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科学越是发展，数学的运用也越来越广泛.高斯曾宣称“数学是科学之王”.物理是以实验为基础的科学，当高度抽象的数学应用于强烈实践性的物理学时，数学也不得不低下“高贵的王者之头”，成为处理实际物理问题的很好的工具.然而，在我们平时的教学过程中，存在着数学与物理脱节的情况，学生将数学知识应用于处理实际物理问题的能力并不强.这就要求我们在平时的教学过程中加强将数学方法运用到实际问题的指导，加强学生运用数学知识处理物理问题的能力.在有些物理问题的处理过程中，需要用到数学中求极值的方法.
1算术-几何平均数法
数学原理设x1、x2为任意两个正数，必有不等式
x1 x212≥x1x2
如果两变数之和为一定值（设x1 x2=k），则当这两个数相等时，它们的乘积取极大值，其值为ymax=x1x2=（k12）2.
如果两变数的积为一定值（设x1x2=k），则当这两个数相等时，它们的和取极小值，其值为ymin=x1 x2=2k.
利用两数的算术平均和几何平均的上述性质，可以方便地计算某些极值问题.
物理应用我国是一个能源消耗的大国，节约能源刻不容缓.设有一架直升机以加速度a从地面由静止开始竖直向上起飞，已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量V0=pa q（p、q均为常数），若直升机欲上升到某一定高度处，且耗油量最小，则其加速度应为多大？
由h=112at2得t=2h1a，则飞机的耗油量为
V=V0t=（pa q）2h1a=（pa p1a）2h.
当pa=q1a，即a=q1p时耗油量V最小，Vmin=22pqh.
2判別式法
数学原理所谓判别式法，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析.
物理应用甲、乙两汽车相距s，甲在前，乙在后，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度v0匀速运动，乙由静止开始以加速度a作匀加速运动.问什么情况下甲能追上乙？什么情况下甲追不上乙？
设从运动开始到甲追上乙的时间为t，则这段时间里甲、乙两车的位移关系为：s甲=v0t，s乙=112at2，这一过程中，两车的位移间应有：s乙 s=s甲，由以上三式可得
at2-2v0t 2s=0，
解得t=v0±v20-2as1a.
（1）当v20-2as<0，即v0<2as时方程无解，甲追不上乙.
（2）当v20-2as=0，即v0=2as时方程有一解，开始运动后t=v01a时刻，甲追上乙，此时两车速度相等.
（3）当v20-2as>0，即v0>2as时，方程有两解
t1=v0 v20-2as1a，t2=v0-v20-2as1a，
开始后t1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，t2时刻乙又赶上并超过甲.
综上所述，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.在此问题的处理过程中，根据方程解的不同个数讨论了甲车是否追上乙车的不同情况.
3二次三项式法
数学原理二次三项式y=ax2 bx c，利用配方法得：
y=a（x b12a）2 4ac-b214a，
它的图象是一条抛物线.
当a>0时，则抛物线开口向上，y有极小值，
当x=-b12a时，极小值ymin=4aC-b214a；
当a<0时，则抛物线开口向下，y有极大值，
当x=-b12a时，极大值ymax=4ac-b214a.
物理应用如图1所示，在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10 m/s2）.求：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离smax为多少？
解（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，由A运动到B过程根据动能定理得
mg（H-h）-μmg·L1cosαcosα=112mv20-0，
解得v0=2g（H-h-μL）.
（2）平抛运动过程：s=v0t，h=112gt2，
解得s=2（H-μL-h）h
=2-（h-H-μL12） （H-μL）214，
当h=112（H-μL）=1.5 m时，s有最大值， smax=3 m.
4三角函数法
数学原理对于形如y=asinx bcosx的函数，可先进行三角变换，然后确定其极值条件.
y=asinx bcosx
=a2 b2（a1a2 b2sinx b1a2 b2cosx）
令sin=a1a2 b2，cos=b1a2 b2，
则当x=时，ymax=a2 b2.
物理应用如图4所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，加速度a=3 m/s2.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=3/3.重力加速度g取10 m/s2.拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图5所示，由牛顿第二定律得
Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（1）
Fsinα FN-mgcosθ=0（2）
又Ff=μFN（3）
联立（1）、（2）、（3）式得F=mg（sinθ μcosθ） ma1cosα μsinα（4）
由数学知识得cosα 313sinα=2313sin（60° α）（5）
由（4）、（5）式可知对应F最小的夹角为α=30°（6）
将具体数据代入得F的最小值为Fmin=13315N.
如何加强学生利用数学中求极值的方法来处理物理问题的能力呢？首先，学生需明确数学中求极值常用的四种方法.其次，学生的头脑中需时刻有利用数学处理物理问题的意识，当问题中出现“最大”、“最小”、“最大值”、“最小值”等关键词时，往往是需要利用数学中求极值的方法来解决的.再次，学生必须明确，只有正确的认识物理情景，理解物理问题，在物理的表达式正确的前提下，才能正确的利用数学方法来确定极值问题.毕竟，数学只是处理物理问题的一种有效的工具.最后，我们在复习的过程中需要加强这方面的训练，通过具体的实例，加强学生在这方面的体验.
