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【摘要】学生在解决等可能条件下的概率问题时，常常错误使用树状图。教师在教学时也会因为内容要求较低而一带而过，不够重视。本文分析了学生做题中的常见错误，并反思我们的教学，对这部分教学给出相应建议。
【关键词】概率模型 树状图 教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）37-0206-01
在每一年的中考中，等可能条件下的概率问题是必考题，约8分。这8分是基础题，对于中等以上学生比较好拿分，但是对于较薄弱学生往往处于混乱状态，画树状图主要靠碰运气。在近几年的初三教学中，笔者发现越来越多的学生没有真正弄清原因，因此想针对此情况进行分析和教学反思。
一、课标分析
新课标中关于概率问题的要求有：能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。课标对此的要求是“了解”，但由于实际问题的千变万化，对于不同背景，如何正确列出简单随机事件所有可能的结果是解决问题的关键。我们可以通过画树状图、列表或枚举等方法帮助解决问题。
二、常见错误及原因分析
问题1 （苏科版教材九上P139 8）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种，其中“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同不分胜负。假定甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种，求下列事件发生的概率：
（1）甲取胜；（2）乙取胜；（3）甲、乙两人不分胜负。
错解：
分析：這是学生最常见的错误，不知道选择的对象是什么，看到什么就把什么当成树状图的分支。
问题2 （苏科版教材九上P145 8）小明有两副完全相同的手套（分左、右手），上学时，小明从中任意拿了两只。求这两只手套恰好配成一副的概率。
错解：第一只 第二只
分析：弄错选择对象，应把两副手套分别记作：左1，右1，左2，右2，把4只手套放在一起作为选项，从四只中任取两只，可能的结果为（左1，右1）、（左1，左2）、（左1，右2）、（右1，左2）、（右1，右2）、（左2，右2）六种。
问题3 （2016南京中考第22题）某景区7月1日～7月7日一周天气预报如右图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游。求下列事件的概率：
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴。
错解：学生无法画树状图，不会写结果。
分析：本题与常规题型不同，如果学生的思维局限于选择两天一定要画树状图，则本题将无法解决。本题的考查意图即为学生要能弄清求概率的本质，是要分析出实际问题中可能出现的结果，方法是多样的，而不应局限于画树状图或列表这样机械的方法。
三、教学反思
1.充足课时保证学生充分感受
由于笔者近四年都在初三进行教学，感触最深的是课时紧张。因此，往往教师会在统计和概率这样比较容易的内容里压缩课时，以讲题为主。学生没有机会充分感受随机现象和概率的意义，解决问题时不会分析问题，只知道生搬硬套画树状图，不弄清原理，无法建立“概率模型”。建议大家在教学时通过让学生动手实验，感受等可能的结果。例如通过让学生做摸球的实验，感受不同摸球方法带来的结果的不同。本文提到的问题1也可以让学生通过两两操作，找出可能的结果应该是（甲石头，乙剪子）这样的形式，进一步理解树状图的结构。在新课阶段让学生多接触不同的背景，感受他们的异同。
2.适当补充加法原理与乘法原理
两个基本原理是高中排列、组合章节的起始课，找等可能结果的过程往往相当于排列、组合问题，与其让学生糊里糊涂排，不如讲清原理，尽可能不完全依赖于树状图这种过于机械的方法，先从计算角度理清可能的结果数，再具体列举。很多概率问题就是在解决简单的排列组合问题例如2014南京中考第20题，从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，抽取1名和抽取2名就是经典的组合数问题，学生直接用枚举法列出抽取两名的可能结果（甲，乙）、（乙，丙）、（甲、丙）非常简单，比树状图更为清楚，尤其是被抽取对象较多时，这种方法优势更明显。
3.归纳提升，总结方法，形成能力
学生的主要困难是，遇到的新问题、新背景不知道如何处理，常常会陷入是选人还是选地方，选钥匙还是选锁的混乱之中。实际上，初中阶段可能遇到的简单随机问题基本可以用同一个“概率模型”——摸球来刻画，只要把不同背景的问题转化为相对的摸球问题，学生的问题就迎刃而解了。例如，问题1相当于在一个袋子里有放回的摸球；问题2相当于在一个袋子中一次摸两个球，也可以看成是无放回的摸球；把这样的问题集中呈现让学生学会如何把不同背景转化为相同，化陌生为熟悉，更一般性的解决问题。
4.把握中考要求，控制难度
纵观十年来的南京中考题，概率问题的背景都很简单，都以学生平时熟知的问题为背景。2009至今摸球问题出现三次，选人问题出现三次，生男生女问题出现两次，抽取纸币的问题出现一次。应该说，避免了让学生会混乱的问题。问题3是最特别的一题，这一题旨在提醒教师和学生不要把概率问题等同于画树状图，而把重点放在排出所有等可能的结果。从中考的导向来看，概率问题不应出现刁钻的、学生不熟悉的背景，不能变成复杂的排列组合问题.在教学中，应以基本问题为主，让所有层次学生都能轻松掌握，提升学生学习的信心。
作者简介：
