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通过对相关文献的阅读,我发现到目前为止,不管是单纯地从数学学科的角度,还是从心理学角度,在单独探讨数学应用题解题方面的文献已经很多. 这给我们当前的数学教学提供一个很好的理论指导. 但是我们知道,应用题是数学教学中一个很重要的环节,它涉及到数学建模的过程,所以通过解答数学应用题,不仅可以使学生认识到语言加工、数字加工和情境推理之间的关系,还可以对数学规律有一个较好的认识. 但是,解题是一个内隐的过程,它很抽象,如果仅从几项外在的测试的指标来推断学生的心理过程,这样的结论能否让人信服,很是值得商榷. 20世纪50年代,人们对解题过程的研究主要采用出声思考或写出解题过程的方法. 心理学专业者都知道,在当时出声思考或写解题过程的方法固然有其优越性,但其一个致命的弱点就是阻断了学生正在进行的思维;而且有些解题思路、思维方式已经是无意识的,学生本人有时也并不一定能意识到他正在进行的思维方式. 而眼动技术的引入就为研究者提供了一个新的窗口来研究学生内在的思维活动. 它以客观的指标来记录思维活动,不仅能帮助研究者分析出声思维的加工过程,而且还可用眼动数据构建解题过程的认知模型. 19世纪末20世纪初,国外就有人对阅读过程的眼动特征进行研究,20世纪30年代我国沈有乾首先用眼动进行汉语阅读的研究,这就为数学解题过程的眼动研究打下了很好的基础. 和其它方法相比,测量眼球的运动是一种相对自然的、及时的测量方法. 虽然它并不能直接反应和揭示内部的心理过程,但是作为一个自然、干扰较小的、可测量的活动,眼动技术的迅速发展让我们可以充分地利用它去测量个体的眼动轨迹,了解个体在阅读过程中的一些外在的规律或模式,对于揭示认知加工的心理机制具有重要意义. 20世纪60年代,国外就有心理学家开始进行数学解题过程的眼动研究. 尽管这样,利用眼动技术进行数学应用题的研究还不是很多.
目前关于数学应用题的研究主要以认知心理学为理论基础,将解应用题的过程视为问题解决过程. Mayer等人(1985)将数学问题解决划分为四个阶段:问题转译、问题整合、形成计划、执行计划. 现有的研究大多是围绕这四个阶段展开的. Just等人提出“眼脑说”,认为被试的眼动直接反应了他的认知加工过程. 由此,心理学家开始对数学应用题解题过程进行眼动研究,希望通过分析解题过程中的眼动特征,了解并解释解题者对题目的表征过程.
1 加减文字应用题解题过程的眼动研究
加减文字题是应用加减法就可以解答的问题,也称算术应用题或和差应用题,它是小学低年级学生数学学习的重点和难点. 解决这种类型的问题,既是获得数学概念的一种工具,也是发展解答数学问题能力的重要途径. 加减文字题根据问题中的语义结构可将问题分为三类:合并题、变化题和比较题. 合并提如“甲有4朵小红花,乙有2朵,甲和乙一共有几朵?”变化题如:“甲有4朵小红花,甲给乙2朵,现在甲还有几朵?” 比较题如:“甲有4朵小红花,乙有2朵,甲比乙多几朵?”当然,这三类还有更细致的分类,这里就不再一一列举. 因为加减文字题需要阅读文本信息,需要用眼睛扫描文字信息,所以扫描过程中的眼动模式在一定程度上可以反映出个体的心理加工过程. 因此,一些研究者就通过眼动记录技术来揭示自下而上的言语加工特点. 在Hegarty等人(1995)的研究中,他们比较了成功解题者和不成功解题者的眼动模式,发现不成功者花费了更多的时间注视关键信息,如数字和关系术语(比…多或比…少). 于素红等研究了小学三年级聋生和听力正常的学生表征和解决加减文字题的差异,结果发现在解决加减文字题时,聋生与听力正常学生在阅读方式、注视关键信息上有显著差异,很多聋生阅读没有规律,漏看文字的关键信息,而且聋生解决加减文字题的困难与其不能正确表征文字题的文本有关. 由此可见,能否注意到关键信息对解题非常关键,对关键信息的正确表征有助于应用题的解决.