1算术-几何平均数法
数学原理设x1、x2为任意两个正数，必有不等式
x1 x212≥x1x2
如果两变数之和为一定值（设x1 x2=k），则当这两个数相等时，它们的乘积取极大值，其值为ymax=x1x2=（k12）2.
如果两变数的积为一定值（设x1x2=k），则当这两个数相等时，它们的和取极小值，其值为ymin=x1 x2=2k.
利用两数的算术平均和几何平均的上述性质，可以方便地计算某些极值问题.
物理应用我国是一个能源消耗的大国，节约能源刻不容缓.设有一架直升机以加速度a从地面由静止开始竖直向上起飞，已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量V0=pa q（p、q均为常数），若直升机欲上升到某一定高度处，且耗油量最小，则其加速度应为多大？
由h=112at2得t=2h1a，则飞机的耗油量为
V=V0t=（pa q）2h1a=（pa p1a）2h.
当pa=q1a，即a=q1p时耗油量V最小，Vmin=22pqh.
2判別式法
数学原理所谓判别式法，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析.
物理应用甲、乙两汽车相距s，甲在前，乙在后，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度v0匀速运动，乙由静止开始以加速度a作匀加速运动.问什么情况下甲能追上乙？什么情况下甲追不上乙？
设从运动开始到甲追上乙的时间为t，则这段时间里甲、乙两车的位移关系为：s甲=v0t，s乙=112at2，这一过程中，两车的位移间应有：s乙 s=s甲，由以上三式可得
at2-2v0t 2s=0，
解得t=v0±v20-2as1a.
（1）当v20-2as<0，即v0<2as时方程无解，甲追不上乙.
（2）当v20-2as=0，即v0=2as时方程有一解，开始运动后t=v01a时刻，甲追上乙，此时两车速度相等.
（3）当v20-2as>0，即v0>2as时，方程有两解
t1=v0 v20-2as1a，t2=v0-v20-2as1a，
开始后t1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，t2时刻乙又赶上并超过甲.
综上所述，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.在此问题的处理过程中，根据方程解的不同个数讨论了甲车是否追上乙车的不同情况.
3二次三项式法
数学原理二次三项式y=ax2 bx c，利用配方法得：
y=a（x b12a）2 4ac-b214a，
它的图象是一条抛物线.
当a>0时，则抛物线开口向上，y有极小值，
当x=-b12a时，极小值ymin=4aC-b214a；
当a<0时，则抛物线开口向下，y有极大值，
当x=-b12a时，极大值ymax=4ac-b214a.
物理应用如图1所示，在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10 m/s2）.求：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离smax为多少？
解（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，由A运动到B过程根据动能定理得
mg（H-h）-μmg·L1cosαcosα=112mv20-0，
解得v0=2g（H-h-μL）.
（2）平抛运动过程：s=v0t，h=112gt2，
解得s=2（H-μL-h）h
=2-（h-H-μL12） （H-μL）214，
当h=112（H-μL）=1.5 m时，s有最大值， smax=3 m.
4三角函数法
数学原理对于形如y=asinx bcosx的函数，可先进行三角变换，然后确定其极值条件.
y=asinx bcosx
=a2 b2（a1a2 b2sinx b1a2 b2cosx）
令sin=a1a2 b2，cos=b1a2 b2，
则当x=时，ymax=a2 b2.
物理应用如图4所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，加速度a=3 m/s2.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=3/3.重力加速度g取10 m/s2.拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图5所示，由牛顿第二定律得
Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（1）
Fsinα FN-mgcosθ=0（2）
又Ff=μFN（3）
联立（1）、（2）、（3）式得F=mg（sinθ μcosθ） ma1cosα μsinα（4）
由数学知识得cosα 313sinα=2313sin（60° α）（5）
由（4）、（5）式可知对应F最小的夹角为α=30°（6）
将具体数据代入得F的最小值为Fmin=13315N.
如何加强学生利用数学中求极值的方法来处理物理问题的能力呢？首先，学生需明确数学中求极值常用的四种方法.其次，学生的头脑中需时刻有利用数学处理物理问题的意识，当问题中出现“最大”、“最小”、“最大值”、“最小值”等关键词时，往往是需要利用数学中求极值的方法来解决的.再次，学生必须明确，只有正确的认识物理情景，理解物理问题，在物理的表达式正确的前提下，才能正确的利用数学方法来确定极值问题.毕竟，数学只是处理物理问题的一种有效的工具.最后，我们在复习的过程中需要加强这方面的训练，通过具体的实例，加强学生在这方面的体验.