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2015年上海高考数学题试图克服遇到题目就模式化的弊病,试题中既要求数学的双基运用能力又增强了一定的思维量.试图鼓励学生要有想法,要敢于尝试,可以说较之以往的考题有所创新和突破.
本文例举几道题,对考题进行一定的分析与理解.
一、关注分析与联想
题1 (理科卷第13题)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1 .
分析 题目中求m的最小值,对应着图像上的点Ai最少,作出函数y=sinx,x∈[0,6π]的图像,图像从左到右的最高点和最低点依次为A1,A2,…,A6.如此可以设想使|f(xi-1)-f(xi)|(i∈N*)越大越好,它的极值是|f(xi-1)-f(xi)|=2.
有了这一想法,看似要讨论判断的复杂问题就转化为简单的问题.
继续探究,|yA1-yA2|=2,|yA2-yA3|=2,…,|yA5-yA6|=2,
此时m=6,|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10,
观察图形,结合点O和点(6π,0)的位置,容易得出m的最小值为8.
其实,事物的发展变化是相辅相成的,如果善于观察和分析,那么就会从求m的最小值联想到|sinx|的最大值为1,进一步达成问题的解决.
二、较强的双基运用能力
题2 (理科卷第14题)在锐角三角形ABC中,tanA=12,D为边BC上的点,△ABD与△ACD的面积分别为2和4.过D做DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则DE·DF= 解析 由已知,S△ABD=12AB·DE=2,DE=4AB;同理,DF=8AC.
则DE·DF=-DE·DFcosA=-32cosAAB·AC
①
到这里,似乎感觉无路可走了,但是如果双基比较扎实的话,会注意到已知条件和分母的特点,再一次联想到△ABC的面积,即:12AB·ACsinA=6,则有:
AB·AC=12sinA
②
将②代入①有DE·DF=-43sin2A,因为tanA=12,易得结果为-1615.
此题虽然为填空题,却需要一步一步探究下去.而要求解出正确结果,必须有较强的数学双基的运用能力.
三、不拘一格,努力创新
题3 (理科第18题)设Pn(xn,yn)是直线2x-y=nn+1(n∈N*)与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限limn→∞yn-1xn-1=( ).
A.-1 B.-12 C. 1 D. 2
解析 题目要求是求两曲线交点坐标构成的极限.
依照常规解法,联立方程组2x-y=nn+1
x2+y2=2,得出交点坐标xn=f(n)
yn=g(n),再代入表达式求极限.然而这样容易想的思路却很难通过初等运算得出结果,前景不明.
不妨改变一下思路,先对n取一些特殊值,来观察直线系与圆的位置关系.
当n=1时,l1;2x-y=12;当n=2时,l2∶2x-y=23;…….
易知随着n的逐渐增大,这组平行的直线系依序向下平移.
当n→∞时,nn+1→1,且有xn-1<0,yn-1>0.
从而当n→∞时,ln→l∶2x-y=1
则可得出:
limn→∞yn-1xn-1=-1.
故选A.
通过此题的分析,我们不难发现,在解决问题的过程中,关注了从特殊到一般以及数形结合的思想方法,充分体现了思维的深刻性.要能够从运动的角度出发,观察由数到形的变化所引起的质的改变.在这里,创新是有原则的,也有综合运用各种工具条件的创新.本题视为改变思路利用极限思想解决问题的一种方法,很好的考察了学生的数学思辨能力.
四、变“不知”为“可知”,总在探究中完成
题4 (文科第22题(3))已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S.
(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=12|x1y2-x2y1|;
(2)设l1∶y=kx,C(33,33),S=13,求k的值;
(3)设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变.
解析 (1)、(2)略.对于问题(3),根据中学数学要求,首先要建立函数关系式S=f(m),再讨论m为何值时,S为定值.
利用(1)的结论S=12|x1y2-x2y1|,l1∶y=y1x1x,l2∶y=y2x2x,
由此得出
y1y2=mx1x2
①
那么如何建立S与m的联系呢?
A,C在椭圆上得:x21+2y21=1
x22+2y22=1,进而得出:
x21x22+4y21y22+2x21y22+2x22y21=1
结合①变形:
x21y22+x22y21=1-x21x22-4y21y222
=1-x21x22-4m2x21x222=1-(1+4m2)x21x222
②
又S2=14(x21y22+x22y21-2x1x2y1y2)
③
将①②代入③整理得:
S2=18[1-(1+2m)2x21x22] ④
要想让S2恒为定值,只需要1+2m=0,即m=-12时,S为定值24.