在加减文字应用题的研究中,比较应用题的研究算是比较多了. 比较应用题是指题目中包含了1个关系句并用关系词对2个量进行比较的应用题. 根据关系词与算法的不一致分为一致应用题和不一致应用题. 研究发现,高正确率解题者解不一致问题所需的时间显著多于一致问题;低正确率解题者解一致应用题和不一致应用题所用时间相同. Verschaffel等人用眼动分析法验证了上述结论. 通过查阅相关文献发现,大多数学者认为是上述情况是由于个体对关系句的表征错误,而不是在操作阶段的计算错误.
Hegarty等人根据眼动研究结果提出了比较应用题的两种表征策略:直接转换策略和问题模型策略. 有研究表明:学生在解决数字的运算上没有困难,但是学生不能把这种能力迁移到文字应用题上. 因为学生在解决数学文字题时主要涉及两个步骤:表征和操作. 学生在数学应用题解题过程中的困难在于其对问题的表征,而不在于操作上. 而表征的困难在于理解条件关系上. 理解条件关系的困难在于使用了直接转换策略,而没有使用问题模型策略. 所谓直接转换策略就是当面对数学应用题时,个体首先从题中选取所含数字和关键词,然后对数字进行加工,它强调对量的推理,即运算过程. 问题模型策略是指当个体面对数学应用题时,试图理解问题情境,然后根据情境表征制定计划,其中强调对质的推理,即理解问题中条件之间的关系,不受关键词的影响. 一般来说,成绩较好者多采用问题模型策略,成绩差者多采用直译策略. 可见,表征是解决问题的关键.
张锦坤等研究了大学生解决三步比较应用题的表征策略. 结果发现:大学生被试解三步式比较应用题存在直译策略和问题模型策略;解题正确率高者解难度较大的应用题时倾向于对应用题的情境进行加工,即采用问题模型策略,正确率低者未表现出这一倾向,往往采用直译策略.
冯虹(2007)等对不同年级学生解比较应用题过程中的解题成绩和眼动指标进行分析. 发现:随着年级的增高,学生解题过程中的各种眼动指标——平均注视时间、注视次数、相对注视次数之间的差异逐渐缩小;解题时数学成绩优生与差生的眼动模式差异显著,成绩优生在表征“关系句”、“关系词”和“数字”时眼动模式与数学成绩差生差异显著,解不一致性题目的眼动指标差异显著. 为什么随着年龄的增高各种眼动指标之间的差异逐渐缩小呢?或许是随着年年级的增高,学生能够从整体上把握信息,除了关注题目中的“关系词”之外,还会注视题目的其它相关信息. 高年级学生已经不再满足于表征题目的表面信息,更注重了题目的整体结构,根据题目所描绘的情境来构建数学模型. 也就是随着年级的增高,学生可能更倾向于建构问题模型策略,在对问题的来龙去脉有了清楚地了解之后,语义表征就起了关键的作用,这样,学生就可以利用已有的知识经验来建立语义网络.
研究还发现,一般情况下,学习成绩优生对“关系词”的注视时间长于差生,对“数字”的注视次数显著少于差生. 这可能说明优生注重分析“关系词”的结构和两个量之间的数量关系,充分地理解了题目描述的问题情境,然后才选择注视题目中的“数字”,完成解题任务. 而差生没有进行正确的语义和次序上的转换,较少关注“关系词”,直接把题目中的数字与“关系词”相联系,因而导致了较低的正确率. 所以,这就给我们一个启示:教师在教学过程中要注意训练解题差的学生首先判断“关系句”的语义结构和表述顺序,对于正向表述的“关系句”可直接根据“关系词”来选择算法,而对于负向表述的“关系句”,要在转换“关系句”表述顺序的基础上,重新建构“关系词”,并以此来选择算法.
