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摘要：研究磁场作用下导电旋转圆形薄板的行波动力学特性问题。根据哈密顿原理推导出磁场作用下旋转运动圆板的磁弹性振动控制方程，根据边界条件设定行波特性振型函数，应用伽辽金积分得到了行波动力学特征方程。通过算例分析旋转运动圆板在磁场作用下的前、后行波振动频率变化和各阶模态的临界转速与振动失稳问题，并得到了圆形薄板临界转速对应各阶模态的变化规律，分析了不同磁场强度对各阶模态振动频率的影响曲线和不同振动模态阻尼的变化曲线，以及相同磁场作用下旋转圆板厚度变化对振动频率和临界转速的影响曲线。结果表明：磁场、转速、板厚等参数对旋转圆板的行波振动有显著影响。
关键词：行波动力学；导电圆板；磁弹性；旋转运动
中图分类号：0442；0321
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0020-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.003
引言
在實际工程中，旋转运动和电磁结构在土木、机械以及航空航天等众多领域的高端设备与运动结构中广泛存在。在磁场作用下的磁弹性结构，因受机械场和电磁场等多种因素的作用，通常会引发较为明显的振动现象，从而也会对系统的正常稳定运行产生影响。所以，加强对电磁场条件下旋转运动结构磁弹性振动问题的研究具有重要理论和现实意义。
旋转圆板横向振动是十分复杂的一种振动形式，通常其振动模态带有节径阵型，是由两个转向相反的前行波和后行波组成，在磁场作用下，随着转速的不断增大，旋转圆板的后行波频率将随之降低，当转速达到某一临界值时，其某些振动形态对应的后行波频率将减小到零，而此刻任意横向载荷都将致使旋转圆板出现共振现象，进而引起动力屈曲失稳等状况的发生。Lainb H和Southwe11 RV等最早研究了中心夹紧旋转圆板的行波动力学问题，并考虑了弯曲应力与离心力对圆板振动的影响。Gao Yuanwen等研究了导电圆板的电磁热机械特性，采用分析涡流的T方法获得了导电圆板的解析解。Hu Yuda等研究了导电薄板在磁场中的组合共振和谐波共振等问题，建立了轴向运动导电板的磁热弹性耦合动力学理论模型。Allahver-dizadeh A等讨论了磁弹性薄板在横向均匀磁场中的屈曲。chen Yuren和chen Lienwen运用有限元方法分析了旋转夹层板的非轴对称振动与稳定问题，讨论了不同参数对振动的影响。唐亮等研究了旋转运动圆环板动态特性的行波解。李龙飞和王省哲等针对含有黏弹性夹芯层旋转圆板在气动载荷作用下的行波动力学及稳定性问题进行了研究。赵飞云和洪嘉振等建立了高速旋转柔性矩形薄板的耦合动力学模型，并应用模态截断法进行了求解。
本文研究在磁场作用下旋转圆板横向振动的行波动力学特性，运用伽辽金方法求解圆板的磁弹性振动方程，分析磁场、转速、板厚等不同参数对旋转圆板临界转速，以及对前、后行波振动频率的影响。
1.旋转圆板的磁弹性振动方程
文中所研究旋转圆板受横向磁场B。。的作用，转速为Ω，圆环板厚度为h，边界条件为在r=ro处固定并夹紧，在边缘r=R处保持自由，圆形薄板的模型示意图如图1所示。
图2和3分别给出了在有无磁场作用下，随着转速变化，各阶模态前行波振动频率的不同变化。通过图中曲线可得，当不受磁场影响时，薄板的各阶振动模态其振动频率会随转速的增加而呈现近似线性的上升趋势，这可以归结为当增大转速时圆板的刚度会变大，进而圆板离心体力将随之增大，同时随振动模态的增加，相应各转速下的振动频率也在增大。当受到磁场作用时，曲线的总体走势和各模态频率的变化规律虽与无磁场作用时相同，但是因磁场作用，会使得旋转圆板振动受到磁场阻尼的影响，进而会使得各阶模态相应转速所对应的振动频率减小，且随模态的升高，振动频率降低的幅度会越发明显。