这里我们看到,当结果化成④的形式的时候,尽管除了m仍然含有两个字母x1,x2,但是却不会影响到最后结果的得出,所以这样的大胆探究就达成了将“不知”化为“可知”的目的,问题也就迎刃而解了.
五、有想法,再探究
题5 (文科卷第23题)已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn),n∈N*.
(Ⅰ)若bn=3n+5,且a1=1,求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{an}的第n0项是最大项,即an0≥an(n∈N*),求证:{bn}的第n0项是最大项;
(Ⅲ)设a1=3λ<0,bn=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,an≠0,且aman∈(16,6).
解析 (Ⅰ)、(Ⅱ)略.对于(Ⅲ):
(1)很容易求出an=2λn+λ
(2)下面的想法是:对任意m,n∈N*,如何解决?
如果{an}中有最大值ai,或有最小值aj,或有limn→∞an=a,那么就有可能an∈[aj,ai]或an∈[aj,a]或an∈[a,ai],如此就可以变无限为有限来探究问题.
(3)y=λn属于指数范畴,由a1=3λ<0
aman∈(16,6)可得a2=2λ2+λ<0,则-12<λ<0.{an}分奇数列和偶数列讨论探究:
a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ,a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ,
通过图像作进一步观察:
由y=|λ|2k(k=1,2,3…),|λ|<12,函数递减,ymax=λ2.
在y=-|λ|2k-1(k=1,2,3,…)中,|λ|<12,函数递增,ymin=-|λ|,
所以{an}中最大值为a2=2λ2+λ<0,最小值a1=3λ<0.
(4)进一步探究,am,an必须满足下式:0 (5)建立关系a2a1>16
a1a2<6
-12<λ<0,
即2λ2+λ3λ>16
3λ2λ2+λ<6
-12<λ<0,
可得:-14<λ<0.
通过这样的探究尝试,能够熟练准确运用双基,求得了当-14<λ<0时对于任意m,n∈N* ,an≠0,都有aman∈(16,6).
通过如上几道题目的解析,深深感觉到,这样的问题设置,促使我们在今后的高中数学教学中进一步要克服“模式化”,积极培养学生敢于尝试的探究精神,提高学生的数学思维品质.
(收稿日期:2015-10-22)=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12
本文例举几道题,对考题进行一定的分析与理解.
一、关注分析与联想
题1 (理科卷第13题)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1
分析 题目中求m的最小值,对应着图像上的点Ai最少,作出函数y=sinx,x∈[0,6π]的图像,图像从左到右的最高点和最低点依次为A1,A2,…,A6.如此可以设想使|f(xi-1)-f(xi)|(i∈N*)越大越好,它的极值是|f(xi-1)-f(xi)|=2.
有了这一想法,看似要讨论判断的复杂问题就转化为简单的问题.
继续探究,|yA1-yA2|=2,|yA2-yA3|=2,…,|yA5-yA6|=2,
此时m=6,|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10,
观察图形,结合点O和点(6π,0)的位置,容易得出m的最小值为8.
其实,事物的发展变化是相辅相成的,如果善于观察和分析,那么就会从求m的最小值联想到|sinx|的最大值为1,进一步达成问题的解决.
二、较强的双基运用能力
题2 (理科卷第14题)在锐角三角形ABC中,tanA=12,D为边BC上的点,△ABD与△ACD的面积分别为2和4.过D做DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则DE·DF=
则DE·DF=-DE·DFcosA=-32cosAAB·AC
①
到这里,似乎感觉无路可走了,但是如果双基比较扎实的话,会注意到已知条件和分母的特点,再一次联想到△ABC的面积,即:12AB·ACsinA=6,则有:
AB·AC=12sinA
②
将②代入①有DE·DF=-43sin2A,因为tanA=12,易得结果为-1615.
此题虽然为填空题,却需要一步一步探究下去.而要求解出正确结果,必须有较强的数学双基的运用能力.
三、不拘一格,努力创新
题3 (理科第18题)设Pn(xn,yn)是直线2x-y=nn+1(n∈N*)与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限limn→∞yn-1xn-1=( ).
A.-1 B.-12 C. 1 D. 2
解析 题目要求是求两曲线交点坐标构成的极限.