2 几何应用题解题过程的眼动研究
解几何应用题是一个复杂的认知过程. 解题者通常要经历读题、构建图形、在已有图式中搜索、从记忆中提取相关信息、推理、计算等过程. 几何研究的主要对象是“图”,所以图形在几何解题中起着很重要的作用. 几何题的加工对象多是角、线段、图形和相关的文字. 图形的直观性可以使解题者很容易发现各基本元素之间的关系,有助于问题的解决.
当前,对几何解题过程中的认知加工和眼动指标之间的研究还不是很多,但是会经常看到几何图形推理的眼动研究. Bethillo Fox等人发现在几何类比题目中有两种问题解决策略:规则建构策略和选项剔除策略. 规则建构策略是个体根据问题情境主动建构理想答案,然后把理想答案和各个选项相比较,选择最符合的选项. 选项剔除策略是个体在选择前,反复看题干和选项,按一定的规则剔除不合适的选项. 一般来说,成绩高者更倾向于规则建构策略,成绩低者较多地选择后者.
Epelboim等人提出了一种量化的模型——动眼几何推理引擎(OGRE)模型. 其核心内容是视觉工作记忆,它负责对视觉感知到的内容做短时储存. 储存的视觉对象是有意义的并与当前的任务背景有关. 记忆映像进入视觉工作记忆的机制就是动眼扫描,遗忘的机制就是当前扫描的对象和已存在于视觉工作记忆中的对象之间产生了干扰. 该模型认为几何解题过程中视觉工作记忆容量是一个常数. 它的原理就是某个新元素的记忆映像添加到视觉工作记忆中,原来存在的某个元素的记忆映像就会被覆盖. 用该元素的记忆映像被覆盖的概率就可以估计视觉工作记忆的容量. 视觉工作记忆容量的大小与题目的复杂程度无关. 由此可见,该模型可以解释几何解题过程中的眼动规律并估计视觉工作记忆容量. 但过程很繁琐,只适用于解释简单几何题的解题过程,不适用于解释复杂的几何题(如平面几何证明题、立体几何题等)的解题过程.
3 总结
数学应用题心理表征的研究内容正在进一步拓展和加深,研究手段也日益精确化和科学化. 国外对数学应用题解题过程的眼动研究从20世纪60年代开始至今将近50年,而且随着眼动技术的发展,有更多的研究者将参与到这一领域的研究. 在我国,有学者用眼动指标在汉语阅读方面做了一些研究,并取得了一些研究成果. 但是对数学解题过程的眼动研究涉足还很少,几何题更少. 而且,目前已有的眼动研究中使用的眼动指标也很少,有的眼动指标定义得不是很明确,如瞳孔直径. 所以还需要更多的研究者来关注这个方面,加强这一领域的研究. 该领域的研究可以帮助人们更加清晰地了解儿童表征数学问题的特点及内在机制,掌握儿童数学思维变化的规律.
此外,应用题的教学一直是教师比较头疼和关注的. 深化对数学问题表征的研究,深入分析学生解题过程中的认知加工过程,可以试图寻找应用题教学中的突破点,这样教师就可以以学生的心理特点为基础,抓住学生的认知特点,寻找合适的教学方法,采用适当的教学方式、教学材料,创设问题情境,让教育能够走在学生心理发展的前面,通过教育促进学生身心的发展,对于提高数学教学效果也有深刻的指导意义.
参考文献
[1] 阎国利,白学军. 汉语阅读的眼动研究[J].心理与行为研究,2007,(3).
[2] 周新林. 加减文字题解决研究概述[J].心理科学进展,2005,642-650.
[3] 冯虹.比较应用题解题过程的眼动研究[J].心里科学,2007,(1):37-40.