图4和5分别给出了在有无磁场作用下，铝制薄板随转速的不同，其各阶模态后行波振动频率相应出现的不同变化。从图中可以看出，圆板后行波的振动频率除一些较低阶模态，如（0，0）阶，不存在引起动力失稳的临界转速之外，对于阶次较高的振动模态其振动频率均会先随着转速的增大而降低直至达到零值，而后将随着转速的增大而逐渐增大，该零值位置所对应的转速即为临界转速。在受到磁场作用时，各阶模态的整体振动频率均会降低，并且随振动模态阶次的升高，其频率降低的幅度也会增大。此外，虽然磁场会影响圆板的振动频率，但其不会对引起动力失稳的临界转速产生影响；同时，图6则给出了各阶模态所对应的临界转速，由图可得，各阶模态的临界转速会先减小后增大，在（0，2）阶值为最小，之后会以近似线性的关系上升。度对振动频率的影响。由图可得，对于每阶振动模态而言，其临界转速不会随磁感应强度的增大而发生变化，即在磁场作用下，每一阶振动模态均对应唯一临界转速值；同时当n≥2时，其临界转速也会随模态阶次的增加而增大。（0，0）模态时，其频率随转速的增大而变化很小，几乎为不变，而当磁感应强度足够大（B≥7T）时，频率将无限接近于0，此时圆板可认为是不发生振动，同样，由图中各对应模态其频率的幅值可知。当n≥2时，各阶模态随阶次的升高其受到磁场作用的灵敏度会相应增大，当磁场增强时，模态越高，其频率降低的幅度会越快。当磁场达到某一强度时，转速为零，所对应的固有频率也会降为零。随着转速的增大，其固有频率会先增大，之后又减小，直至减小到零，而后会继续增大。此外，当初始转速为零时，随模态的升高，可使其固有频率降为零的临界磁场强度逐渐减小。
图11与12分别给出了B=3T时薄板后行波各阶模态阻尼随转速的变化情况及发生失稳时的临界转速对应值。由图可得，对于高阶模态（n≥2），当磁场达到特定强度后，磁场会对非旋转圆板产生很大的阻尼，之后当圆板发生转动的瞬间，阻尼将迅速下降到某一正值，之后会随转速的增大而逐渐减小。因各阶模态初始时阻尼为正值，此时阻尼会对圆板振动起阻碍作用，并且随着转速的增大阻尼逐渐减小，当其减小为负值后，阻尼会对圆板的振动起促进作用，从而导致圆板发生磁弹性振动失稳现象，而阻尼为零所对应的转速值即为各阶模态在磁场作用下的振动失稳临界转速。通过对比图6和12可以得到，使旋转薄板发生动力屈曲失稳的临界转速与发生磁弹性振动失稳的临界转速较为接近。
图13～14给出了在转速一定的条件下，受和不受磁场作用时，旋转薄板厚度对后行波振动频率的影响关系，给定的旋转速度为Ω=10000r/min，图13中磁感应强度为B=2T。由图可得，低阶模态（0，0），（0，1）所对应的频率会随圆板厚度的增大而增大，而对于高阶模态（n≥2），其后行波频率会随着厚度的增大先减小到零值而后增大。出现这一情况原因是在转速和磁感应强度一定时，旋转圆板频率会随着厚度的变化而变化，且只有达到某一特定厚度时才会使圆板频率降为0，即达到临界转速。当磁感应强度B=2T时，低阶模态不存在临界转速，旋转圆板各阶模态的临界转速值会随板厚的增加而呈线性增大，这主要是因为随着圆板厚度的增大使圆板弯曲刚度相应增强，进而相应的模态频率会增大，临界转速也会随之增大。图15给出了在磁场强度B=2T时，圆板高阶模态（n≥2）随厚度变化其临界转速的变化曲线。
4.结论
