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摘 要：含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点，灵活多变、思辨性强． 对其进行探究，通过一题多解、一题多变，总结出解题思维与方法，从而发展学生的思维能力，提高数学素养，是学生掌握数学、学会“数学式思维”的关键．
关键词：高考题；参数；恒成立
含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、思辨性强，令不少学生望而生畏、束手无策． 2010年高考数学天津卷文科第20题具有一定的典型性、代表性、示范性，因而深入地研究本题，以该题为蓝本，可以设计出适合高三复习的一节课．
展示考题，明确任务
例题 已知函数f（x）＝ax3－x2+1（x∈R），其中a＞0．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若在区间－，上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
教师：本题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数性质、解含参数不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法． 本节课，我们主要是通过对本题第2问的探究，总结出含参数不等式恒成立问题的解题思路和方法．
（设计意图：以高考题目为探究源泉，激发学生的求知欲望）
分析考题，启发思路
教师：（1）当a＝1时，f（x）＝x3－x2+1，f（2）＝3，f′（2）＝6，切线方程为y＝6x－9．
对本题第2问，启发学生思考：
①不等式在什么条件下恒成立？
②求a的取值范围的关键是什么？
③如何利用x的取值范围求a的取值范围？
经过分析、思考，学生1发现了如下解题方法．
解法1：f′（x）＝3ax2－3x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝．
以下分两种情况讨论：
①若0＜a≤2，则≥，当x∈－，0时，f′（x）＞0；
当x∈0，，f′（x）＜0，所以f（x）在－，0单调递增，在0，单调递减．
当x∈－，时，f（x）＞0等价于
f－>0，f>0， 解得－5＜a＜5，因此0＜a≤2．
②若a＞2，则0＜＜，当x∈－，0和，时，f′（x）＞0；
当x∈0，时，f′（x）＜0，f（x）在－，0和，单调递增，在0，单调递减．
当x∈－，时，f（x）＞0等价于
f－>0，f>0， 解得＜a＜5或a＜ －，因此2＜a＜5．
综合①②可知a的取值范围是0＜a＜5．?摇
教师点评：学生1的做法与参考答案是一致的． 解题思路是把x∈－，， f（x）＞0恒成立问题转化为函数f（x）在－，上的最小值大于0，利用导数知识使问题得以解决．
教师：是否可将不等式中的a与x进行分离（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再求函数f（x）的最值？请同学们思考后，大家一起交流．
停留片刻，学生2给出了如下解答．
解法2：x∈－，，f（x）＞0恒成立，
即不等式ax3－x2＋1＞0对x∈－，恒成立．?摇
若x＝0，恒成立；
若x∈－，0，ax3－x2＋1＞0，
所以a＜－，
要使a＜－，对任意x∈－，0恒成立，只需a＜－min．
令g（x）＝－，x∈－，0，由g′（x）＞0，
g（x）在－，0单调递增，［g（x）］min＝g－＝5，所以0＜a＜5．
若x∈0，，ax3－x2＋1＞0，则a＞－．?摇
要使a＞－对任意x∈0，恒成立，只需a＞－max，同理可得a＞0．
综上，a的取值范围是0＜a＜5．
教师点评：首先对学生2的探索精神给予表扬．将原不等式中的a与x进行分离（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再把求a的取值范围问题转化为求f（x）的最值问题，使解题思路简单明了，易于掌握，这种方法称为“分离参数法”，它是解决含参数不等式恒成立问题的常用方法，更具有普遍性，是通法．
（设计意图：一题多解是培养学生思维灵活性、发散性的有效手段，是数学创新教学的重要途径，剖析思路、探讨解法也是高三数学复习课的主题内容． 本环节的设计旨在引领学生多角度、多方位地探讨解法，加强知识的纵横联系，以达到融会贯通的目的；同时，也为后续的解法提供了素材，奠定了基础）
一题多变，举一反三
教师：原题第2问能变吗？怎么变？
学生3：把x的区间改为开区间（或半开半闭区间），可得
变式1 已知函数f（x）＝ax3－x2＋1 （x∈R），其中a＞0，对任意x∈－，，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
分离参数后，发现函数相应的最值不存在，由y＝－在x＝－的极限值等于5，只需a≤5，所以a的取值范围是0＜a≤5．
教师：（1）若f（x）无最小值，而存在相应极限值M． 要使f（x）＞g（a）恒成立，只需M≥g（a）；要使f（x）≥g（a）恒成立，只需M≥g（a）；
（2）若f（x）无最大值，而存在相应极限值N． 要使f（x） 学生4：也可将f（x）表示成g（x）－h（x）的形式，可得：
变式2 设函数g（x）＝ax3+1，a＞0，h（x）＝x2，若对任意x∈－，，不等式g（x）＞h（x）恒成立，求a的取值范围．
学生5： 由已知不等式g（x）－h（x）＝ax3－x2＋1＞0对x∈－，恒成立，
令f（x）＝ax3－x2＋1，于是问题转化为原题，a的取值范围是0＜a＜5．
教师： 不等式g（x）＞h（x）恒成立，可构造函数f（x）＝g（x）－h（x），问题转化为f（x）>0恒成立．
还有学生说若把x的取值范围改成参数a的取值范围，可得
变式3 对任意a∈－，，f（x）＝ax3－x2＋1的值恒大于0，求x的取值范围．
学生6思考后，提出如下解法．
解：把原函数看成关于的一次函数，令g（a）＝x3•a＋1－x2，
则原问题转化为g（a）＞0对任意a∈－，恒成立．
若x＝0，g（a）＝1＞0恒成立；
若x≠0，则问题等价于g－>0，g>0， 解得1－＜x＜－1＋，?摇?摇?摇
所以x的取值范围是1－＜x＜－1＋．
教师：很好，能通过“反客为主”转化为参数a的一次不等式，起到了降次化简的作用，这种方式称为“变更主元法”．你知道它适合于什么题目吗?
