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【摘要】为了减少曲线表示的存储量，实现高低阶曲线数据传递的有效性，应用Bézier曲线的基本性质，基于遗传算法，提出了Bézier曲线降阶算法，实现了Bézier曲线的一次降多阶，降阶后的曲线直接以显式给出，操作简单，直观性强。
【关键词】Bézier曲线；降阶；遗传算法
1.引言
参数曲线曲面在许多造型系统中都有重要的应用，不同的造型系统中多项式基的次数是不同的，如果在系统间进行数据传递[1]，就需要将参数曲线曲面的阶数统一起来。由于高阶曲线可以精确的表示低阶曲线，一般来讲，低阶曲线却不能精确表示高阶曲线，近年来，参数曲线曲面的降阶问题引起了国内外许多学者的兴趣。同时，降阶曲线可以减少数据的存储量，提高了造型系统的效率。此外，降阶处理也应用在曲线的光顺处理过程中[2]。
Bézier曲线由于本身具有的良好的性质，被广泛应用于计算机辅助设计和制造，国内外许多学者研究了Bézier曲线的降阶问题[3-6]。Hoschek[3]首先对原曲线进行离散，然后利用原曲线的几何信息，通过多段低阶曲线来插值逼近原曲线；Worsey[4]，Lachance[5]及Eck[6]利用Chebyshev多项式理论，对降阶进行了研究；胡事民[7]提出了B网扰动和约束优化的方法等。这些方法只进行了一次降阶，如需多次降阶，则要循环运用算法，这样一方面是计算繁琐耗时大，另一方面是误差有可能会很大。2002年陈国栋和王國瑾[8]给出了带端点插值条件的Bézier曲线一次降多阶逼近方法；郑建民和汪国昭[9]着眼于几何逼近技术，对原曲线控制顶点作最小扰动来得到约束降多阶曲线。这些研究或者计算繁琐，或者没有很好的误差估计，逼近精度未必最佳，或者没有降阶后曲线的显式表示。本文在上述研究的基础上，应用遗传算法的性质特点，与Bézier曲线降阶相结合，运用matlab工具箱实现了多次降阶。
2.问题描述
6.结论
基于遗传算法，根据Bézier曲线的基本性质，实现了Bézier曲线保端点的多次降阶，实验表明，降阶效果好，直观性强。
参考文献
[1]DANNEBERG,L,NOWACKI,H.Approximate conversion of surface representations with polynomial bases[J].Computer-Aided Geometric Design,1985,2(2):123-132.
[2]FARIN,G.Degree reduction fairing of cubic B-Spline curves[J].In：Barnhill,R,E,ed.Geometry Processing for Desiging and Manufactur-ing.Philadelphia:SIAM,1992.87-99.
[3]HOSCHEK,J.Approximation of spline curves[J].Computer-Aided Geometric Design,1987,4(1):59-66.
[4]WATKINS,M,WORSEY,A.Degree reduction for Bézier curves[J].Computer-Aided Design,1988,20(7):398-405.
[5]LACHANCE,M A.Chebyshev economization for parametric surfaces[J].Computer-Aided Geometric Design,1988,5(3):195-208.
[6]ECK,M,A.Degree reduction of Bézier curves[J].Computer-Geometric Design,1993,10(4):237-257.
[7]HU SM,SUN JG,JIN TG,WANG GZ.Approximate degree reduction of Bézier curves[J].Tsinghua Science and Technology,1998,3(2):997-1000.
[8]GUO-DONG CHEN,GUO-JIN WANG.Optimal multi-degree reduction of Bézier curves with constrains of endpoints continuity[J].Computer Aided Geometric Design 19(2002):365-377.
[9]Zheng J M,Wang G-Z,Perturbing Bézier coefficients for best constrained degree reduction[J].Graphical Models,2003,65(6):351-368.
作者简介：
于世亮，硕士，主要研究方向：智能信息处理理论与技术，计算机图形学。
白宝刚，博士，教授，主要研究方向：CAGD，CAD，计算机动画等。
【关键词】Bézier曲线；降阶；遗传算法
1.引言
参数曲线曲面在许多造型系统中都有重要的应用，不同的造型系统中多项式基的次数是不同的，如果在系统间进行数据传递[1]，就需要将参数曲线曲面的阶数统一起来。由于高阶曲线可以精确的表示低阶曲线，一般来讲，低阶曲线却不能精确表示高阶曲线，近年来，参数曲线曲面的降阶问题引起了国内外许多学者的兴趣。同时，降阶曲线可以减少数据的存储量，提高了造型系统的效率。此外，降阶处理也应用在曲线的光顺处理过程中[2]。
Bézier曲线由于本身具有的良好的性质，被广泛应用于计算机辅助设计和制造，国内外许多学者研究了Bézier曲线的降阶问题[3-6]。Hoschek[3]首先对原曲线进行离散，然后利用原曲线的几何信息，通过多段低阶曲线来插值逼近原曲线；Worsey[4]，Lachance[5]及Eck[6]利用Chebyshev多项式理论，对降阶进行了研究；胡事民[7]提出了B网扰动和约束优化的方法等。这些方法只进行了一次降阶，如需多次降阶，则要循环运用算法，这样一方面是计算繁琐耗时大，另一方面是误差有可能会很大。2002年陈国栋和王國瑾[8]给出了带端点插值条件的Bézier曲线一次降多阶逼近方法；郑建民和汪国昭[9]着眼于几何逼近技术，对原曲线控制顶点作最小扰动来得到约束降多阶曲线。这些研究或者计算繁琐，或者没有很好的误差估计，逼近精度未必最佳，或者没有降阶后曲线的显式表示。本文在上述研究的基础上，应用遗传算法的性质特点，与Bézier曲线降阶相结合，运用matlab工具箱实现了多次降阶。
2.问题描述
6.结论
基于遗传算法，根据Bézier曲线的基本性质，实现了Bézier曲线保端点的多次降阶，实验表明，降阶效果好，直观性强。
参考文献
[1]DANNEBERG,L,NOWACKI,H.Approximate conversion of surface representations with polynomial bases[J].Computer-Aided Geometric Design,1985,2(2):123-132.
[2]FARIN,G.Degree reduction fairing of cubic B-Spline curves[J].In：Barnhill,R,E,ed.Geometry Processing for Desiging and Manufactur-ing.Philadelphia:SIAM,1992.87-99.
[3]HOSCHEK,J.Approximation of spline curves[J].Computer-Aided Geometric Design,1987,4(1):59-66.
[4]WATKINS,M,WORSEY,A.Degree reduction for Bézier curves[J].Computer-Aided Design,1988,20(7):398-405.
[5]LACHANCE,M A.Chebyshev economization for parametric surfaces[J].Computer-Aided Geometric Design,1988,5(3):195-208.
[6]ECK,M,A.Degree reduction of Bézier curves[J].Computer-Geometric Design,1993,10(4):237-257.
[7]HU SM,SUN JG,JIN TG,WANG GZ.Approximate degree reduction of Bézier curves[J].Tsinghua Science and Technology,1998,3(2):997-1000.
[8]GUO-DONG CHEN,GUO-JIN WANG.Optimal multi-degree reduction of Bézier curves with constrains of endpoints continuity[J].Computer Aided Geometric Design 19(2002):365-377.
[9]Zheng J M,Wang G-Z,Perturbing Bézier coefficients for best constrained degree reduction[J].Graphical Models,2003,65(6):351-368.
作者简介：
于世亮，硕士，主要研究方向：智能信息处理理论与技术，计算机图形学。
白宝刚，博士，教授，主要研究方向：CAGD，CAD，计算机动画等。