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摘 要：要利用慕课平台的教学资源，对高等数学课程开展SPOC混合式教学，就必须根据高等数学课程特点，探索其讨论课的主体内容和实施保障，制定多维度的综合考核评价体系。文章以“函数的微分”为例，探究基于混合式教学的讨论课在高等数学SPOC中的具体实践操作过程。
关键词：高等数学；混合式教学；讨论课；SPOC；“函数的微分”
中图分类号：G642 文献标识码：A 收稿日期：2018-01-07
基金项目：陕西省高等教育MOOC中心在线课程转化教改研究项目（17MZ24）。
作者简介：李 蕊（1982—），女，讲师，硕士研究生，研究方向：最优化理论与算法。
近几年，在线教育时代的到来催生了不同的在线教育模式，其中，慕课和SPOC作为典型在全球各高等教育机构得以普遍实践。为促进西安工业大学（以下简称“我校”）教学改革，提高数学基础课教学质量，笔者主持参加陕西省高等教育慕课中心的《高等数学》SPOC定制项目，在我校试点班级开展MOOC（SPOC） 翻转课堂的混合教学模式，利用慕课平台的教学资源，实现线上线下相结合的混合式教学。
一、SPOC混合教学模式下高等数学讨论课的意义
在高等数学课程中开展讨论课，教师要挖掘知识背后所承载的能力，探索知识的拓展应用性，设计“以学生为主体，以问题为导向，以知识学习和能力培养为目标”的高质量讨论课。教师要转变教学理念，将自己从传统课堂中的主体，转变成讨论课中的组织者和引导者，学习新的课堂组织管理技巧。讨论课中教师的专业水平和课堂管理能力得到提高，这是对教学相长的最好诠释。
在高等数学课程中开展讨论课，需要学生对课程内容有较深的理解和思考，培养学生积极思考的习惯。讨论课需要学生表达自己的看法和观点，锻炼学生的表达能力、应变能力。讨论课需要小组成员间相互交流协作，培养学生的团队意识、合作意识、社会意识。
二、SPOC混合教学模式下高等数学讨论课的主体内容和实施保障
此次在我校开展“SPOC 翻转课堂”的混合教学模式，选取的试点教学班包括两个自然班，学生总人数是73人。开学初，我们将学生分为十个小组，每组7～8人。分组采取自愿形式，每组选组长及记录员各一名。明确小组各成员职责，每组成员坚持长期合作，共同分享成果，共同承担责任。
根据教学目标的不同，讨论式教学主要分为两种类型：一是基于问题的讨论式教学；二是开放式教学。从教学内容上看，前者在提升能力的同时仍强调知识点的掌握，在理工科教学中应用较多；而后者以启迪思维和锻炼技巧为目的，在人文社科及语言类学科中应用更多。根据高等数学的课程特点，我们应开展以问题为导向的讨论课，然而，并不是所有内容都需要或适合讨论。教师在备课时要精心选择和设计具有讨论意义的问题。计划展开讨论的问题，应难易适中、内容丰富，具有研究性、探索性和发散性。如果是答案唯一确定、考查计算能力的题目，就没有必要进行讨论，学生在习题课或课后作业进行练习即可。对于简单的问题，教师可以在课堂中给学生几分钟进行讨论，各小组派代表发言，汇报讨论的结果。比如，教师可设置一题多解的题目，激发鼓励学生思考，讨论求解的多种方法，还可以根据学生所做的练习题展开讨论，归纳总结计算方法。对比较复杂的问题，教师可以在讨论课前一周把要讨论的问题分配给各小组，组长组织本组同学课后查阅资料，进行讨论并解决问题。课堂上各组派代表汇报阐述讨论的结果，并回答老师或其他同学的提问。本小组其他成员可以进行补充说明。比如，对于“如何证明任一金属环总存在某条直径，该直径的两个端点处温度相等”“如何证明若椅子在地面上放不稳，只需稍挪动几次就可以放稳”等半开放性问题可提前进行布置。
制定多维度的综合考核评价体系，量化线上和线下学习的详细评分标准。讨论课表现要在期末总评成绩中占一定比例，有效激励和督促学生积极参与讨论。以前在传统教学中，期末总评成绩包括期末考试（占70%）和平时成绩（占30%）。本次在SPOC混合教学试点班级拟采取新的成绩计算方式，期末总评成绩包括学生在线学习情况占（30%），讨论课表现占（10%），平时作业册成绩（占10%），期末考试占（50%）。这样既能反映学生真实学习水平，又能对学生学习过程进行监管。讨论课让学生在学习的过程中，还可以获得平时成绩，激发了学生的讨论热情和动力。这样的考试评价体系具有灵活性、多元性的特点，尊重每个学生的特长和个性，帮助学生发挥个人潜能，引导学生把肤浅的、功利的学习动机变为内在的、深层次的求知欲望。