停留片刻，学生7：它适用于参数是一次的不等式在参数的某一取值范围内恒成立，求未知数x的取值范围问题．
看到学生思路活跃，兴致高涨，教师趁热打铁，给出如下两个变式．
变式4 设函数f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，g（x）＝－9x2，对任意x1，x2∈［－2，－1］，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，求a的取值范围．
学生8：对任意x1，x2∈［－2，－1］，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则［f（x）］min＞［g（x）］max． 因为x∈［－2，－1］，a＞0，f′（x）＞0，g′（x）＞0，所以f（x）和g（x）在［－2，－1］都单调递增． 由f（－2）＞g（－1），解得a＜，所以a的取值范围是0＜a＜．
教师点评：对于定义域上某个区间内的任意x1，x2，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，等价于［f（x）］min＞［g（x）］max，于是问题转化为求f（x）和g（x）在给定间内的最值问题．
变式5 定义在（－∞，－1）上的函数f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，使f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
教师：本题具有挑战性，它是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的符号，转化为自变量的大小关系，同时要考虑到定义域，请同学们认真思考后，列出不等式组．
学生9：x∈（－∞，－1），a＞0，f′（x）＝3ax（x－）＞0，f（x）在（－∞，－1）单调递增，f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）对一切x∈R恒成立，
得不等式组
a2－6a－5sinx<1－a+cos2x，1－a+cos2x<－1，a>0
对一切x∈R恒成立，
即a2－5a<－sin2x+5sinx+2，a>cos2x+2，a>0
对一切x∈R恒成立，
所以a2－5a<－4，a>3，a>0.
解得3＜a＜4．所以a的取值范围是3＜a＜4．
（设计意图：《数学课程标准》是在继承基础上的扬弃，是在批判中吸收，不排斥传统教学中的精华，变式训练是我国传统数学解题教学有效的训练手段，它对培养学生的思辨能力、创新意识、发散思维具有不可替代的作用）
师生小结，提炼方法
教师： 我们以一道典型的高考试题为载体研究解题，通过一题多解，一题多变，对含参数不等式恒成立问题进行探究，经历受困、顿悟、内化的学习过程．为了帮助大家总结解题思路与方法，请思考以下问题：
（1）你认为含参数不等式恒成立问题可以分为几大类？按什么标准分类？
（2）解决含参数不等式恒成立问题，你能说出几种方法？每种方法适用的题目是什么？哪种方法最通用？
由学生回答，不完整之处由教师补充，概括如下：
含参数不等式恒成立问题可分为两大类：一是已知不等式在参数的某一取值范围内恒成立，求未知数x的取值范围，这类题目若参数是一次的，则采用变更主元法最简单；若参数不是一次的，但可分离，则采用分离参数法解决．二是已知不等式在未知数x的某一取值范围内恒成立，求参数的取值范围，通常可采用分离参数法，把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题，如果相应函数最值不存在，可利用函数相应的极限值加以解决，而“等号”的选取总是可以的． 当然，数学题目千变万化，如果不能分离参数，就要根据题目特点采取相应的方法，例如利用二次函数的图象和性质，或挖掘几何意义用数形结合法等．
（设计意图：在真实的课堂教学中，要求教师在合作交流环节之后对纷繁杂乱的成果给予整理，这一过程既体现了教师在课堂中的主导地位，又是优化学生思维品质、升华解题认识、提炼数学思想方法必不可少的环节）
关键词：高考题；参数；恒成立
含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、思辨性强，令不少学生望而生畏、束手无策． 2010年高考数学天津卷文科第20题具有一定的典型性、代表性、示范性，因而深入地研究本题，以该题为蓝本，可以设计出适合高三复习的一节课．
展示考题，明确任务
例题 已知函数f（x）＝ax3－x2+1（x∈R），其中a＞0．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若在区间－，上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
