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数学的每一种题型都有固定的解题模式,教师要重视对数学错题的讲评,才能让学生避免犯同样的错误。教学的首要任务是培养学生的思维能力。在讲评错题时,教师应该学会分门别类,有些可以“仔细分析”,有些则要“举一反三”,难度较高的错题要重点讲评,这样可以使学生的记忆更深刻。
一、高中数学错题讲评现状分析
有的教师没有认识到试卷讲评的重要性,没能对错题进行重点讲解,导致学生面对同样的问题还是会出错。
错题讲评结束后,学生要对错题进行详细的更正,教师要布置相应的习题,并要求学生写小结或反思,有必要时还要单独与学生交流、沟通,引导学生养成良好的学习习惯。经过笔者多年的教学实践,学生的试题更正做得越仔细,收货就越大。
二、讲评数学错题可采取的方法
1.讲典型错例分析
一般说来,讲评的重点是典型错题。在对典型错题进行分析、评讲的过程中,教师要突出数学方法,依据题目类型的不同,恰如其分地渗入科学的数学方法。
例如:求函数y=x·e1-cosx的导数。
错误分析:复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即yx′=yu′·ux′.
解析:y′=e1-cosx+x(e1-cosx)′=e1-cosx+xe1-cosx(1-cosx)′
=e1-cosx+xe1-cosxsinx=(x+sinx)e1-cosx
2.讲一题多解
其实,很多题目都有多种解法,这类题也是培养学生发散思维最好的题型。在讲评的过程中,教师可以采取多种灵活的方式,如让有不同解法的学生上台讲述自己的思路。现代教学理论认为,学生是教学过程的主体,要想方设法调动其主观能动性,把蕴藏于学生身上的巨大学习潜力挖掘出来。
例如:已知x,y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范围。
解法一:(函数思想)由x+y=1得y=1-x,则
x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x-■)2+■
由于x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知
当x=■时,x2+y2取最小值■;当x=0或1时,x2+y2取最大值1.
解题指导:解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论、函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二:(三角换元思想)由于x+y=1,x,y≥0,则可设
x=cos2θ,y=sin2θ 其中θ∈[0,■]
则x2+y2=cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2cos2θsin2θ
=1-■(2sinθcosθ)2=1-■sin22θ
=1-■×■=■+■cos4θ
于是,当cos4θ=-1时,x2+y2取最小值■;当cos4θ=1时,x2+y2取最小值1.
解题指导:通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三角公式,所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三:(对称换元思想)由于x+y=1,x,y≥0,则可设
x=■+t,y=■-t,其中t∈[-■,■]
于是,x2+y2=(■+t)2+(■-t)2=■+2t2 t2∈[0,■]
所以,当t2=0时,x2+y2取最小值■;当t2=■时,x2+y2取最大值1.
解题指导:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。
这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不同而已,也就导致了化简运算量大小不同。教师通过引导、启发学生的多种解题思路,提高了学生对数学的认识,也增强了学生的思维能力。
3.举一反三
讲评错题的过程中,教师要针对学生做错的题型,精心设置相应的变式题,用启发性的语言,拓展学生的思维,培养学生举一反三的能力。
三、讲评数学错题要注意的方面
错题的讲评是一个重要环节,教师通过错题讲评还可以发现自己在教学方面的问题和不足,利于教师进行自我总结、自我反思、改进教学方法,最终达到提高教学质量的目的。当然,教师在进行错题讲评的过程中要注意以下几个方面:
1.错题讲评课的意义
学生要认识到错题讲评的意义。错题讲评对教师和学生来说,是对之前课题的重新复习,目的是避免学生犯同样的错误。这是错题讲评课开讲的重要意义。
2.错题讲评课要营造良好的氛围
教师要在轻松融洽的氛围中讲评错题,这样讲评会取得很好的效果。如果教师在很压抑的氛围里讲评错题,只会让学生更压抑。良好的课堂氛围利于激发学生的学习兴趣。
总之,数学教师在错题讲评中要做充分的准备,讲评要灵活,反思要落实。教师可以带领学生在每次考试之前将易错的题型复习一遍,这样可以避免再犯错,从而使學生取得更好的成绩。
一、高中数学错题讲评现状分析
有的教师没有认识到试卷讲评的重要性,没能对错题进行重点讲解,导致学生面对同样的问题还是会出错。
错题讲评结束后,学生要对错题进行详细的更正,教师要布置相应的习题,并要求学生写小结或反思,有必要时还要单独与学生交流、沟通,引导学生养成良好的学习习惯。经过笔者多年的教学实践,学生的试题更正做得越仔细,收货就越大。
二、讲评数学错题可采取的方法
1.讲典型错例分析
一般说来,讲评的重点是典型错题。在对典型错题进行分析、评讲的过程中,教师要突出数学方法,依据题目类型的不同,恰如其分地渗入科学的数学方法。
例如:求函数y=x·e1-cosx的导数。
错误分析:复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即yx′=yu′·ux′.
