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摘要：教数学不仅让学生多做题目，更重要的是让学生去领悟数学，“会”应是我们教学与学习追求的目标，“会”是知识内化到认知结构的表现，“会”是学生建构了“自己的理解”，“会”是能力形成的体现。
关键词：薄弱高中；既懂又会；自己的理解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0091
薄弱高中一般泛指在一个地区中考录取中，排在最后一个批次的二、三级或者非达标普通高中学校，我校高一新生入学成绩一般在全市高中排名在靠后20%。大多数是本地区学习相对落后的学生，有很多学生初中的数学基础薄弱。如何提高这些学生的数学成绩，是摆在每一位薄弱高中数学教师面前不可回避的问题。
一、问题提出
在必修5的模块考试中有一道解三角形的试题：在△ABC中，已知∠ABC= ，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。
评分标准给出的解法：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC= = =- ，∴∠ADC= ，∠ADB= ，在△ABD中，AD=10，∠ABC= ，∠ADB= ，由正弦定理得， = ，
∴AB= = = =5
本题主要考查正、余弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活应用正弦定理和余弦定理，属于基础题。在考前复习提纲中学生做过同样类型的题，也讲评过，可是考后分析试卷，本题完成的情况比预想的要差，考试情况统计：总分12分，文科4个班平均分：3.08分，其中文科考生有169人中有97人得零分，理科4个班平均分6.09分，其中理科考生176人中有54人得零分，存在的主要问题：
（1）思路不清，无从下手，不知道要先解，分析解决问题的能力差。
（2）特殊角的三角函数值记错，如sin = ；特殊角的三角函数值记错。
在课堂上，笔者自我感觉主导作用发挥得比较恰当，学生上课也比较注意听讲，为什么考试效果不尽如人意呢？教师的教与学生的学究竟存在什么问题？为了探明问题的根源，笔者对做错的學生进行了问卷调查，请他们详细说明不能完成的原因。对反馈的情况进行归类，有以下几类：
1. 源于教师的因素
大部分学生反映当时讲评时教师主要是讲授为主，上课教师只是讲了思路，时间比较紧，就抓紧讲了下一题，没有让学生在课堂上探究，虽然当时自己好像听懂了，但是遇到新问题又不知道如何分析？
2. 源于学生的习惯因素
（1）课堂上由于没有课堂笔记，没能及时地演算、解题后也很少反思、归纳，导致“懂而不会”。
（2）作业不能独立完成，有时抄作业，也不理解，只是应付完成作业的任务，学习一知半解。
（3）对于正弦定理和余弦定理能够解决哪几类解三角形的问题没有认真复习，知识遗忘快。
二、让学生建构自己的理解
1. 创设学生自主发展的学习环境
高中数学由于内容多、难度大、时间紧、无论是新授课还是复习课，课堂上教师多采用直接讲授法，新课标实施后，教师教学理念有变化，但常规课教学状况改观不大。与此相反的结果是，学生的学习效果与教师的讲似乎关系不大，很明显学习效果主要取决于学生学的情况。这就要求教师在平时教学中改变学生被动听、懂而不会的情况，多创造学生自主发展的学的活动环境，促进学生自主学习、主动学习、主动理解、主动建构、主动应用、主动创造、主动发展。教师要信任学生的学习潜能，给学生自主学习的时间、空间和机会。
在试卷分析中，我们也看到了学生的潜能，有的学生给出了和评分标准不同的解答：
解法1. （评分标准提供的答案）先解三角形ADC，求出cos∠ADC，再解三角形ABD；
解法2. 也有学生先求出cos∠C，再解三角形ABC。
解法3. 通过作高，构造RT△，列方程求解。
解法如下：过A点作，垂足为F，设FD=x，
∵AF2=AD2-FD2=102-x2
又AF2=AC2-FC2=142-（x 6）2
∴102-x2=142-（x 6）2
∴x=5
∴AF2=100-25=75
∴AF2=5
∵∠ABC=
∴AF=BF=5
∵AB2=AF2 BF2=150.