教师：本题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数性质、解含参数不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法． 本节课，我们主要是通过对本题第2问的探究，总结出含参数不等式恒成立问题的解题思路和方法．
（设计意图：以高考题目为探究源泉，激发学生的求知欲望）
分析考题，启发思路
教师：（1）当a＝1时，f（x）＝x3－x2+1，f（2）＝3，f′（2）＝6，切线方程为y＝6x－9．
对本题第2问，启发学生思考：
①不等式在什么条件下恒成立？
②求a的取值范围的关键是什么？
③如何利用x的取值范围求a的取值范围？
经过分析、思考，学生1发现了如下解题方法．
解法1：f′（x）＝3ax2－3x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝．
以下分两种情况讨论：
①若0＜a≤2，则≥，当x∈－，0时，f′（x）＞0；
当x∈0，，f′（x）＜0，所以f（x）在－，0单调递增，在0，单调递减．
当x∈－，时，f（x）＞0等价于
f－>0，f>0， 解得－5＜a＜5，因此0＜a≤2．
②若a＞2，则0＜＜，当x∈－，0和，时，f′（x）＞0；
当x∈0，时，f′（x）＜0，f（x）在－，0和，单调递增，在0，单调递减．
当x∈－，时，f（x）＞0等价于
f－>0，f>0， 解得＜a＜5或a＜ －，因此2＜a＜5．
综合①②可知a的取值范围是0＜a＜5．?摇
教师点评：学生1的做法与参考答案是一致的． 解题思路是把x∈－，， f（x）＞0恒成立问题转化为函数f（x）在－，上的最小值大于0，利用导数知识使问题得以解决．
教师：是否可将不等式中的a与x进行分离（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再求函数f（x）的最值？请同学们思考后，大家一起交流．
停留片刻，学生2给出了如下解答．
解法2：x∈－，，f（x）＞0恒成立，
即不等式ax3－x2＋1＞0对x∈－，恒成立．?摇
若x＝0，恒成立；
若x∈－，0，ax3－x2＋1＞0，
所以a＜－，
要使a＜－，对任意x∈－，0恒成立，只需a＜－min．
令g（x）＝－，x∈－，0，由g′（x）＞0，
g（x）在－，0单调递增，［g（x）］min＝g－＝5，所以0＜a＜5．
若x∈0，，ax3－x2＋1＞0，则a＞－．?摇
要使a＞－对任意x∈0，恒成立，只需a＞－max，同理可得a＞0．
综上，a的取值范围是0＜a＜5．
教师点评：首先对学生2的探索精神给予表扬．将原不等式中的a与x进行分离（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再把求a的取值范围问题转化为求f（x）的最值问题，使解题思路简单明了，易于掌握，这种方法称为“分离参数法”，它是解决含参数不等式恒成立问题的常用方法，更具有普遍性，是通法．
（设计意图：一题多解是培养学生思维灵活性、发散性的有效手段，是数学创新教学的重要途径，剖析思路、探讨解法也是高三数学复习课的主题内容． 本环节的设计旨在引领学生多角度、多方位地探讨解法，加强知识的纵横联系，以达到融会贯通的目的；同时，也为后续的解法提供了素材，奠定了基础）
一题多变，举一反三
教师：原题第2问能变吗？怎么变？
学生3：把x的区间改为开区间（或半开半闭区间），可得
变式1 已知函数f（x）＝ax3－x2＋1 （x∈R），其中a＞0，对任意x∈－，，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
分离参数后，发现函数相应的最值不存在，由y＝－在x＝－的极限值等于5，只需a≤5，所以a的取值范围是0＜a≤5．
教师：（1）若f（x）无最小值，而存在相应极限值M． 要使f（x）＞g（a）恒成立，只需M≥g（a）；要使f（x）≥g（a）恒成立，只需M≥g（a）；
（2）若f（x）无最大值，而存在相应极限值N． 要使f（x）
变式2 设函数g（x）＝ax3+1，a＞0，h（x）＝x2，若对任意x∈－，，不等式g（x）＞h（x）恒成立，求a的取值范围．
学生5： 由已知不等式g（x）－h（x）＝ax3－x2＋1＞0对x∈－，恒成立，
令f（x）＝ax3－x2＋1，于是问题转化为原题，a的取值范围是0＜a＜5．
教师： 不等式g（x）＞h（x）恒成立，可构造函数f（x）＝g（x）－h（x），问题转化为f（x）>0恒成立．
还有学生说若把x的取值范围改成参数a的取值范围，可得
变式3 对任意a∈－，，f（x）＝ax3－x2＋1的值恒大于0，求x的取值范围．
学生6思考后，提出如下解法．
解：把原函数看成关于的一次函数，令g（a）＝x3•a＋1－x2，
则原问题转化为g（a）＞0对任意a∈－，恒成立．
若x＝0，g（a）＝1＞0恒成立；
若x≠0，则问题等价于g－>0，g>0， 解得1－＜x＜－1＋，?摇?摇?摇
所以x的取值范围是1－＜x＜－1＋．
教师：很好，能通过“反客为主”转化为参数a的一次不等式，起到了降次化简的作用，这种方式称为“变更主元法”．你知道它适合于什么题目吗?
