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一、教学目标
（一）知识目标
1.理解等比数列的前n 项和公式 的推导过程及方法
2.理解并掌握求和公式的简单应用
（二）能力目标
培养学生的观察、发现、分析处理问题的能力。
（三）情感目标
利用生活实例引入，激发了学生想利用数学知识解决实际生活问题的热情。
重点：等比数列前n项和公式推导及应用。
难点：等比数列前n项和公式推导方法——错位相减法。（根据Sn特点乘以公比q造成错位，比较难想到。）
教法：讲练结合法，启发式教学， 自主、合作、探究。
教具：制成幻灯片、或使用多媒体教学。
二、教学设计
（一）复习引入[复习前一节课所讲的内容]
1.等比数列的定义： [an+1an=q]（n∈N+，q≠0）
2.等比数列的通项公式：an=a1·qn-1 （n∈N+，a1，q≠0）
3.等比数列最主要的两个性质：①a，b，c成等比数列[?]b2=ac;②在等比数列{an}中，若m+n=p+q，则ap·aq=am·an.
同学们，我们在前面学习了等差数列的前n 项和，那么等比数列的前n 项和，又将如何求解呢？
（二）新课讲授
1.引例
（师）国际象棋起源于古代印度，棋盘上共有8行8列，构成64个格子。关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求”。国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。
同学们你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？让我们一起来分析一下。
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，24，……………263， 于是发明者要求的麦粒总数就是1+2+22+23+……+262+263=？
（师）提出问题：引发学生的思考，讨论。
（1）如何求引例中的麦粒总数？即求1+2+22+23+……+262+263=？结果究竟有多大？国王是否能满足发明者的要求？
（2）教师组织学生分组讨论，老师提醒学生，是否可利用前面求等差数列的通项公式的方法来求解等比数列的前n项和？如果行不通了，又将如何办？
（3）分组讨论后，形成以下结论：
S64=1+2+22+23+……+262+263……①
2·S64=2+22+23+……+262+263+264……②
由①-②得 - S64=1-264，即S64=264-1
（4）由此，引起学生的思考：解决此题用了什么思想方法？此法的核心是什么？
（5）在老师的引导下，可形成以下意识：此法叫错位相减法。核心是乘以原等比数列的公比q导致错位，于是问题得以解决。
2.由上述引例的探索，那么，我们能将此结论推广到一般性结论呢
不妨记等比数列{an}的前n项和为：
Sn=a1+a2+a3+……………+an，又an=a1qn-1
则Sn=a1+a1q+ a1q2 +……………+ a1qn-1………③
q·Sn= a1q+ a1q2 +……………+ a1qn………④
由③-④得：（1-q）Sn= a1- a1qn
（1）当1-q≠0时，即q≠1时，
Sn=[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q=a1-anq1-q]
（2）当1-q=0时，即q=1时，
Sn=a1+a2+a3+……………+an=na1.
综上：
na1 （q=1）
Sn=[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q]（q≠1）
教师引导学生自己分析，并归纳总结等比數列前n项和公式的结构特征：
（1）公式的适用条件。
（2）公式的结构特点。
（3）知a1，q，n一般用前一个公式。知a1，q， an一般用后一个公式。
（4）在Sn，a1， q， n，an知三求二。
（5）在使用公式时，务必注意q是否等于1。
（三）典例分析
例1.已知等比数列[12]，[14]，[18]……………
（1）求其前8项之和。
（2）求第5项到第8项和。
（3）求此等比数列前2n项中所偶数项之和。
学生先做或讲析思路。师点评：
解：（1）S8=[12[1-128]1-12]=[255256]
（2） 法1： S=a5+a6+a7+………+a10=[a5[1-126]1-12]=[631024] 法2： S=S10-S4
（3）S偶=a2+a4+a8+………+a2n=[14[1-144]1-14]=[13][1-[14n]]
变式训练：①已知a1=2.4，q=1.5，n=5，求S5=___
②已知a1=8，q=0.5，an=0.5，求Sn=___
（学生先做，师再点评） （好题）例2， 在等比数列{an}中，S2=7，S6=91，求S4=？
学生先做.师再点评，进行思维拓展：
略解：法一，∵S6≠3S2，∴q≠1.