∴AB=5
这位学生通过添加辅助线把解一般三角形问题转化为直角三角形的问题，利用AF是两个三角形的公共边通过方程的思想列方程求解。我们该为他点赞，只要相信学生，他们会给我们带来惊喜。
教师的教学不能以教师的思维取代学生的思维，替学生想得越多，学生很快也就会放弃独立思考的习惯。
2. 创设学生建构“自己的理解”的学习过程
建构主义的核心观点是：学习并非是学生对教师所授知识的被动接受，而是一个以其已有知识和经验为基础的主动建构过程。另一方面，由于任何活动都是主体的主动建构，因此，即使就同一数学内容的学习，不同的个体也完全可能由于知识背景和思维方法等的差异而具有不同的思维过程。因此，学习过程是学生个性理解的过程。尽管外在的知识结构具有严密的逻辑性、完备性和结构性，但是，人们在理解这些知识结构时会根据个人的建构做出不同的解释，形成不同的表征系统。概念、公式等学习中要让学生体会其中的关键词，说出自己了理解，甚至自己举出相关例子来反映自己的理解。学生思考问题是充满个性化的，面对同一问题都有自己的理解，都有自己的思考视觉，从案例中可以看出，有些学生选择先求cos∠ADC，有的学生先求cos∠C，有的学生从特殊化切入（将一般三角形转化为特殊的直角三角形）。只有学生对概念、法则、公式等形成自己的理解，才能灵活运用，由懂到会。坚持“基于学生的理解”的原则，多了解学生可能出现的花样繁多的错误和各种可能的解法，并与他们一起讨论、辨析、寻求通法，考试效果可能会更好。有时教师不辞辛苦地滔滔不绝地讲解，其实学生并不“领情”，因为表面上是对学生负责，实质上是“剥夺”了本该属于学生思考的时间与空间，改变了学生的思维方向，削弱了学生的积极性和主动性。 3. 创设暴露解决问题的分析过程
平时要舍得花时间对问题进行深入挖掘，多角度思考，纵横联系，充分暴露解决问题的思维过程，促进学生由懂到会，要真正“研究”解题。
在试卷讲评课上笔者在考题的基础上进行变式1：
在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，则求BD的长。
教师先给予充分的时间让学生讨论、充分暴露学生的思维、在学生讨论的过程中：
教师提问学生甲，学生甲面带难色，教师在学生的疑难处进行点拨：（1）要求BD的长，一般先考虑解哪个三角形？（生答：解三角形ABD） （2）三角形ABD是否具备可解的三个条件（其中至少有一条是边）？生答：还缺一个条件。（3）可否根据已知条件求出呢？△ABD中哪个角与已知角有联系呢？生答：发现∠BAD與∠BAC有联系，可以根据诱导公式求出。
学生甲在教师的启发引导下找到了思路，脸上也露出了开心的笑容。
要点如下：sin∠BAC=sin（∠BAD ）=cos∠BAD=
根据余弦定理可得：
cos∠BAD=
=
∴BD=
课后教师又布置变式2作为作业：
在四边形ABCD中，已知则求BC的长。
通过作业的批改，学生完成情况良好。
4. 创设方法论层面引导的学习过程
学生的“会”，需要有一定的思维固着点，即有能够迁移的范例，有可资利用的通法，有解答数学问题的一些窍门。如涉及两边及其中一边对角时一般用正弦定理，当“已知 所求=三边 一角一起玩耍”时，就用余弦定理等。学生解题意识形成后仍旧会忘记，要在不断应用中巩固。教师要提供恰当评估和适当的反馈矫正练习，不断强化学生的解题意识。
薄弱高中的大部分学生数学学习习惯差，学习兴趣低，基础知识匮乏。知识遗忘较快，课堂上听课容易分散注意力，对数学学习的信心不足，这更要求教师要放低起点，不能以教师的思维代替学生的思维，课堂上要给予学生充分动手、动脑的时间，首先要保证学生“懂”，然后将“懂”发展为“会”，继而提高到“会学”。让学生建构“自己的理解”达到既懂又会。
参考文献：
[1] 李广修，杨兴军.厘清“懂”和“会”的关系 促进学生既“懂”又“会”[J].中学数学教学参考：上旬，2013（6）.