三、“函数的微分”讨论课教学实践案例
文章以同济第七版《高等数学》中“函数的微分”一节内容为例，探究基于混合式教学的讨论课具体实践操作过程。学生课前在中国大學慕课平台自主观看学习本节教学视频，教师在课堂上讲解重点、难点，组织学生开展讨论课。
第一阶段：讨论课前的准备
针对本节内容，教师课前布置两个问题：①如何简单计算函数的增量？②导数就是微分吗？要求全体学生课前观看网络学习平台上“函数的微分”的教学视频。学生带着问题进行自主学习，思考研究微分的起源和出发点，了解导数与微分的区别和联系。
教师课前通过充分备课，精心设计讨论课的课堂“小讨论”问题和课后“大讨论”问题。
第二阶段：实体讨论课的开展
讨论课上，教师抓住上述问题，循序渐进地提问，逐步引导学生积极思考和深入学习。
（1）导数主要研究什么问题？
请学生回答导数的定义，巩固导数的实质是函数值增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限，即导数主要研究变化率问题。
（2）为什么要学习微分？微分主要研究什么问题？
课堂上教师提出以下问题：如何简单计算函数的增量？如何快速估计e0.123和sin3030的值？教师组织学生进行小组讨论后回答上述问题，引导学生了解微分概念起源于微量分析，y可表示成A·x与（x）两部分之和，其线性主部称为微分。当x很小时，△y大小主要由微分A·x决定，而（△x）对其大小的影响是很小的。如此，学生便能理解“为什么要学习微分”及“微分主要研究什么问题”。 （3）函数在一点可微的定义是什么？
微分的概念是本节重点、难点，在学生自主在线学习的基础上，教师重点讲析函数可微和微分的定义，以及微分的几何意义。
（4）哪些函数可微？若函数可微分，如何计算微分？
学生要解决这两个问题，需要研究导数与微分、可导与可微的关系。教师可给学生几分钟时间讨论这个问题，请小组代表讲解该问题。教师及时进行总结，可导与可微等价，函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。教师进一步提问：“既然导数与微分有这样的关系，那基本初等函数的微分公式与微分运算法则是什么？”课堂上通过几个计算微分的练习题，请学生总结求微分的方法。
（5）利用微分的观点，如何重新理解反函数求导法则、复合函数求导法则及由参数方程确定函数的求导法则？
教师给学生几分钟时间讨论，请小组代表阐述求导法则，讲解该问题。教师及时总结：在学习微分之前，导数的记法是整体记号；学习微分后，导数记法可看作分式运算，重新理解求导法则，使学生加深了对求导法则的认识。
（6）导数与微分的区别和联系是什么？
学生思考、讨论后给出答案。教师及时进行总结：这两个概念研究的出发点不同，几何意义不同，但是导数是函数微分与自变量微分的商，函数在一点可导和可微是等价的。
（7）用微分进行近似计算有什么优缺点？
当x-x0很小时，f（x）≈f（x0）
f （x0）x-x0），即f（x）可由一次多项式近似代替，但精度不高，只适用于x0附近的点x，否则误差较大。而且只知道误差是（x-x0）的高阶无穷小，但不能具体估算出误差大小。为下一章泰勒公式的学习做好铺垫。
这些课堂讨论的“小问题”层层推进、环环相扣。在讨论课中，学生通过对这一系列问题的讨论，不仅能深入理解本节的基本概念和理论方法，还能将“函数的微分”和前后知识衔接，做到融会贯通（如表1所示）。
课后讨论的“大问题”更注重应用性和能力的培养。教师要将深奥难懂的数学知识与生活中的实际问题相结合，使学生对微分的理解相对深刻一些。学生通过查阅资料了解什么是经济学中的“70规则”，并通过微分的近似计算解释该经济学规则，准备课堂汇报资料。讨论课中，请小组代表阐述“70规则”并用微分知识解释该规则，其他同学可以举例、补充或提问，教师及时给予评价和总结（如表2所示）。
第三階段：讨论课后的总结和反馈
写课后总结，找出问题，更新设计，提高后续课程的讨论效果和教学质量。
四、结语
高等数学课程由于其自身特点，并非所有教学内容都适合开展翻转课堂，并非所有章节都适合开展讨论课。教师要根据本校学生的特点，在保持一定传统课堂教学的基础上，利用慕课平台和传统课堂教学模式的优势。
参考文献：
[1]王立冬，鲁 军，高 庆.基于问题的讨论式教学设计[J].教育教学论坛，2014（23）：78-79.