本文主要对磁场中旋转圆板的横向振动问题进行了研究，首先推导出磁弹性振动方程，然后通过伽辽金积分求解出圆形薄板的横向振动方程，进而分析了在磁场作用下旋转圆板的行波动力学特性。结果表明：（1）行波振动频率会随着磁场的增大而减小，且磁场强度不会影响后行波振动的临界转速。（2）受磁场影响，高阶模态（n≥2）阻尼会随转速的增大而降低，当降至负值后，圆板会发生磁弹性振动失稳现象，且当磁场强度足够大时，会使非旋转圆板产生较大阻尼，而随着圆板转速的增大，阻尼会迅速减小。（3）在磁场作用下，圆板后行波低阶模态的振动频率会随厚度的增大而增大，且各阶模态临界转速也会随厚度的增加呈线性的增大。
关键词：行波动力学；导电圆板；磁弹性；旋转运动
中图分类号：0442；0321
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0020-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.003
引言
在實际工程中，旋转运动和电磁结构在土木、机械以及航空航天等众多领域的高端设备与运动结构中广泛存在。在磁场作用下的磁弹性结构，因受机械场和电磁场等多种因素的作用，通常会引发较为明显的振动现象，从而也会对系统的正常稳定运行产生影响。所以，加强对电磁场条件下旋转运动结构磁弹性振动问题的研究具有重要理论和现实意义。
旋转圆板横向振动是十分复杂的一种振动形式，通常其振动模态带有节径阵型，是由两个转向相反的前行波和后行波组成，在磁场作用下，随着转速的不断增大，旋转圆板的后行波频率将随之降低，当转速达到某一临界值时，其某些振动形态对应的后行波频率将减小到零，而此刻任意横向载荷都将致使旋转圆板出现共振现象，进而引起动力屈曲失稳等状况的发生。Lainb H和Southwe11 RV等最早研究了中心夹紧旋转圆板的行波动力学问题，并考虑了弯曲应力与离心力对圆板振动的影响。Gao Yuanwen等研究了导电圆板的电磁热机械特性，采用分析涡流的T方法获得了导电圆板的解析解。Hu Yuda等研究了导电薄板在磁场中的组合共振和谐波共振等问题，建立了轴向运动导电板的磁热弹性耦合动力学理论模型。Allahver-dizadeh A等讨论了磁弹性薄板在横向均匀磁场中的屈曲。chen Yuren和chen Lienwen运用有限元方法分析了旋转夹层板的非轴对称振动与稳定问题，讨论了不同参数对振动的影响。唐亮等研究了旋转运动圆环板动态特性的行波解。李龙飞和王省哲等针对含有黏弹性夹芯层旋转圆板在气动载荷作用下的行波动力学及稳定性问题进行了研究。赵飞云和洪嘉振等建立了高速旋转柔性矩形薄板的耦合动力学模型，并应用模态截断法进行了求解。
本文研究在磁场作用下旋转圆板横向振动的行波动力学特性，运用伽辽金方法求解圆板的磁弹性振动方程，分析磁场、转速、板厚等不同参数对旋转圆板临界转速，以及对前、后行波振动频率的影响。
1.旋转圆板的磁弹性振动方程
文中所研究旋转圆板受横向磁场B。。的作用，转速为Ω，圆环板厚度为h，边界条件为在r=ro处固定并夹紧，在边缘r=R处保持自由，圆形薄板的模型示意图如图1所示。
图2和3分别给出了在有无磁场作用下，随着转速变化，各阶模态前行波振动频率的不同变化。通过图中曲线可得，当不受磁场影响时，薄板的各阶振动模态其振动频率会随转速的增加而呈现近似线性的上升趋势，这可以归结为当增大转速时圆板的刚度会变大，进而圆板离心体力将随之增大，同时随振动模态的增加，相应各转速下的振动频率也在增大。当受到磁场作用时，曲线的总体走势和各模态频率的变化规律虽与无磁场作用时相同，但是因磁场作用，会使得旋转圆板振动受到磁场阻尼的影响，进而会使得各阶模态相应转速所对应的振动频率减小，且随模态的升高，振动频率降低的幅度会越发明显。