（作者单位：福建省厦门市海沧中学 361000）
关键词：薄弱高中；既懂又会；自己的理解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0091
薄弱高中一般泛指在一个地区中考录取中，排在最后一个批次的二、三级或者非达标普通高中学校，我校高一新生入学成绩一般在全市高中排名在靠后20%。大多数是本地区学习相对落后的学生，有很多学生初中的数学基础薄弱。如何提高这些学生的数学成绩，是摆在每一位薄弱高中数学教师面前不可回避的问题。
一、问题提出
在必修5的模块考试中有一道解三角形的试题：在△ABC中，已知∠ABC= ，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。
评分标准给出的解法：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC= = =- ，∴∠ADC= ，∠ADB= ，在△ABD中，AD=10，∠ABC= ，∠ADB= ，由正弦定理得， = ，
∴AB= = = =5
本题主要考查正、余弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活应用正弦定理和余弦定理，属于基础题。在考前复习提纲中学生做过同样类型的题，也讲评过，可是考后分析试卷，本题完成的情况比预想的要差，考试情况统计：总分12分，文科4个班平均分：3.08分，其中文科考生有169人中有97人得零分，理科4个班平均分6.09分，其中理科考生176人中有54人得零分，存在的主要问题：
（1）思路不清，无从下手，不知道要先解，分析解决问题的能力差。
（2）特殊角的三角函数值记错，如sin = ；特殊角的三角函数值记错。
在课堂上，笔者自我感觉主导作用发挥得比较恰当，学生上课也比较注意听讲，为什么考试效果不尽如人意呢？教师的教与学生的学究竟存在什么问题？为了探明问题的根源，笔者对做错的學生进行了问卷调查，请他们详细说明不能完成的原因。对反馈的情况进行归类，有以下几类：
1. 源于教师的因素
大部分学生反映当时讲评时教师主要是讲授为主，上课教师只是讲了思路，时间比较紧，就抓紧讲了下一题，没有让学生在课堂上探究，虽然当时自己好像听懂了，但是遇到新问题又不知道如何分析？
2. 源于学生的习惯因素
（1）课堂上由于没有课堂笔记，没能及时地演算、解题后也很少反思、归纳，导致“懂而不会”。
（2）作业不能独立完成，有时抄作业，也不理解，只是应付完成作业的任务，学习一知半解。
（3）对于正弦定理和余弦定理能够解决哪几类解三角形的问题没有认真复习，知识遗忘快。
二、让学生建构自己的理解
1. 创设学生自主发展的学习环境
高中数学由于内容多、难度大、时间紧、无论是新授课还是复习课，课堂上教师多采用直接讲授法，新课标实施后，教师教学理念有变化，但常规课教学状况改观不大。与此相反的结果是，学生的学习效果与教师的讲似乎关系不大，很明显学习效果主要取决于学生学的情况。这就要求教师在平时教学中改变学生被动听、懂而不会的情况，多创造学生自主发展的学的活动环境，促进学生自主学习、主动学习、主动理解、主动建构、主动应用、主动创造、主动发展。教师要信任学生的学习潜能，给学生自主学习的时间、空间和机会。
在试卷分析中，我们也看到了学生的潜能，有的学生给出了和评分标准不同的解答：
解法1. （评分标准提供的答案）先解三角形ADC，求出cos∠ADC，再解三角形ABD；
解法2. 也有学生先求出cos∠C，再解三角形ABC。
解法3. 通过作高，构造RT△，列方程求解。
解法如下：过A点作，垂足为F，设FD=x，
∵AF2=AD2-FD2=102-x2
又AF2=AC2-FC2=142-（x 6）2
∴102-x2=142-（x 6）2
∴x=5
∴AF2=100-25=75
∴AF2=5
∵∠ABC=
∴AF=BF=5
∵AB2=AF2 BF2=150.