[4] Mayer R E,Larkin J H,Kadane J B.A cognitive analysis of mathematical problem-solving ability.In R.J.Sternberg(Ed.),Advances in the Psychology of Human Intelligence.Vol(2), Hillsdale,NJ:Erlbaum. 1984,231-73.
[5] Hegaerty M, Mayer R E, Monk C A. Comprehension of arithmetic word problem: a conparision of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Education Psychology, 1995,87(1):18-32.
[6] Just M, Carpenter P A. The psychology of reading and language comprehension. Allya and Bacon. Inc.1987,370-375.
[7] 张锦坤,沈徳立,臧传丽. 算数应用题表征策略的眼动研究.心理与行为研究[J],2006(4),188-193.
[8] 于素红,方俊明,王新法. 聋生和听力正常学生解决加减文字题的眼动比较研究.心理科学,2007(4),861-864.
作者简介 张晓丽,女,1983年生,河南新乡人,硕士研究生,主要从事实验心理学与思维心理学研究.
目前关于数学应用题的研究主要以认知心理学为理论基础,将解应用题的过程视为问题解决过程. Mayer等人(1985)将数学问题解决划分为四个阶段:问题转译、问题整合、形成计划、执行计划. 现有的研究大多是围绕这四个阶段展开的. Just等人提出“眼脑说”,认为被试的眼动直接反应了他的认知加工过程. 由此,心理学家开始对数学应用题解题过程进行眼动研究,希望通过分析解题过程中的眼动特征,了解并解释解题者对题目的表征过程.
1 加减文字应用题解题过程的眼动研究
加减文字题是应用加减法就可以解答的问题,也称算术应用题或和差应用题,它是小学低年级学生数学学习的重点和难点. 解决这种类型的问题,既是获得数学概念的一种工具,也是发展解答数学问题能力的重要途径. 加减文字题根据问题中的语义结构可将问题分为三类:合并题、变化题和比较题. 合并提如“甲有4朵小红花,乙有2朵,甲和乙一共有几朵?”变化题如:“甲有4朵小红花,甲给乙2朵,现在甲还有几朵?” 比较题如:“甲有4朵小红花,乙有2朵,甲比乙多几朵?”当然,这三类还有更细致的分类,这里就不再一一列举. 因为加减文字题需要阅读文本信息,需要用眼睛扫描文字信息,所以扫描过程中的眼动模式在一定程度上可以反映出个体的心理加工过程. 因此,一些研究者就通过眼动记录技术来揭示自下而上的言语加工特点. 在Hegarty等人(1995)的研究中,他们比较了成功解题者和不成功解题者的眼动模式,发现不成功者花费了更多的时间注视关键信息,如数字和关系术语(比…多或比…少). 于素红等研究了小学三年级聋生和听力正常的学生表征和解决加减文字题的差异,结果发现在解决加减文字题时,聋生与听力正常学生在阅读方式、注视关键信息上有显著差异,很多聋生阅读没有规律,漏看文字的关键信息,而且聋生解决加减文字题的困难与其不能正确表征文字题的文本有关. 由此可见,能否注意到关键信息对解题非常关键,对关键信息的正确表征有助于应用题的解决.
在加减文字应用题的研究中,比较应用题的研究算是比较多了. 比较应用题是指题目中包含了1个关系句并用关系词对2个量进行比较的应用题. 根据关系词与算法的不一致分为一致应用题和不一致应用题. 研究发现,高正确率解题者解不一致问题所需的时间显著多于一致问题;低正确率解题者解一致应用题和不一致应用题所用时间相同. Verschaffel等人用眼动分析法验证了上述结论. 通过查阅相关文献发现,大多数学者认为是上述情况是由于个体对关系句的表征错误,而不是在操作阶段的计算错误.
