论文部分内容阅读
立体几何是高中数学的重要内容,是高考中重点考查的内容之一,重点考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合。下面结合08、09年高考试题谈谈立体几何中的考点分析及解题策略。
考点一:柱、锥、台、球及其简单组合体
【典型考题1】(2008浙江卷)已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于 。
【考点定位】考查三棱锥与球的组合体,求球的体积
【解析】由题意知,该三棱锥可以补形为正方体,则该正方体内接于球,此时球的直径就是正方体的对角线长为3•3=3,从而球的体积为43π(32)3=9π2。
【解题策略】当三棱锥与球组合时,考虑能否将三棱锥放置于长方体或正方体中,通过长方体或正方体内接于球,抓住长方体或正方体的对角线长就是球的半径,从而得到球的体积或表面积。
考点二:点、线、面的位置关系的判定与证明
【典型考题2】(2009江苏卷)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直。
上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号).
【考点定位】考查立体几何中的直线、平面的平行与垂直判定的相关定理。
【解析】(1)考查面面平行的判定定理;(2)考查线面平行的判定定理;(3)考查面面垂直的判定定理,这里缺少条件直线l垂直于β;(4)考查线面垂直的判定定理,此定理中“平面内的两条相交直线”不可缺少。所以真命题的序号是(1)、(2)。
【解题策略】线、面平行和垂直的八条定理必须牢记。记忆这些定理时,可以借助于图形进行记忆,这样定理中有几个条件和定理中的关键条件就会记得长久。
【典型考题3】(2009江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C。
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1ED⊥平面BB1C1C.
【考点定位】考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。
【解析】(1)\ 证明:因为E,F分别是A1B,A1C的中点,所以EF//BC,又EF面ABC,BC面ABC,所以EF∥平面ABC
\ 证明:取AA1的中点M,连结EM,FM,因为M,E分别是AA1,A1B的中点,所以ME//AB,又ME面ABC,AB面ABC,所以ME//面ABC,同理可证,MF//面ABC,又ME∩MF=M,ME,MF面MEF,所以面MEF//面ABC,又EF面MEF,所以EF∥平面ABC
(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以BB1⊥面A1B1C1,又A1D面A1B1C1,所以BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,且BB1∩B1C=B1,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。
【解题策略】证明线、面位置关系时,要注意正确运用线面、面面平行和垂直的判断定理、性质定理,定理中的每一个条件都不可缺少。要证明线面平行时,思路有二:(1)先证已知直线和平面内的一条直线平行(即运用线面平行的判定定理),(2)先证过已知直线的平面和已知平面平行(即运用面面平行的判定定理和定义);要证明线面垂直时,思路有二:(1)先证直线和平面内的两条相交直线垂直(即运用线面垂直的判定定理),(2)先证过直线的平面和已知平面垂直(即运用面面垂直的性质定理)。
考点三:(理科)空间向量与立体几何
对于空间中的角和距离,在教学要求中明确指出:关于度量计算,只要求用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算,而不要求学生去解决有关距离的计算等问题。
【典型考题4】(2009宁夏海南卷理)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点。
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
【解析】(Ⅰ)连BD,设AC交于BD,由题意知SO⊥面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O-xyz如图。
设底面边长为a,则高SO=6aa,于是S(0,0,62a),D(-22a,0,0),C(0,22a,0),B(22a,0,0),OC=(0,22a,0),SD=(-22a,0,-62a),OC•SD=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD。
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量DS=(22a,0,62a),平面的一个法向量OS=(0,0,62a),设所求二面角为,则cosθ=OS•DS|OS||DS|=32,所求二面角的大小为30°。
(Ⅲ)在棱上存在一点,使.由(Ⅱ)知DS是平面的一个法向量,且DS=(22a,0,62a),CS=(0,-22a,62a),设CE=tCS,则
BE=BC+CE=BC+tCS=(-22a,22a(1-t),62at),而BE•DS=0t=13,即当时,BE⊥DS,而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC。
【解题策略】(1)运用空间向量的方法求二面角,关键是求平面的法向量。(2)用向量方法求异面直线所成的角α时,要注意向量的夹角θ的范围和异面直线所成的角α的范围的区别,切不可把求出的向量的夹角当做异面直线所成的角,它们应该满足关系式:cosα=|cosθ|。(3)用向量方法求直线与平面所成的角α时,先求出平面的法向量,再求出向量的夹角θ,最后利用两个角的关系:sinα=|cosθ|,就可求出直线与平面所成的角α。
总的来说,立体几何作为高中数学的一大重点内容,要想能够熟练掌握它,必须要有扎实的基础知识和空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。对于证明线、面平行与垂直的问题,是高考重点考查的内容,解决这类问题时,可以采用假设欲证的结论成立,“倒着”分析的方法,往往能够帮助我们迅速找到解题思路.纵观近两年立体几何的高考试题,重点考查基础,我们只有准确掌握这些考点和解题策略,答题时注意解题规范、条件齐全、论证严密,相信大家在高考中会成为真正“出色的解题者”。
考点一:柱、锥、台、球及其简单组合体
【典型考题1】(2008浙江卷)已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于 。
【考点定位】考查三棱锥与球的组合体,求球的体积
【解析】由题意知,该三棱锥可以补形为正方体,则该正方体内接于球,此时球的直径就是正方体的对角线长为3•3=3,从而球的体积为43π(32)3=9π2。
【解题策略】当三棱锥与球组合时,考虑能否将三棱锥放置于长方体或正方体中,通过长方体或正方体内接于球,抓住长方体或正方体的对角线长就是球的半径,从而得到球的体积或表面积。
考点二:点、线、面的位置关系的判定与证明
【典型考题2】(2009江苏卷)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直。
上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号).
