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一、填空题
1.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,4,7,10,13},则A∩CNB= .
2.已知集合A={x|x<2},B={x|2x>1},则A∩B= .
3.若函数y=(x-2)(x+a)是偶函数,则a= .
4.函数f(x)=1x2lg\x2-5x+4+-x2+2x+3\〗的定义域是 .
5.函数f(x)=x13-sinx+2,(x∈R).若f(k)=-3,则f(-k)= .
6.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于 .
7.已知f(1-x1+x)=1-x21+x2,则f(x)的解析式为 .
8.若x∈(12,1),a=log2x,b=2log2x,c=log22x,则a,b,c的大小关系是 .
9.已知函数f(x)=12log3(9-x),(x≤1)f(x-1)-f(x-2),(x>1)则f(3)= .
10.已知函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0和x=3对称,且x∈\时,f(x)=x13,
则f(-478)= .
11.已知函数f(x)=-x+1,(x<0)x-1,(x≥0),则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是 .
12.函数y=|logax|的定义域为\,值域为\,则区间\的长度b-a的最小值为 .
13.已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=3,则f(2010)的值为 .
14.若函数y=|x2+2x+t|在区间\上最大值是4,则t等于 .
二、解答题
15.已知函数f(x)=x+ax2+(b-1)x+3是奇函数. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.
16.已知函数f(x)=x2-kx(x≠0,常数k∈R).(1)讨论f(x)的奇偶性; (2)若f(x)在x∈\已知函数f(x)=-22x-a+1. (1)求证:f(x)的图像关于点M(a,-1)对称;(2)若f(x)≥-2x在
18.设函数f(x)=loga(1-ax),(01.
19.两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧︵AB上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在︵AB的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧︵AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
20.设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.
(1)若a=1, 求b的值,并求f(x)的单调区间; (2)若a>0,求b的取值范围.
参考答案
1.{2,6,8}
2.{x|0 3.2
4.\
5.7
6.1
7.f(x)=2x1+x2
8.b 9.-1
10.f(-478)=f(478)=f(3+238)=f(3-238)=f(18)=12
11.x+1<0x+(x+1)\或x+1≥0x+(x+1)\≤1
x<-1-x2≤1或x≥-1x2+2x-1≤0x<-1或x≥-1-1-2≤x≤-1+2
x<-1或-1≤x≤-1+2x≤2-1.
12.34.观察y=|logax|的图像, 值域为\时,b-a≥4-1=3或1>b-a≥1-14=34.
13.g(x)=f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1),故f(x)=-f(x+2),f(x)=f(x+4)
f(2010)=f(2)=3
14. 函数值可能在x=-1或x=1时取到最大值.
当x=-1时,y=|t-1|=4t=5,-3.若t=5,y=(x+1)2+4ymax=5(舍),
若t=-3,y=|x2+2x-3|=|(x+1)2-4|ymax=4,(x=-1).
当x=1时,y=|t+3|=4t=1或t=-7. 若t=1,y=(x+1)2ymax=4,(x=1)
若t=-7,y=|x2+2x-7|=|(x+1)2-8|ymax=8,(x=-1)(舍)
综上, t=-3或t=1.
二、解答题
15.(1)f(0)=0a=0,f(-x)=-f(x)-xx2-(b-1)x+3=-xx2+(b-1)x+3,
于是-(b-1)=b-1,b=1.
(2)f(x)=xx2+3在\3,3\〗上增, 在(-∞,-3),(3,+∞)上减.以下给出证明.
当-3≤x1 =x1x2(x2-x1)+3(x1-x2)(x21+3)(x22+3)=(x2-x1)(x1x2-3)(x21+3)(x22+3)<0,可见f(x)增; 同理,f(x)在(-∞,-3),(3,+∞)上减
16.(1)①若k=0,则f(x)=x2,(x≠0)是偶函数;
②若k≠0,则f(-x)=x2+kx≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.
