以BC=2AQ，所以AB⊥AC．
又A，F关于直线l对称，所以∠MFN=90°．
故以线段MN为直径的圆经过点F．
教师：大多数解析几何问题最终都被转化成了代数问题，因此运算量大． 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，更是数与形的统一、代数与几何的结合，因此，充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，也会大大地简化运算，优化解题过程． 那么，此题可以用几何方法来证明吗？另外此题中涉及双曲线第二定义，第二定义在此题中作用何在，难道仅仅是为了给出双曲线的方程吗？请同学们想一想．
经过思考，一学生提出借助前面提到的A，F关于直线l对称，有如下解法．
解法6：如图1，过点B作准线l的垂线交FM的延长线于点D． 过C作准线l的垂线交FN的延长线于点E． 所以∠MFN=∠BDF，∠NFA=∠CEF．
图1
因为A，F关于直线l对称，
所以B，D关于直线l对称，C，E关于直线l对称．
由已知FB，FC为B，C到直线l距离的2倍．
所以FB=BD，FC=CE，所以∠BDF=∠BFM，∠CEF=∠CFN．
所以∠MFA=∠MFM，∠NFA=∠CFN．
因为∠MFA+∠MFM+∠NFA+∠CFN=180°，
所以∠MFA+∠NFA=90°，即∠MFN=90°，
所以以线段MN为直径的圆经过点F．
学生1：结合图形，如果能证明NF平分∠AFC，FM平分∠AFB，由∠AFC+∠AFB=180°可得∠MFN=90°，但我不知道如何证明．
学生2：要证NF平分∠AFC，根据角平分线定理，只需证=，为此过C作CC1⊥l，垂足为C1，利用双曲线第二定义及平行线的性质可得到结论．
解法7：如图2过B作BB1⊥l，垂足为B1，过C作CC1⊥l，垂足为C1，
则CC1∥x轴，所以=．
图1
由双曲线第二定义可知，
=，
所以=，所以FN平分∠AFC．
同理，FM平分∠AFB．
又∠AFC+∠AFB=180°，
所以∠MFN=90°，故以线段MN为直径的圆必经过右焦点F．
反思、提炼
教师：在数学上，遇到一个真正触及数学本质的题目时，要停下匆匆的脚步，认真感悟一下，欣赏一下，这样在你的头脑中会留下很多的沉淀． 当类似的情况在今后再发生的时候，你的沉淀迅速的激活，所以你的思路大开，便多了很多帮手． 接下来让我们对上述解法进行总结，理清思路、提升认识．
解法1、2由以线段MN为直径的圆必经过右焦点F，得到⊥，即•=0出发，这是解析问题的常规做法，是我们必须要掌握的方法．
解法3、4、5的关键是能得到A，F关于直线l对称，但有局限，是针对此题的一种特殊解法，但能起到简化运算的作用．
解法6、7充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，揭示了问题的几何本质，证法简洁漂亮，值得我们深思．
变式、拓展和推广
教师：对一个数学问题的探究思考，最基本的切入点就是要对题目的条件和结论加以多角度的思考，对问题进行推广、变式、拓展．为此，提出以下问题，供同学们课后研究．
问题1：能将此题一般化并推广到圆、椭圆、抛物线中去吗？给出解答．
问题2：根据此题条件，编拟新的题目并给出解答．
针对这两个问题，请同学们分小组进行深入的讨论、研究，并将研究结果形成报告．
笔者课后收集、整理学生上交的报告，得到了很多结论和编拟的题目，限于篇幅，不再一一列出．
课后反思
就目前的高三教学现状而言，有不少教师大量选取历年全国各地高考试题进行教学，但缺乏对题目的深入研究，仅仅是就题论题进行教学，不能把握问题的本质以及不同问题之间的联系，重复地讲解大量的题目，导致复习课的效率低下，不利于学生能力的提升． 难以达到高三复习课所要达成的“夯实基础、提高能力”的目标，高三复习课要充分用好各地高考试题，对试题应从以下几方面进行研究：（1）试题的来源；（2）有哪些解法；（3）试题变式、推广和拓展．