∴当q≠1时， S2=7=[a1（1-q2）1-q]………. ①
S6=91=[a1（1-q6）1-q]………. ②
由②÷①得： [（1-q6）1-q2]=13 ∴q4+q2+1=13
∴q2=3或q2=-4（舍）.將q2=3代入①中得： [a11-q=-12]
∴S4=[a11-q[1-q4]]=28.
注： ①[a11-q]的整体代换; ②消元;③注意q 的分类讨论.
法二： ∵S2= =7;S6= a1+a2+q2（a1+a2）+ q4（a1+a2）=91 ∴q2=3. 以下同法一.
法三： ∵S2，S4-S2，S6-S4……仍旧成新的等比数列.设S4=t.
∴7，t-7，91-t仍成等比数列.即（t-7）2=7·（91-t） ∴t=28或-21（舍）
通过三种解法的对比，会学生感叹！
（四）课堂练习
（1）求S10=x+2x2+3x3+……………10x10=？
学生先做，然后教师再点评。
解： ∵S10=x+2x2+3x3+………9x9+10x10…………①
xS10=x2+2x3+3x4+………9x10+10x11…………②
由①-②得：（1-x）·S10=（ x+x2+x3+………x9+x10）-10x11
∴当x=1时，S10=1+2+3+………+10=55
当x≠1时，S10=[x（1-x10）1-x-10x111-x]综上所述：…………..
※（2）若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{anbn}的前n项和，又将如何求呢？
这个问题，留作课后思考，下节课我们来一起学习和研究。（为下节课核心讲解错位相减法奠定了基础）
（五）课堂小结
（1）等比数列前n项和公式的推导----错位相减法。
（2）公式的适用条件。
na1 （q=1）
Sn=
[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q]（q≠1）
（3）公式的简单应用。
（六）课外作业：教材习题
（七）板书设计：（见本人制作的课件）
（八）本堂课教学反思：（根据当堂课发生的情况，进行反思并改进）
（一）知识目标
1.理解等比数列的前n 项和公式 的推导过程及方法
2.理解并掌握求和公式的简单应用
（二）能力目标
培养学生的观察、发现、分析处理问题的能力。
（三）情感目标
利用生活实例引入，激发了学生想利用数学知识解决实际生活问题的热情。
重点：等比数列前n项和公式推导及应用。
难点：等比数列前n项和公式推导方法——错位相减法。（根据Sn特点乘以公比q造成错位，比较难想到。）
教法：讲练结合法，启发式教学， 自主、合作、探究。
教具：制成幻灯片、或使用多媒体教学。
二、教学设计
（一）复习引入[复习前一节课所讲的内容]
1.等比数列的定义： [an+1an=q]（n∈N+，q≠0）
2.等比数列的通项公式：an=a1·qn-1 （n∈N+，a1，q≠0）
3.等比数列最主要的两个性质：①a，b，c成等比数列[?]b2=ac;②在等比数列{an}中，若m+n=p+q，则ap·aq=am·an.
同学们，我们在前面学习了等差数列的前n 项和，那么等比数列的前n 项和，又将如何求解呢？
（二）新课讲授
1.引例
（师）国际象棋起源于古代印度，棋盘上共有8行8列，构成64个格子。关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求”。国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。
同学们你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？让我们一起来分析一下。
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，24，……………263， 于是发明者要求的麦粒总数就是1+2+22+23+……+262+263=？
（师）提出问题：引发学生的思考，讨论。
（1）如何求引例中的麦粒总数？即求1+2+22+23+……+262+263=？结果究竟有多大？国王是否能满足发明者的要求？
（2）教师组织学生分组讨论，老师提醒学生，是否可利用前面求等差数列的通项公式的方法来求解等比数列的前n项和？如果行不通了，又将如何办？
（3）分组讨论后，形成以下结论：
S64=1+2+22+23+……+262+263……①
2·S64=2+22+23+……+262+263+264……②
由①-②得 - S64=1-264，即S64=264-1
（4）由此，引起学生的思考：解决此题用了什么思想方法？此法的核心是什么？
（5）在老师的引导下，可形成以下意识：此法叫错位相减法。核心是乘以原等比数列的公比q导致错位，于是问题得以解决。
2.由上述引例的探索，那么，我们能将此结论推广到一般性结论呢
不妨记等比数列{an}的前n项和为：
Sn=a1+a2+a3+……………+an，又an=a1qn-1
则Sn=a1+a1q+ a1q2 +……………+ a1qn-1………③
q·Sn= a1q+ a1q2 +……………+ a1qn………④
由③-④得：（1-q）Sn= a1- a1qn
（1）当1-q≠0时，即q≠1时，
Sn=[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q=a1-anq1-q]
（2）当1-q=0时，即q=1时，
Sn=a1+a2+a3+……………+an=na1.