Hegarty等人根据眼动研究结果提出了比较应用题的两种表征策略:直接转换策略和问题模型策略. 有研究表明:学生在解决数字的运算上没有困难,但是学生不能把这种能力迁移到文字应用题上. 因为学生在解决数学文字题时主要涉及两个步骤:表征和操作. 学生在数学应用题解题过程中的困难在于其对问题的表征,而不在于操作上. 而表征的困难在于理解条件关系上. 理解条件关系的困难在于使用了直接转换策略,而没有使用问题模型策略. 所谓直接转换策略就是当面对数学应用题时,个体首先从题中选取所含数字和关键词,然后对数字进行加工,它强调对量的推理,即运算过程. 问题模型策略是指当个体面对数学应用题时,试图理解问题情境,然后根据情境表征制定计划,其中强调对质的推理,即理解问题中条件之间的关系,不受关键词的影响. 一般来说,成绩较好者多采用问题模型策略,成绩差者多采用直译策略. 可见,表征是解决问题的关键.
张锦坤等研究了大学生解决三步比较应用题的表征策略. 结果发现:大学生被试解三步式比较应用题存在直译策略和问题模型策略;解题正确率高者解难度较大的应用题时倾向于对应用题的情境进行加工,即采用问题模型策略,正确率低者未表现出这一倾向,往往采用直译策略.
冯虹(2007)等对不同年级学生解比较应用题过程中的解题成绩和眼动指标进行分析. 发现:随着年级的增高,学生解题过程中的各种眼动指标——平均注视时间、注视次数、相对注视次数之间的差异逐渐缩小;解题时数学成绩优生与差生的眼动模式差异显著,成绩优生在表征“关系句”、“关系词”和“数字”时眼动模式与数学成绩差生差异显著,解不一致性题目的眼动指标差异显著. 为什么随着年龄的增高各种眼动指标之间的差异逐渐缩小呢?或许是随着年年级的增高,学生能够从整体上把握信息,除了关注题目中的“关系词”之外,还会注视题目的其它相关信息. 高年级学生已经不再满足于表征题目的表面信息,更注重了题目的整体结构,根据题目所描绘的情境来构建数学模型. 也就是随着年级的增高,学生可能更倾向于建构问题模型策略,在对问题的来龙去脉有了清楚地了解之后,语义表征就起了关键的作用,这样,学生就可以利用已有的知识经验来建立语义网络.
研究还发现,一般情况下,学习成绩优生对“关系词”的注视时间长于差生,对“数字”的注视次数显著少于差生. 这可能说明优生注重分析“关系词”的结构和两个量之间的数量关系,充分地理解了题目描述的问题情境,然后才选择注视题目中的“数字”,完成解题任务. 而差生没有进行正确的语义和次序上的转换,较少关注“关系词”,直接把题目中的数字与“关系词”相联系,因而导致了较低的正确率. 所以,这就给我们一个启示:教师在教学过程中要注意训练解题差的学生首先判断“关系句”的语义结构和表述顺序,对于正向表述的“关系句”可直接根据“关系词”来选择算法,而对于负向表述的“关系句”,要在转换“关系句”表述顺序的基础上,重新建构“关系词”,并以此来选择算法.
2 几何应用题解题过程的眼动研究
解几何应用题是一个复杂的认知过程. 解题者通常要经历读题、构建图形、在已有图式中搜索、从记忆中提取相关信息、推理、计算等过程. 几何研究的主要对象是“图”,所以图形在几何解题中起着很重要的作用. 几何题的加工对象多是角、线段、图形和相关的文字. 图形的直观性可以使解题者很容易发现各基本元素之间的关系,有助于问题的解决.
当前,对几何解题过程中的认知加工和眼动指标之间的研究还不是很多,但是会经常看到几何图形推理的眼动研究. Bethillo Fox等人发现在几何类比题目中有两种问题解决策略:规则建构策略和选项剔除策略. 规则建构策略是个体根据问题情境主动建构理想答案,然后把理想答案和各个选项相比较,选择最符合的选项. 选项剔除策略是个体在选择前,反复看题干和选项,按一定的规则剔除不合适的选项. 一般来说,成绩高者更倾向于规则建构策略,成绩低者较多地选择后者.