解析:y′=e1-cosx+x(e1-cosx)′=e1-cosx+xe1-cosx(1-cosx)′
=e1-cosx+xe1-cosxsinx=(x+sinx)e1-cosx
2.讲一题多解
其实,很多题目都有多种解法,这类题也是培养学生发散思维最好的题型。在讲评的过程中,教师可以采取多种灵活的方式,如让有不同解法的学生上台讲述自己的思路。现代教学理论认为,学生是教学过程的主体,要想方设法调动其主观能动性,把蕴藏于学生身上的巨大学习潜力挖掘出来。
例如:已知x,y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范围。
解法一:(函数思想)由x+y=1得y=1-x,则
x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x-■)2+■
由于x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知
当x=■时,x2+y2取最小值■;当x=0或1时,x2+y2取最大值1.
解题指导:解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论、函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二:(三角换元思想)由于x+y=1,x,y≥0,则可设
x=cos2θ,y=sin2θ 其中θ∈[0,■]
则x2+y2=cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2cos2θsin2θ
=1-■(2sinθcosθ)2=1-■sin22θ
=1-■×■=■+■cos4θ
于是,当cos4θ=-1时,x2+y2取最小值■;当cos4θ=1时,x2+y2取最小值1.
解题指导:通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三角公式,所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三:(对称换元思想)由于x+y=1,x,y≥0,则可设
x=■+t,y=■-t,其中t∈[-■,■]
于是,x2+y2=(■+t)2+(■-t)2=■+2t2 t2∈[0,■]
所以,当t2=0时,x2+y2取最小值■;当t2=■时,x2+y2取最大值1.
解题指导:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。
这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不同而已,也就导致了化简运算量大小不同。教师通过引导、启发学生的多种解题思路,提高了学生对数学的认识,也增强了学生的思维能力。
3.举一反三
讲评错题的过程中,教师要针对学生做错的题型,精心设置相应的变式题,用启发性的语言,拓展学生的思维,培养学生举一反三的能力。
三、讲评数学错题要注意的方面
错题的讲评是一个重要环节,教师通过错题讲评还可以发现自己在教学方面的问题和不足,利于教师进行自我总结、自我反思、改进教学方法,最终达到提高教学质量的目的。当然,教师在进行错题讲评的过程中要注意以下几个方面:
1.错题讲评课的意义
学生要认识到错题讲评的意义。错题讲评对教师和学生来说,是对之前课题的重新复习,目的是避免学生犯同样的错误。这是错题讲评课开讲的重要意义。
2.错题讲评课要营造良好的氛围
教师要在轻松融洽的氛围中讲评错题,这样讲评会取得很好的效果。如果教师在很压抑的氛围里讲评错题,只会让学生更压抑。良好的课堂氛围利于激发学生的学习兴趣。
总之,数学教师在错题讲评中要做充分的准备,讲评要灵活,反思要落实。教师可以带领学生在每次考试之前将易错的题型复习一遍,这样可以避免再犯错,从而使學生取得更好的成绩。