综上：
na1 （q=1）
Sn=[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q]（q≠1）
教师引导学生自己分析，并归纳总结等比數列前n项和公式的结构特征：
（1）公式的适用条件。
（2）公式的结构特点。
（3）知a1，q，n一般用前一个公式。知a1，q， an一般用后一个公式。
（4）在Sn，a1， q， n，an知三求二。
（5）在使用公式时，务必注意q是否等于1。
（三）典例分析
例1.已知等比数列[12]，[14]，[18]……………
（1）求其前8项之和。
（2）求第5项到第8项和。
（3）求此等比数列前2n项中所偶数项之和。
学生先做或讲析思路。师点评：
解：（1）S8=[12[1-128]1-12]=[255256]
（2） 法1： S=a5+a6+a7+………+a10=[a5[1-126]1-12]=[631024] 法2： S=S10-S4
（3）S偶=a2+a4+a8+………+a2n=[14[1-144]1-14]=[13][1-[14n]]
变式训练：①已知a1=2.4，q=1.5，n=5，求S5=___
②已知a1=8，q=0.5，an=0.5，求Sn=___
（学生先做，师再点评） （好题）例2， 在等比数列{an}中，S2=7，S6=91，求S4=？
学生先做.师再点评，进行思维拓展：
略解：法一，∵S6≠3S2，∴q≠1.
∴当q≠1时， S2=7=[a1（1-q2）1-q]………. ①
S6=91=[a1（1-q6）1-q]………. ②
由②÷①得： [（1-q6）1-q2]=13 ∴q4+q2+1=13
∴q2=3或q2=-4（舍）.將q2=3代入①中得： [a11-q=-12]
∴S4=[a11-q[1-q4]]=28.
注： ①[a11-q]的整体代换; ②消元;③注意q 的分类讨论.
法二： ∵S2= =7;S6= a1+a2+q2（a1+a2）+ q4（a1+a2）=91 ∴q2=3. 以下同法一.
法三： ∵S2，S4-S2，S6-S4……仍旧成新的等比数列.设S4=t.
∴7，t-7，91-t仍成等比数列.即（t-7）2=7·（91-t） ∴t=28或-21（舍）
通过三种解法的对比，会学生感叹！
（四）课堂练习
（1）求S10=x+2x2+3x3+……………10x10=？
学生先做，然后教师再点评。
解： ∵S10=x+2x2+3x3+………9x9+10x10…………①
xS10=x2+2x3+3x4+………9x10+10x11…………②
由①-②得：（1-x）·S10=（ x+x2+x3+………x9+x10）-10x11
∴当x=1时，S10=1+2+3+………+10=55
当x≠1时，S10=[x（1-x10）1-x-10x111-x]综上所述：…………..
※（2）若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{anbn}的前n项和，又将如何求呢？
这个问题，留作课后思考，下节课我们来一起学习和研究。（为下节课核心讲解错位相减法奠定了基础）
（五）课堂小结
（1）等比数列前n项和公式的推导----错位相减法。
（2）公式的适用条件。
na1 （q=1）
Sn=
[a1（1-qn）1-q=a1-a1qn1-q]（q≠1）
（3）公式的简单应用。
（六）课外作业：教材习题
（七）板书设计：（见本人制作的课件）
（八）本堂课教学反思：（根据当堂课发生的情况，进行反思并改进）