∴AB=5
这位学生通过添加辅助线把解一般三角形问题转化为直角三角形的问题，利用AF是两个三角形的公共边通过方程的思想列方程求解。我们该为他点赞，只要相信学生，他们会给我们带来惊喜。
教师的教学不能以教师的思维取代学生的思维，替学生想得越多，学生很快也就会放弃独立思考的习惯。
2. 创设学生建构“自己的理解”的学习过程
建构主义的核心观点是：学习并非是学生对教师所授知识的被动接受，而是一个以其已有知识和经验为基础的主动建构过程。另一方面，由于任何活动都是主体的主动建构，因此，即使就同一数学内容的学习，不同的个体也完全可能由于知识背景和思维方法等的差异而具有不同的思维过程。因此，学习过程是学生个性理解的过程。尽管外在的知识结构具有严密的逻辑性、完备性和结构性，但是，人们在理解这些知识结构时会根据个人的建构做出不同的解释，形成不同的表征系统。概念、公式等学习中要让学生体会其中的关键词，说出自己了理解，甚至自己举出相关例子来反映自己的理解。学生思考问题是充满个性化的，面对同一问题都有自己的理解，都有自己的思考视觉，从案例中可以看出，有些学生选择先求cos∠ADC，有的学生先求cos∠C，有的学生从特殊化切入（将一般三角形转化为特殊的直角三角形）。只有学生对概念、法则、公式等形成自己的理解，才能灵活运用，由懂到会。坚持“基于学生的理解”的原则，多了解学生可能出现的花样繁多的错误和各种可能的解法，并与他们一起讨论、辨析、寻求通法，考试效果可能会更好。有时教师不辞辛苦地滔滔不绝地讲解，其实学生并不“领情”，因为表面上是对学生负责，实质上是“剥夺”了本该属于学生思考的时间与空间，改变了学生的思维方向，削弱了学生的积极性和主动性。 3. 创设暴露解决问题的分析过程
平时要舍得花时间对问题进行深入挖掘，多角度思考，纵横联系，充分暴露解决问题的思维过程，促进学生由懂到会，要真正“研究”解题。
在试卷讲评课上笔者在考题的基础上进行变式1：
在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，则求BD的长。
教师先给予充分的时间让学生讨论、充分暴露学生的思维、在学生讨论的过程中：
教师提问学生甲，学生甲面带难色，教师在学生的疑难处进行点拨：（1）要求BD的长，一般先考虑解哪个三角形？（生答：解三角形ABD） （2）三角形ABD是否具备可解的三个条件（其中至少有一条是边）？生答：还缺一个条件。（3）可否根据已知条件求出呢？△ABD中哪个角与已知角有联系呢？生答：发现∠BAD與∠BAC有联系，可以根据诱导公式求出。
学生甲在教师的启发引导下找到了思路，脸上也露出了开心的笑容。
要点如下：sin∠BAC=sin（∠BAD ）=cos∠BAD=
根据余弦定理可得：
cos∠BAD=
=
∴BD=
课后教师又布置变式2作为作业：
在四边形ABCD中，已知则求BC的长。
通过作业的批改，学生完成情况良好。
4. 创设方法论层面引导的学习过程
学生的“会”，需要有一定的思维固着点，即有能够迁移的范例，有可资利用的通法，有解答数学问题的一些窍门。如涉及两边及其中一边对角时一般用正弦定理，当“已知 所求=三边 一角一起玩耍”时，就用余弦定理等。学生解题意识形成后仍旧会忘记，要在不断应用中巩固。教师要提供恰当评估和适当的反馈矫正练习，不断强化学生的解题意识。
薄弱高中的大部分学生数学学习习惯差，学习兴趣低，基础知识匮乏。知识遗忘较快，课堂上听课容易分散注意力，对数学学习的信心不足，这更要求教师要放低起点，不能以教师的思维代替学生的思维，课堂上要给予学生充分动手、动脑的时间，首先要保证学生“懂”，然后将“懂”发展为“会”，继而提高到“会学”。让学生建构“自己的理解”达到既懂又会。
参考文献：
[1] 李广修，杨兴军.厘清“懂”和“会”的关系 促进学生既“懂”又“会”[J].中学数学教学参考：上旬，2013（6）.
（作者单位：福建省厦门市海沧中学 361000）