【考点定位】考查立体几何中的直线、平面的平行与垂直判定的相关定理。
【解析】(1)考查面面平行的判定定理;(2)考查线面平行的判定定理;(3)考查面面垂直的判定定理,这里缺少条件直线l垂直于β;(4)考查线面垂直的判定定理,此定理中“平面内的两条相交直线”不可缺少。所以真命题的序号是(1)、(2)。
【解题策略】线、面平行和垂直的八条定理必须牢记。记忆这些定理时,可以借助于图形进行记忆,这样定理中有几个条件和定理中的关键条件就会记得长久。
【典型考题3】(2009江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C。
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1ED⊥平面BB1C1C.
【考点定位】考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。
【解析】(1)\ 证明:因为E,F分别是A1B,A1C的中点,所以EF//BC,又EF面ABC,BC面ABC,所以EF∥平面ABC
\ 证明:取AA1的中点M,连结EM,FM,因为M,E分别是AA1,A1B的中点,所以ME//AB,又ME面ABC,AB面ABC,所以ME//面ABC,同理可证,MF//面ABC,又ME∩MF=M,ME,MF面MEF,所以面MEF//面ABC,又EF面MEF,所以EF∥平面ABC
(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以BB1⊥面A1B1C1,又A1D面A1B1C1,所以BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,且BB1∩B1C=B1,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。
【解题策略】证明线、面位置关系时,要注意正确运用线面、面面平行和垂直的判断定理、性质定理,定理中的每一个条件都不可缺少。要证明线面平行时,思路有二:(1)先证已知直线和平面内的一条直线平行(即运用线面平行的判定定理),(2)先证过已知直线的平面和已知平面平行(即运用面面平行的判定定理和定义);要证明线面垂直时,思路有二:(1)先证直线和平面内的两条相交直线垂直(即运用线面垂直的判定定理),(2)先证过直线的平面和已知平面垂直(即运用面面垂直的性质定理)。
考点三:(理科)空间向量与立体几何
对于空间中的角和距离,在教学要求中明确指出:关于度量计算,只要求用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算,而不要求学生去解决有关距离的计算等问题。
【典型考题4】(2009宁夏海南卷理)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点。
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
【解析】(Ⅰ)连BD,设AC交于BD,由题意知SO⊥面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O-xyz如图。
设底面边长为a,则高SO=6aa,于是S(0,0,62a),D(-22a,0,0),C(0,22a,0),B(22a,0,0),OC=(0,22a,0),SD=(-22a,0,-62a),OC•SD=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD。
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量DS=(22a,0,62a),平面的一个法向量OS=(0,0,62a),设所求二面角为,则cosθ=OS•DS|OS||DS|=32,所求二面角的大小为30°。
(Ⅲ)在棱上存在一点,使.由(Ⅱ)知DS是平面的一个法向量,且DS=(22a,0,62a),CS=(0,-22a,62a),设CE=tCS,则
BE=BC+CE=BC+tCS=(-22a,22a(1-t),62at),而BE•DS=0t=13,即当时,BE⊥DS,而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC。
【解题策略】(1)运用空间向量的方法求二面角,关键是求平面的法向量。(2)用向量方法求异面直线所成的角α时,要注意向量的夹角θ的范围和异面直线所成的角α的范围的区别,切不可把求出的向量的夹角当做异面直线所成的角,它们应该满足关系式:cosα=|cosθ|。(3)用向量方法求直线与平面所成的角α时,先求出平面的法向量,再求出向量的夹角θ,最后利用两个角的关系:sinα=|cosθ|,就可求出直线与平面所成的角α。
总的来说,立体几何作为高中数学的一大重点内容,要想能够熟练掌握它,必须要有扎实的基础知识和空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。对于证明线、面平行与垂直的问题,是高考重点考查的内容,解决这类问题时,可以采用假设欲证的结论成立,“倒着”分析的方法,往往能够帮助我们迅速找到解题思路.纵观近两年立体几何的高考试题,重点考查基础,我们只有准确掌握这些考点和解题策略,答题时注意解题规范、条件齐全、论证严密,相信大家在高考中会成为真正“出色的解题者”。