依照常规解法,联立方程组2x-y=nn+1
x2+y2=2,得出交点坐标xn=f(n)
yn=g(n),再代入表达式求极限.然而这样容易想的思路却很难通过初等运算得出结果,前景不明.
不妨改变一下思路,先对n取一些特殊值,来观察直线系与圆的位置关系.
当n=1时,l1;2x-y=12;当n=2时,l2∶2x-y=23;…….
易知随着n的逐渐增大,这组平行的直线系依序向下平移.
当n→∞时,nn+1→1,且有xn-1<0,yn-1>0.
从而当n→∞时,ln→l∶2x-y=1
则可得出:
limn→∞yn-1xn-1=-1.
故选A.
通过此题的分析,我们不难发现,在解决问题的过程中,关注了从特殊到一般以及数形结合的思想方法,充分体现了思维的深刻性.要能够从运动的角度出发,观察由数到形的变化所引起的质的改变.在这里,创新是有原则的,也有综合运用各种工具条件的创新.本题视为改变思路利用极限思想解决问题的一种方法,很好的考察了学生的数学思辨能力.
四、变“不知”为“可知”,总在探究中完成
题4 (文科第22题(3))已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S.
(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=12|x1y2-x2y1|;
(2)设l1∶y=kx,C(33,33),S=13,求k的值;
(3)设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变.
解析 (1)、(2)略.对于问题(3),根据中学数学要求,首先要建立函数关系式S=f(m),再讨论m为何值时,S为定值.
利用(1)的结论S=12|x1y2-x2y1|,l1∶y=y1x1x,l2∶y=y2x2x,
由此得出
y1y2=mx1x2
①
那么如何建立S与m的联系呢?
A,C在椭圆上得:x21+2y21=1
x22+2y22=1,进而得出:
x21x22+4y21y22+2x21y22+2x22y21=1
结合①变形:
x21y22+x22y21=1-x21x22-4y21y222
=1-x21x22-4m2x21x222=1-(1+4m2)x21x222
②
又S2=14(x21y22+x22y21-2x1x2y1y2)
③
将①②代入③整理得:
S2=18[1-(1+2m)2x21x22] ④
要想让S2恒为定值,只需要1+2m=0,即m=-12时,S为定值24.
这里我们看到,当结果化成④的形式的时候,尽管除了m仍然含有两个字母x1,x2,但是却不会影响到最后结果的得出,所以这样的大胆探究就达成了将“不知”化为“可知”的目的,问题也就迎刃而解了.
五、有想法,再探究
题5 (文科卷第23题)已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn),n∈N*.
(Ⅰ)若bn=3n+5,且a1=1,求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{an}的第n0项是最大项,即an0≥an(n∈N*),求证:{bn}的第n0项是最大项;
(Ⅲ)设a1=3λ<0,bn=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,an≠0,且aman∈(16,6).
解析 (Ⅰ)、(Ⅱ)略.对于(Ⅲ):
(1)很容易求出an=2λn+λ
(2)下面的想法是:对任意m,n∈N*,如何解决?
如果{an}中有最大值ai,或有最小值aj,或有limn→∞an=a,那么就有可能an∈[aj,ai]或an∈[aj,a]或an∈[a,ai],如此就可以变无限为有限来探究问题.
(3)y=λn属于指数范畴,由a1=3λ<0
aman∈(16,6)可得a2=2λ2+λ<0,则-12<λ<0.{an}分奇数列和偶数列讨论探究:
a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ,a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ,
通过图像作进一步观察:
由y=|λ|2k(k=1,2,3…),|λ|<12,函数递减,ymax=λ2.
在y=-|λ|2k-1(k=1,2,3,…)中,|λ|<12,函数递增,ymin=-|λ|,
所以{an}中最大值为a2=2λ2+λ<0,最小值a1=3λ<0.
(4)进一步探究,am,an必须满足下式:0
a1a2<6
-12<λ<0,
即2λ2+λ3λ>16
3λ2λ2+λ<6
-12<λ<0,
可得:-14<λ<0.
通过这样的探究尝试,能够熟练准确运用双基,求得了当-14<λ<0时对于任意m,n∈N* ,an≠0,都有aman∈(16,6).
通过如上几道题目的解析,深深感觉到,这样的问题设置,促使我们在今后的高中数学教学中进一步要克服“模式化”,积极培养学生敢于尝试的探究精神,提高学生的数学思维品质.
(收稿日期:2015-10-22)=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12