[2]黄燕平.大学数学课程讨论式教学模式研究[J].教育教学论坛，2013（35）：94-96.
关键词：高等数学；混合式教学；讨论课；SPOC；“函数的微分”
中图分类号：G642 文献标识码：A 收稿日期：2018-01-07
基金项目：陕西省高等教育MOOC中心在线课程转化教改研究项目（17MZ24）。
作者简介：李 蕊（1982—），女，讲师，硕士研究生，研究方向：最优化理论与算法。
近几年，在线教育时代的到来催生了不同的在线教育模式，其中，慕课和SPOC作为典型在全球各高等教育机构得以普遍实践。为促进西安工业大学（以下简称“我校”）教学改革，提高数学基础课教学质量，笔者主持参加陕西省高等教育慕课中心的《高等数学》SPOC定制项目，在我校试点班级开展MOOC（SPOC） 翻转课堂的混合教学模式，利用慕课平台的教学资源，实现线上线下相结合的混合式教学。
一、SPOC混合教学模式下高等数学讨论课的意义
在高等数学课程中开展讨论课，教师要挖掘知识背后所承载的能力，探索知识的拓展应用性，设计“以学生为主体，以问题为导向，以知识学习和能力培养为目标”的高质量讨论课。教师要转变教学理念，将自己从传统课堂中的主体，转变成讨论课中的组织者和引导者，学习新的课堂组织管理技巧。讨论课中教师的专业水平和课堂管理能力得到提高，这是对教学相长的最好诠释。
在高等数学课程中开展讨论课，需要学生对课程内容有较深的理解和思考，培养学生积极思考的习惯。讨论课需要学生表达自己的看法和观点，锻炼学生的表达能力、应变能力。讨论课需要小组成员间相互交流协作，培养学生的团队意识、合作意识、社会意识。
二、SPOC混合教学模式下高等数学讨论课的主体内容和实施保障
此次在我校开展“SPOC 翻转课堂”的混合教学模式，选取的试点教学班包括两个自然班，学生总人数是73人。开学初，我们将学生分为十个小组，每组7～8人。分组采取自愿形式，每组选组长及记录员各一名。明确小组各成员职责，每组成员坚持长期合作，共同分享成果，共同承担责任。
根据教学目标的不同，讨论式教学主要分为两种类型：一是基于问题的讨论式教学；二是开放式教学。从教学内容上看，前者在提升能力的同时仍强调知识点的掌握，在理工科教学中应用较多；而后者以启迪思维和锻炼技巧为目的，在人文社科及语言类学科中应用更多。根据高等数学的课程特点，我们应开展以问题为导向的讨论课，然而，并不是所有内容都需要或适合讨论。教师在备课时要精心选择和设计具有讨论意义的问题。计划展开讨论的问题，应难易适中、内容丰富，具有研究性、探索性和发散性。如果是答案唯一确定、考查计算能力的题目，就没有必要进行讨论，学生在习题课或课后作业进行练习即可。对于简单的问题，教师可以在课堂中给学生几分钟进行讨论，各小组派代表发言，汇报讨论的结果。比如，教师可设置一题多解的题目，激发鼓励学生思考，讨论求解的多种方法，还可以根据学生所做的练习题展开讨论，归纳总结计算方法。对比较复杂的问题，教师可以在讨论课前一周把要讨论的问题分配给各小组，组长组织本组同学课后查阅资料，进行讨论并解决问题。课堂上各组派代表汇报阐述讨论的结果，并回答老师或其他同学的提问。本小组其他成员可以进行补充说明。比如，对于“如何证明任一金属环总存在某条直径，该直径的两个端点处温度相等”“如何证明若椅子在地面上放不稳，只需稍挪动几次就可以放稳”等半开放性问题可提前进行布置。
制定多维度的综合考核评价体系，量化线上和线下学习的详细评分标准。讨论课表现要在期末总评成绩中占一定比例，有效激励和督促学生积极参与讨论。以前在传统教学中，期末总评成绩包括期末考试（占70%）和平时成绩（占30%）。本次在SPOC混合教学试点班级拟采取新的成绩计算方式，期末总评成绩包括学生在线学习情况占（30%），讨论课表现占（10%），平时作业册成绩（占10%），期末考试占（50%）。这样既能反映学生真实学习水平，又能对学生学习过程进行监管。讨论课让学生在学习的过程中，还可以获得平时成绩，激发了学生的讨论热情和动力。这样的考试评价体系具有灵活性、多元性的特点，尊重每个学生的特长和个性，帮助学生发挥个人潜能，引导学生把肤浅的、功利的学习动机变为内在的、深层次的求知欲望。
三、“函数的微分”讨论课教学实践案例