(2)设1≤x1≤x2,因为f(x)在x∈\f(x1)-f(x2)=(x21-kx)-(x22-kx2)=(x21-x22)-(kx1-kx2)=(x1-x2)(x1+x2+kx1x2)<0恒成立,于是k>-x1x2(x1+x2)恒成立,故k≥-2.
17.(1)设P(x,y)是f(x)图像上任意一点,则y=-22x-a+1,因为N(2a-x,-2-y)和P(x,y)关于点
M(a,-1)对称,且-2-y=-2+22x-a+1=-2•2x-a2x-a+1=-21+2-(x-a)=-22(2a-x)-a+1,所以点N也在函数f(x)的图像上. 因此f(x)的图像关于点M(a,-1)对称.
18.(1)设a
=a(x1-x2)<0,所以00,从而f(x1)>f(x2),f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)因为01loga(1-ax)>11-ax>01-axa或x<00 又0 19. (1)如图,由题意知AC⊥BC,BC2=400-x2,y=4x2+k400-x2(0 其中当x=102时,y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为y=4x2+9400-x2(0<x<20)
设m=x2,n=400-x2则m+n=400,y=4m+9n,
所以y=4m+9n=(4m+9n)m+n400=1400\4nm+9mn)\〗≥1400(13+12)=116当且仅当4nm=9mn即n=240m=160时取”=”.
下面证明函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设0 =(4m1-4m2)+(9400-m1-9400-m2)=4(m2-m1)m1m2+9(m1-m2)(400-m1)(400-m2)
=(m2-m1)\4m1m2-9(400-m1)(400-m2)\〗=(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2),
因为04×240×240
9m1m2<9×160×160所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0,
所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0即y1>y2函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数.
同理,函数y=4m+9400-m在(160,400)上为增函数,设160 y1-y2=4m1+9400-m1-(4m2+9400-m2)=(m2-m1)
4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)
因为16009×160×160
所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0,
所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0即y1 所以当m=160即x=410时取”=”,函数y有最小值,
所以弧︵AB上存在一点,当x=410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
20.(1)f′(x)=3ax2+2bx-3a2
当a=1时,f′(x)=3x2+2bx-3,由题意得|x1-x2|=4b2+363=2b=0.
从而f′(x)=3x2-3f(x)在(-1,1)上减,在(-∞,-1),(1,+∞)增.
(2)f′(x)=3ax2+2bx-3a2=0|x1-x2|=4b2+36a23a=2b2=9a2(1-a)
依上式及已知条件得0 故g(a)在(0,23)上增,在(23,1)减,于是g(x)max=g(23)=43•g(x)min=g(1)=0.
于是0≤b2≤43-233≤b≤233
1.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,4,7,10,13},则A∩CNB= .
2.已知集合A={x|x<2},B={x|2x>1},则A∩B= .
3.若函数y=(x-2)(x+a)是偶函数,则a= .
4.函数f(x)=1x2lg\x2-5x+4+-x2+2x+3\〗的定义域是 .
5.函数f(x)=x13-sinx+2,(x∈R).若f(k)=-3,则f(-k)= .
6.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于 .
7.已知f(1-x1+x)=1-x21+x2,则f(x)的解析式为 .
8.若x∈(12,1),a=log2x,b=2log2x,c=log22x,则a,b,c的大小关系是 .
9.已知函数f(x)=12log3(9-x),(x≤1)f(x-1)-f(x-2),(x>1)则f(3)= .
10.已知函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0和x=3对称,且x∈\时,f(x)=x13,
则f(-478)= .
11.已知函数f(x)=-x+1,(x<0)x-1,(x≥0),则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是 .
12.函数y=|logax|的定义域为\,值域为\,则区间\的长度b-a的最小值为 .
13.已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=3,则f(2010)的值为 .
14.若函数y=|x2+2x+t|在区间\上最大值是4,则t等于 .
二、解答题
15.已知函数f(x)=x+ax2+(b-1)x+3是奇函数. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.
16.已知函数f(x)=x2-kx(x≠0,常数k∈R).(1)讨论f(x)的奇偶性; (2)若f(x)在x∈\已知函数f(x)=-22x-a+1. (1)求证:f(x)的图像关于点M(a,-1)对称;(2)若f(x)≥-2x在
18.设函数f(x)=loga(1-ax),(0
19.两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧︵AB上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在︵AB的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧︵AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
20.设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.