停留片刻，学生7：它适用于参数是一次的不等式在参数的某一取值范围内恒成立，求未知数x的取值范围问题．
看到学生思路活跃，兴致高涨，教师趁热打铁，给出如下两个变式．
变式4 设函数f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，g（x）＝－9x2，对任意x1，x2∈［－2，－1］，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，求a的取值范围．
学生8：对任意x1，x2∈［－2，－1］，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则［f（x）］min＞［g（x）］max． 因为x∈［－2，－1］，a＞0，f′（x）＞0，g′（x）＞0，所以f（x）和g（x）在［－2，－1］都单调递增． 由f（－2）＞g（－1），解得a＜，所以a的取值范围是0＜a＜．
教师点评：对于定义域上某个区间内的任意x1，x2，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，等价于［f（x）］min＞［g（x）］max，于是问题转化为求f（x）和g（x）在给定间内的最值问题．
变式5 定义在（－∞，－1）上的函数f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，使f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
教师：本题具有挑战性，它是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的符号，转化为自变量的大小关系，同时要考虑到定义域，请同学们认真思考后，列出不等式组．
学生9：x∈（－∞，－1），a＞0，f′（x）＝3ax（x－）＞0，f（x）在（－∞，－1）单调递增，f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）对一切x∈R恒成立，
得不等式组
a2－6a－5sinx<1－a+cos2x，1－a+cos2x<－1，a>0
对一切x∈R恒成立，
即a2－5a<－sin2x+5sinx+2，a>cos2x+2，a>0
对一切x∈R恒成立，
所以a2－5a<－4，a>3，a>0.
解得3＜a＜4．所以a的取值范围是3＜a＜4．
（设计意图：《数学课程标准》是在继承基础上的扬弃，是在批判中吸收，不排斥传统教学中的精华，变式训练是我国传统数学解题教学有效的训练手段，它对培养学生的思辨能力、创新意识、发散思维具有不可替代的作用）
师生小结，提炼方法
教师： 我们以一道典型的高考试题为载体研究解题，通过一题多解，一题多变，对含参数不等式恒成立问题进行探究，经历受困、顿悟、内化的学习过程．为了帮助大家总结解题思路与方法，请思考以下问题：
（1）你认为含参数不等式恒成立问题可以分为几大类？按什么标准分类？
（2）解决含参数不等式恒成立问题，你能说出几种方法？每种方法适用的题目是什么？哪种方法最通用？
由学生回答，不完整之处由教师补充，概括如下：
含参数不等式恒成立问题可分为两大类：一是已知不等式在参数的某一取值范围内恒成立，求未知数x的取值范围，这类题目若参数是一次的，则采用变更主元法最简单；若参数不是一次的，但可分离，则采用分离参数法解决．二是已知不等式在未知数x的某一取值范围内恒成立，求参数的取值范围，通常可采用分离参数法，把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题，如果相应函数最值不存在，可利用函数相应的极限值加以解决，而“等号”的选取总是可以的． 当然，数学题目千变万化，如果不能分离参数，就要根据题目特点采取相应的方法，例如利用二次函数的图象和性质，或挖掘几何意义用数形结合法等．
（设计意图：在真实的课堂教学中，要求教师在合作交流环节之后对纷繁杂乱的成果给予整理，这一过程既体现了教师在课堂中的主导地位，又是优化学生思维品质、升华解题认识、提炼数学思想方法必不可少的环节）