文章以同济第七版《高等数学》中“函数的微分”一节内容为例，探究基于混合式教学的讨论课具体实践操作过程。学生课前在中国大學慕课平台自主观看学习本节教学视频，教师在课堂上讲解重点、难点，组织学生开展讨论课。
第一阶段：讨论课前的准备
针对本节内容，教师课前布置两个问题：①如何简单计算函数的增量？②导数就是微分吗？要求全体学生课前观看网络学习平台上“函数的微分”的教学视频。学生带着问题进行自主学习，思考研究微分的起源和出发点，了解导数与微分的区别和联系。
教师课前通过充分备课，精心设计讨论课的课堂“小讨论”问题和课后“大讨论”问题。
第二阶段：实体讨论课的开展
讨论课上，教师抓住上述问题，循序渐进地提问，逐步引导学生积极思考和深入学习。
（1）导数主要研究什么问题？
请学生回答导数的定义，巩固导数的实质是函数值增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限，即导数主要研究变化率问题。
（2）为什么要学习微分？微分主要研究什么问题？
课堂上教师提出以下问题：如何简单计算函数的增量？如何快速估计e0.123和sin3030的值？教师组织学生进行小组讨论后回答上述问题，引导学生了解微分概念起源于微量分析，y可表示成A·x与（x）两部分之和，其线性主部称为微分。当x很小时，△y大小主要由微分A·x决定，而（△x）对其大小的影响是很小的。如此，学生便能理解“为什么要学习微分”及“微分主要研究什么问题”。 （3）函数在一点可微的定义是什么？
微分的概念是本节重点、难点，在学生自主在线学习的基础上，教师重点讲析函数可微和微分的定义，以及微分的几何意义。
（4）哪些函数可微？若函数可微分，如何计算微分？
学生要解决这两个问题，需要研究导数与微分、可导与可微的关系。教师可给学生几分钟时间讨论这个问题，请小组代表讲解该问题。教师及时进行总结，可导与可微等价，函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。教师进一步提问：“既然导数与微分有这样的关系，那基本初等函数的微分公式与微分运算法则是什么？”课堂上通过几个计算微分的练习题，请学生总结求微分的方法。
（5）利用微分的观点，如何重新理解反函数求导法则、复合函数求导法则及由参数方程确定函数的求导法则？
教师给学生几分钟时间讨论，请小组代表阐述求导法则，讲解该问题。教师及时总结：在学习微分之前，导数的记法是整体记号；学习微分后，导数记法可看作分式运算，重新理解求导法则，使学生加深了对求导法则的认识。
（6）导数与微分的区别和联系是什么？
学生思考、讨论后给出答案。教师及时进行总结：这两个概念研究的出发点不同，几何意义不同，但是导数是函数微分与自变量微分的商，函数在一点可导和可微是等价的。
（7）用微分进行近似计算有什么优缺点？
当x-x0很小时，f（x）≈f（x0）
f （x0）x-x0），即f（x）可由一次多项式近似代替，但精度不高，只适用于x0附近的点x，否则误差较大。而且只知道误差是（x-x0）的高阶无穷小，但不能具体估算出误差大小。为下一章泰勒公式的学习做好铺垫。
这些课堂讨论的“小问题”层层推进、环环相扣。在讨论课中，学生通过对这一系列问题的讨论，不仅能深入理解本节的基本概念和理论方法，还能将“函数的微分”和前后知识衔接，做到融会贯通（如表1所示）。
课后讨论的“大问题”更注重应用性和能力的培养。教师要将深奥难懂的数学知识与生活中的实际问题相结合，使学生对微分的理解相对深刻一些。学生通过查阅资料了解什么是经济学中的“70规则”，并通过微分的近似计算解释该经济学规则，准备课堂汇报资料。讨论课中，请小组代表阐述“70规则”并用微分知识解释该规则，其他同学可以举例、补充或提问，教师及时给予评价和总结（如表2所示）。
第三階段：讨论课后的总结和反馈
写课后总结，找出问题，更新设计，提高后续课程的讨论效果和教学质量。
四、结语
高等数学课程由于其自身特点，并非所有教学内容都适合开展翻转课堂，并非所有章节都适合开展讨论课。教师要根据本校学生的特点，在保持一定传统课堂教学的基础上，利用慕课平台和传统课堂教学模式的优势。
参考文献：
[1]王立冬，鲁 军，高 庆.基于问题的讨论式教学设计[J].教育教学论坛，2014（23）：78-79.
[2]黄燕平.大学数学课程讨论式教学模式研究[J].教育教学论坛，2013（35）：94-96.