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【摘 要】本文简略地考虑一些射影性质的定理,即关于共点线,共线点的。我们讨论透视的图形的关系,建立笛沙格定理和它的逆定理及它们的各种应用。
【关键词】笛沙格定理
引言:
笛沙格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为根据,利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。笛沙格定理说明,若两三点形有透视中心,则必有透视轴。反之,若有透视轴则必有透视中心。
一、笛沙格正,逆定理
定义1 平面上不共线三点及每两点连的直线构成的图形称为三点形。
定义2 平面上不共点的三直线及每两直线的交线构成的图形称为三线性。
笛沙格正定理
若两三点形的对应顶点的连线共点,则其对应边的交点共线。
若两三点形中有对应顶点重合,或非对应顶点重合,定理显然成立。下面仅对两三点形的6个顶点都相异的情形作出证明。
设 与 的对应顶点连线 相交于一点 则对应边
与 , 与 , 与 的交点 共线。
证:如图1 对 及相应的截线 , 由梅涅劳斯定理得
三式相乘化简得
对 由梅涅劳斯定理逆定理知 共线。
图1
笛沙格逆定理
若两三点形的三对对应边交点共线,则其对应顶点的连线共点。
设三点形 与 的对应边交点 共线,证明: 交于一点。
证:如图2 考虑三点形 与 ,它们的对应顶点连线 交于 。由笛沙格定理,此两三点形的对应边交点 共线,即两三点形 与 的对应顶点连线交于一点。
图2
笛沙格定理及其逆定理都称为笛沙格定理,我们称图2中两三点形 与 成透视, 叫透视中心,对应边交点所在直线 叫透视轴。这样上面两定理也可以叙述成:
一对对应三点形(三线形)具有透视中心的充要条件是具有透视轴。
笛沙格定理的图形包含10个点,10条直线,其中有些点是容许重合的,它们成为笛沙格定理的特情形。一般情况下,每条直线上有三点,过每点有三条直线,这个图形叫作笛沙格构形。从这个构形中可以形成多对成透视的三点形。可以证明此图形中的10个点中的每一个都可作为某些点构成的三点形的透视中心。例如: 是三点形 与 的透视中心,相应的透视轴是 所在直线。
正逆定理的应用情况
定理1 设 是三角形 所在平面上的两点, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 ,则 交于一点 。
设 与 相交于 ,等等,则三角形 同样明顯地成透视。而且可以证明 与 成透视,这三个透视中心共线。
定理2 设三个三角形有公共的透视中心,则它们的三条透视轴共点。
设三角形为 则 为共点的直线。我们将三角形的边用与所对顶点相同的小写字母表示。考虑边为 与 的三角形。它们的对应边相交于共线点 ,所以对应顶点的连线共点。但连结 的交点与 的交点的直线,是 与 的透视轴,等等。所以这三条轴共点。
二、正定理的应用
例1 如图3 设点 是不在三点形 三边上的点, 。则三点形 与 关于 成透视。
证:由笛沙格定理,它们的对应边交点 共线。
图3
运用到欧氏几何, 可以是三角形 的重心,垂心或外心等。它有一些有趣的特例:
如果 与 平行,那么另外两队边的交点 的连线也与它们平行,如果 与 平行, 与 平行,则 与 也平行。
例2 证明欧氏平面上三角形的重心,垂心与外心共线,所在直线叫三角形的 线。
证:如图4 设欧氏平面上三角形 的重心,垂心与外心分别是 ; 分别是三边 的中点。三点形 与 的对应边都平行,在拓广平面上它们的交点共线。由笛沙格定理,它们的对应顶点连线 交于一点,即三角形 的重心,垂心与外心共线。
图4
例3 在欧氏平面上, 的高线为 ,另外, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 。求证:三点 共线。并将此问题推广。
证:如图5 中三高线 共点 ,以 为透视心,由 和 ,根据笛沙格定理必有透视轴,即对应边 和 交于 , 与 交于 , 和 交于 。则三点 共线。
图5
此问题的推广:在 内, 三直线共点(不一定是高线),又 和 交于 , 和 交于 , 和 交于 。求证: 共线。
三、逆定理的应用
例1 设 为三条定直线, 为二定点,点 为 上的动点,且直线 分别与 交于点 。求证: 通过 上一个定点。
证:如图6 利用笛沙格定理在 上另取一点 ,按题意作出 。考察三点形 与 ,因为其具有透视中心 ,故其对应边的交点 三点共线,即 共点于 ,换句话说, 过 上的定点 。
图6
例2 设 是完全四点形 的对边三点形, 分别交 于 。求证: 共点。
证:考察三点形 与 ,
而 是共线的,由笛沙格逆定理可知 共点。
图7
例3 设 的顶点 分别在共点的三直线 上移动,且直线 和 分别通过定点 和 ,求证: 也通过 上一个定点。
证:如图8 设 是满足条件的另一个三角形, 和 中,由于对应点连线 共点 ,由笛沙格定理可知对应边交点 共线,即 与 的交点 必在 直线上,则 为定点。
图8
四、正逆定理的共同应用
例 设直线 交 三边 于 ,如果直线 两两相交成一三角形 ,求证: 共点。
证:如图9 利用笛沙格定理及逆定理。选三点形 和 ,因为 ,且 共线 ,所以此两个三点形之对应顶点连线 三线共点。
图9
参考文献:
[1] 近代欧氏几何学 [美] 约翰逊 上海教育出版社
[2] 高等几何 周兴和 科学出版社
[3] 高等几何 周建伟 高等教育出版社
【关键词】笛沙格定理
引言:
笛沙格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为根据,利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。笛沙格定理说明,若两三点形有透视中心,则必有透视轴。反之,若有透视轴则必有透视中心。
一、笛沙格正,逆定理
定义1 平面上不共线三点及每两点连的直线构成的图形称为三点形。
定义2 平面上不共点的三直线及每两直线的交线构成的图形称为三线性。
笛沙格正定理
若两三点形的对应顶点的连线共点,则其对应边的交点共线。
若两三点形中有对应顶点重合,或非对应顶点重合,定理显然成立。下面仅对两三点形的6个顶点都相异的情形作出证明。
设 与 的对应顶点连线 相交于一点 则对应边
与 , 与 , 与 的交点 共线。
证:如图1 对 及相应的截线 , 由梅涅劳斯定理得
三式相乘化简得
对 由梅涅劳斯定理逆定理知 共线。
图1
笛沙格逆定理
若两三点形的三对对应边交点共线,则其对应顶点的连线共点。
设三点形 与 的对应边交点 共线,证明: 交于一点。
证:如图2 考虑三点形 与 ,它们的对应顶点连线 交于 。由笛沙格定理,此两三点形的对应边交点 共线,即两三点形 与 的对应顶点连线交于一点。
图2
笛沙格定理及其逆定理都称为笛沙格定理,我们称图2中两三点形 与 成透视, 叫透视中心,对应边交点所在直线 叫透视轴。这样上面两定理也可以叙述成:
一对对应三点形(三线形)具有透视中心的充要条件是具有透视轴。
笛沙格定理的图形包含10个点,10条直线,其中有些点是容许重合的,它们成为笛沙格定理的特情形。一般情况下,每条直线上有三点,过每点有三条直线,这个图形叫作笛沙格构形。从这个构形中可以形成多对成透视的三点形。可以证明此图形中的10个点中的每一个都可作为某些点构成的三点形的透视中心。例如: 是三点形 与 的透视中心,相应的透视轴是 所在直线。
正逆定理的应用情况
定理1 设 是三角形 所在平面上的两点, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 ,则 交于一点 。
设 与 相交于 ,等等,则三角形 同样明顯地成透视。而且可以证明 与 成透视,这三个透视中心共线。
定理2 设三个三角形有公共的透视中心,则它们的三条透视轴共点。
设三角形为 则 为共点的直线。我们将三角形的边用与所对顶点相同的小写字母表示。考虑边为 与 的三角形。它们的对应边相交于共线点 ,所以对应顶点的连线共点。但连结 的交点与 的交点的直线,是 与 的透视轴,等等。所以这三条轴共点。
二、正定理的应用
例1 如图3 设点 是不在三点形 三边上的点, 。则三点形 与 关于 成透视。
证:由笛沙格定理,它们的对应边交点 共线。
图3
运用到欧氏几何, 可以是三角形 的重心,垂心或外心等。它有一些有趣的特例:
如果 与 平行,那么另外两队边的交点 的连线也与它们平行,如果 与 平行, 与 平行,则 与 也平行。
例2 证明欧氏平面上三角形的重心,垂心与外心共线,所在直线叫三角形的 线。
证:如图4 设欧氏平面上三角形 的重心,垂心与外心分别是 ; 分别是三边 的中点。三点形 与 的对应边都平行,在拓广平面上它们的交点共线。由笛沙格定理,它们的对应顶点连线 交于一点,即三角形 的重心,垂心与外心共线。
图4
例3 在欧氏平面上, 的高线为 ,另外, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 。求证:三点 共线。并将此问题推广。
证:如图5 中三高线 共点 ,以 为透视心,由 和 ,根据笛沙格定理必有透视轴,即对应边 和 交于 , 与 交于 , 和 交于 。则三点 共线。
图5
此问题的推广:在 内, 三直线共点(不一定是高线),又 和 交于 , 和 交于 , 和 交于 。求证: 共线。
三、逆定理的应用
例1 设 为三条定直线, 为二定点,点 为 上的动点,且直线 分别与 交于点 。求证: 通过 上一个定点。
证:如图6 利用笛沙格定理在 上另取一点 ,按题意作出 。考察三点形 与 ,因为其具有透视中心 ,故其对应边的交点 三点共线,即 共点于 ,换句话说, 过 上的定点 。
图6
例2 设 是完全四点形 的对边三点形, 分别交 于 。求证: 共点。
证:考察三点形 与 ,
而 是共线的,由笛沙格逆定理可知 共点。
图7
例3 设 的顶点 分别在共点的三直线 上移动,且直线 和 分别通过定点 和 ,求证: 也通过 上一个定点。
证:如图8 设 是满足条件的另一个三角形, 和 中,由于对应点连线 共点 ,由笛沙格定理可知对应边交点 共线,即 与 的交点 必在 直线上,则 为定点。
图8
四、正逆定理的共同应用
例 设直线 交 三边 于 ,如果直线 两两相交成一三角形 ,求证: 共点。
证:如图9 利用笛沙格定理及逆定理。选三点形 和 ,因为 ,且 共线 ,所以此两个三点形之对应顶点连线 三线共点。
图9
参考文献:
[1] 近代欧氏几何学 [美] 约翰逊 上海教育出版社
[2] 高等几何 周兴和 科学出版社
[3] 高等几何 周建伟 高等教育出版社