Epelboim等人提出了一种量化的模型——动眼几何推理引擎(OGRE)模型. 其核心内容是视觉工作记忆,它负责对视觉感知到的内容做短时储存. 储存的视觉对象是有意义的并与当前的任务背景有关. 记忆映像进入视觉工作记忆的机制就是动眼扫描,遗忘的机制就是当前扫描的对象和已存在于视觉工作记忆中的对象之间产生了干扰. 该模型认为几何解题过程中视觉工作记忆容量是一个常数. 它的原理就是某个新元素的记忆映像添加到视觉工作记忆中,原来存在的某个元素的记忆映像就会被覆盖. 用该元素的记忆映像被覆盖的概率就可以估计视觉工作记忆的容量. 视觉工作记忆容量的大小与题目的复杂程度无关. 由此可见,该模型可以解释几何解题过程中的眼动规律并估计视觉工作记忆容量. 但过程很繁琐,只适用于解释简单几何题的解题过程,不适用于解释复杂的几何题(如平面几何证明题、立体几何题等)的解题过程.
3 总结
数学应用题心理表征的研究内容正在进一步拓展和加深,研究手段也日益精确化和科学化. 国外对数学应用题解题过程的眼动研究从20世纪60年代开始至今将近50年,而且随着眼动技术的发展,有更多的研究者将参与到这一领域的研究. 在我国,有学者用眼动指标在汉语阅读方面做了一些研究,并取得了一些研究成果. 但是对数学解题过程的眼动研究涉足还很少,几何题更少. 而且,目前已有的眼动研究中使用的眼动指标也很少,有的眼动指标定义得不是很明确,如瞳孔直径. 所以还需要更多的研究者来关注这个方面,加强这一领域的研究. 该领域的研究可以帮助人们更加清晰地了解儿童表征数学问题的特点及内在机制,掌握儿童数学思维变化的规律.
此外,应用题的教学一直是教师比较头疼和关注的. 深化对数学问题表征的研究,深入分析学生解题过程中的认知加工过程,可以试图寻找应用题教学中的突破点,这样教师就可以以学生的心理特点为基础,抓住学生的认知特点,寻找合适的教学方法,采用适当的教学方式、教学材料,创设问题情境,让教育能够走在学生心理发展的前面,通过教育促进学生身心的发展,对于提高数学教学效果也有深刻的指导意义.
参考文献
[1] 阎国利,白学军. 汉语阅读的眼动研究[J].心理与行为研究,2007,(3).
[2] 周新林. 加减文字题解决研究概述[J].心理科学进展,2005,642-650.
[3] 冯虹.比较应用题解题过程的眼动研究[J].心里科学,2007,(1):37-40.
[4] Mayer R E,Larkin J H,Kadane J B.A cognitive analysis of mathematical problem-solving ability.In R.J.Sternberg(Ed.),Advances in the Psychology of Human Intelligence.Vol(2), Hillsdale,NJ:Erlbaum. 1984,231-73.
[5] Hegaerty M, Mayer R E, Monk C A. Comprehension of arithmetic word problem: a conparision of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Education Psychology, 1995,87(1):18-32.
[6] Just M, Carpenter P A. The psychology of reading and language comprehension. Allya and Bacon. Inc.1987,370-375.
[7] 张锦坤,沈徳立,臧传丽. 算数应用题表征策略的眼动研究.心理与行为研究[J],2006(4),188-193.
[8] 于素红,方俊明,王新法. 聋生和听力正常学生解决加减文字题的眼动比较研究.心理科学,2007(4),861-864.
作者简介 张晓丽,女,1983年生,河南新乡人,硕士研究生,主要从事实验心理学与思维心理学研究.