图4和5分别给出了在有无磁场作用下，铝制薄板随转速的不同，其各阶模态后行波振动频率相应出现的不同变化。从图中可以看出，圆板后行波的振动频率除一些较低阶模态，如（0，0）阶，不存在引起动力失稳的临界转速之外，对于阶次较高的振动模态其振动频率均会先随着转速的增大而降低直至达到零值，而后将随着转速的增大而逐渐增大，该零值位置所对应的转速即为临界转速。在受到磁场作用时，各阶模态的整体振动频率均会降低，并且随振动模态阶次的升高，其频率降低的幅度也会增大。此外，虽然磁场会影响圆板的振动频率，但其不会对引起动力失稳的临界转速产生影响；同时，图6则给出了各阶模态所对应的临界转速，由图可得，各阶模态的临界转速会先减小后增大，在（0，2）阶值为最小，之后会以近似线性的关系上升。度对振动频率的影响。由图可得，对于每阶振动模态而言，其临界转速不会随磁感应强度的增大而发生变化，即在磁场作用下，每一阶振动模态均对应唯一临界转速值；同时当n≥2时，其临界转速也会随模态阶次的增加而增大。（0，0）模态时，其频率随转速的增大而变化很小，几乎为不变，而当磁感应强度足够大（B≥7T）时，频率将无限接近于0，此时圆板可认为是不发生振动，同样，由图中各对应模态其频率的幅值可知。当n≥2时，各阶模态随阶次的升高其受到磁场作用的灵敏度会相应增大，当磁场增强时，模态越高，其频率降低的幅度会越快。当磁场达到某一强度时，转速为零，所对应的固有频率也会降为零。随着转速的增大，其固有频率会先增大，之后又减小，直至减小到零，而后会继续增大。此外，当初始转速为零时，随模态的升高，可使其固有频率降为零的临界磁场强度逐渐减小。
图11与12分别给出了B=3T时薄板后行波各阶模态阻尼随转速的变化情况及发生失稳时的临界转速对应值。由图可得，对于高阶模态（n≥2），当磁场达到特定强度后，磁场会对非旋转圆板产生很大的阻尼，之后当圆板发生转动的瞬间，阻尼将迅速下降到某一正值，之后会随转速的增大而逐渐减小。因各阶模态初始时阻尼为正值，此时阻尼会对圆板振动起阻碍作用，并且随着转速的增大阻尼逐渐减小，当其减小为负值后，阻尼会对圆板的振动起促进作用，从而导致圆板发生磁弹性振动失稳现象，而阻尼为零所对应的转速值即为各阶模态在磁场作用下的振动失稳临界转速。通过对比图6和12可以得到，使旋转薄板发生动力屈曲失稳的临界转速与发生磁弹性振动失稳的临界转速较为接近。
图13～14给出了在转速一定的条件下，受和不受磁场作用时，旋转薄板厚度对后行波振动频率的影响关系，给定的旋转速度为Ω=10000r/min，图13中磁感应强度为B=2T。由图可得，低阶模态（0，0），（0，1）所对应的频率会随圆板厚度的增大而增大，而对于高阶模态（n≥2），其后行波频率会随着厚度的增大先减小到零值而后增大。出现这一情况原因是在转速和磁感应强度一定时，旋转圆板频率会随着厚度的变化而变化，且只有达到某一特定厚度时才会使圆板频率降为0，即达到临界转速。当磁感应强度B=2T时，低阶模态不存在临界转速，旋转圆板各阶模态的临界转速值会随板厚的增加而呈线性增大，这主要是因为随着圆板厚度的增大使圆板弯曲刚度相应增强，进而相应的模态频率会增大，临界转速也会随之增大。图15给出了在磁场强度B=2T时，圆板高阶模态（n≥2）随厚度变化其临界转速的变化曲线。
4.结论
本文主要对磁场中旋转圆板的横向振动问题进行了研究，首先推导出磁弹性振动方程，然后通过伽辽金积分求解出圆形薄板的横向振动方程，进而分析了在磁场作用下旋转圆板的行波动力学特性。结果表明：（1）行波振动频率会随着磁场的增大而减小，且磁场强度不会影响后行波振动的临界转速。（2）受磁场影响，高阶模态（n≥2）阻尼会随转速的增大而降低，当降至负值后，圆板会发生磁弹性振动失稳现象，且当磁场强度足够大时，会使非旋转圆板产生较大阻尼，而随着圆板转速的增大，阻尼会迅速减小。（3）在磁场作用下，圆板后行波低阶模态的振动频率会随厚度的增大而增大，且各阶模态临界转速也会随厚度的增加呈线性的增大。