毛南燕（1979.6-）， 女，汉族，江苏南京人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教学。
【关键词】概率模型 树状图 教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）37-0206-01
在每一年的中考中，等可能条件下的概率问题是必考题，约8分。这8分是基础题，对于中等以上学生比较好拿分，但是对于较薄弱学生往往处于混乱状态，画树状图主要靠碰运气。在近几年的初三教学中，笔者发现越来越多的学生没有真正弄清原因，因此想针对此情况进行分析和教学反思。
一、课标分析
新课标中关于概率问题的要求有：能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。课标对此的要求是“了解”，但由于实际问题的千变万化，对于不同背景，如何正确列出简单随机事件所有可能的结果是解决问题的关键。我们可以通过画树状图、列表或枚举等方法帮助解决问题。
二、常见错误及原因分析
问题1 （苏科版教材九上P139 8）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种，其中“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同不分胜负。假定甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种，求下列事件发生的概率：
（1）甲取胜；（2）乙取胜；（3）甲、乙两人不分胜负。
错解：
分析：這是学生最常见的错误，不知道选择的对象是什么，看到什么就把什么当成树状图的分支。
问题2 （苏科版教材九上P145 8）小明有两副完全相同的手套（分左、右手），上学时，小明从中任意拿了两只。求这两只手套恰好配成一副的概率。
错解：第一只 第二只
分析：弄错选择对象，应把两副手套分别记作：左1，右1，左2，右2，把4只手套放在一起作为选项，从四只中任取两只，可能的结果为（左1，右1）、（左1，左2）、（左1，右2）、（右1，左2）、（右1，右2）、（左2，右2）六种。
问题3 （2016南京中考第22题）某景区7月1日～7月7日一周天气预报如右图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游。求下列事件的概率：
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴。
错解：学生无法画树状图，不会写结果。
分析：本题与常规题型不同，如果学生的思维局限于选择两天一定要画树状图，则本题将无法解决。本题的考查意图即为学生要能弄清求概率的本质，是要分析出实际问题中可能出现的结果，方法是多样的，而不应局限于画树状图或列表这样机械的方法。
三、教学反思
1.充足课时保证学生充分感受
由于笔者近四年都在初三进行教学，感触最深的是课时紧张。因此，往往教师会在统计和概率这样比较容易的内容里压缩课时，以讲题为主。学生没有机会充分感受随机现象和概率的意义，解决问题时不会分析问题，只知道生搬硬套画树状图，不弄清原理，无法建立“概率模型”。建议大家在教学时通过让学生动手实验，感受等可能的结果。例如通过让学生做摸球的实验，感受不同摸球方法带来的结果的不同。本文提到的问题1也可以让学生通过两两操作，找出可能的结果应该是（甲石头，乙剪子）这样的形式，进一步理解树状图的结构。在新课阶段让学生多接触不同的背景，感受他们的异同。
2.适当补充加法原理与乘法原理
两个基本原理是高中排列、组合章节的起始课，找等可能结果的过程往往相当于排列、组合问题，与其让学生糊里糊涂排，不如讲清原理，尽可能不完全依赖于树状图这种过于机械的方法，先从计算角度理清可能的结果数，再具体列举。很多概率问题就是在解决简单的排列组合问题例如2014南京中考第20题，从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，抽取1名和抽取2名就是经典的组合数问题，学生直接用枚举法列出抽取两名的可能结果（甲，乙）、（乙，丙）、（甲、丙）非常简单，比树状图更为清楚，尤其是被抽取对象较多时，这种方法优势更明显。
3.归纳提升，总结方法，形成能力
学生的主要困难是，遇到的新问题、新背景不知道如何处理，常常会陷入是选人还是选地方，选钥匙还是选锁的混乱之中。实际上，初中阶段可能遇到的简单随机问题基本可以用同一个“概率模型”——摸球来刻画，只要把不同背景的问题转化为相对的摸球问题，学生的问题就迎刃而解了。例如，问题1相当于在一个袋子里有放回的摸球；问题2相当于在一个袋子中一次摸两个球，也可以看成是无放回的摸球；把这样的问题集中呈现让学生学会如何把不同背景转化为相同，化陌生为熟悉，更一般性的解决问题。
4.把握中考要求，控制难度
纵观十年来的南京中考题，概率问题的背景都很简单，都以学生平时熟知的问题为背景。2009至今摸球问题出现三次，选人问题出现三次，生男生女问题出现两次，抽取纸币的问题出现一次。应该说，避免了让学生会混乱的问题。问题3是最特别的一题，这一题旨在提醒教师和学生不要把概率问题等同于画树状图，而把重点放在排出所有等可能的结果。从中考的导向来看，概率问题不应出现刁钻的、学生不熟悉的背景，不能变成复杂的排列组合问题.在教学中，应以基本问题为主，让所有层次学生都能轻松掌握，提升学生学习的信心。
作者简介：
毛南燕（1979.6-）， 女，汉族，江苏南京人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教学。