(1)若a=1, 求b的值,并求f(x)的单调区间; (2)若a>0,求b的取值范围.
参考答案
1.{2,6,8}
2.{x|0
4.\
5.7
6.1
7.f(x)=2x1+x2
8.b
10.f(-478)=f(478)=f(3+238)=f(3-238)=f(18)=12
11.x+1<0x+(x+1)\或x+1≥0x+(x+1)\≤1
x<-1-x2≤1或x≥-1x2+2x-1≤0x<-1或x≥-1-1-2≤x≤-1+2
x<-1或-1≤x≤-1+2x≤2-1.
12.34.观察y=|logax|的图像, 值域为\时,b-a≥4-1=3或1>b-a≥1-14=34.
13.g(x)=f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1),故f(x)=-f(x+2),f(x)=f(x+4)
f(2010)=f(2)=3
14. 函数值可能在x=-1或x=1时取到最大值.
当x=-1时,y=|t-1|=4t=5,-3.若t=5,y=(x+1)2+4ymax=5(舍),
若t=-3,y=|x2+2x-3|=|(x+1)2-4|ymax=4,(x=-1).
当x=1时,y=|t+3|=4t=1或t=-7. 若t=1,y=(x+1)2ymax=4,(x=1)
若t=-7,y=|x2+2x-7|=|(x+1)2-8|ymax=8,(x=-1)(舍)
综上, t=-3或t=1.
二、解答题
15.(1)f(0)=0a=0,f(-x)=-f(x)-xx2-(b-1)x+3=-xx2+(b-1)x+3,
于是-(b-1)=b-1,b=1.
(2)f(x)=xx2+3在\3,3\〗上增, 在(-∞,-3),(3,+∞)上减.以下给出证明.
当-3≤x1
16.(1)①若k=0,则f(x)=x2,(x≠0)是偶函数;
②若k≠0,则f(-x)=x2+kx≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.
(2)设1≤x1≤x2,因为f(x)在x∈\f(x1)-f(x2)=(x21-kx)-(x22-kx2)=(x21-x22)-(kx1-kx2)=(x1-x2)(x1+x2+kx1x2)<0恒成立,于是k>-x1x2(x1+x2)恒成立,故k≥-2.
17.(1)设P(x,y)是f(x)图像上任意一点,则y=-22x-a+1,因为N(2a-x,-2-y)和P(x,y)关于点
M(a,-1)对称,且-2-y=-2+22x-a+1=-2•2x-a2x-a+1=-21+2-(x-a)=-22(2a-x)-a+1,所以点N也在函数f(x)的图像上. 因此f(x)的图像关于点M(a,-1)对称.
18.(1)设a
(2)因为0
所以y表示成x的函数为y=4x2+9400-x2(0<x<20)
设m=x2,n=400-x2则m+n=400,y=4m+9n,
所以y=4m+9n=(4m+9n)m+n400=1400\4nm+9mn)\〗≥1400(13+12)=116当且仅当4nm=9mn即n=240m=160时取”=”.
下面证明函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设0
=(m2-m1)\4m1m2-9(400-m1)(400-m2)\〗=(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2),
因为0
9m1m2<9×160×160所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0,
所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0即y1>y2函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数.
同理,函数y=4m+9400-m在(160,400)上为增函数,设160
4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)
因为1600
所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0,
所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0即y1
所以弧︵AB上存在一点,当x=410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
20.(1)f′(x)=3ax2+2bx-3a2
当a=1时,f′(x)=3x2+2bx-3,由题意得|x1-x2|=4b2+363=2b=0.
从而f′(x)=3x2-3f(x)在(-1,1)上减,在(-∞,-1),(1,+∞)增.
(2)f′(x)=3ax2+2bx-3a2=0|x1-x2|=4b2+36a23a=2b2=9a2(1-a)
依上式及已知条件得0
于是0≤b2≤43-233≤b≤233