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纵观近些年的各地高考试题，运用函数图象进行实际物理问题的分析与表达依然是一个热点问题.物理问题图形化分析，呈数学之“形”，载物理之“质”，能够清晰、形象地呈现物理量之间的关系，化文字表征、符号表征为图形表征，充分展现了物理的学科魅力.图象法在高中物理中的应用很多，本文选择函数图象的斜率这一视角进行探讨，望能起到抛砖引玉之功效.
函数图象的斜率反映了直角坐标系中某点纵、横坐标代表的两个物理量的比值，往往与一个或几个重要的物理量相对应.
1函数图象的斜率在力学问题中的应用
1.1借助于匀速直线运动的x-t图象的斜率求速度
匀速直线运动的位移随时间均匀变化，x-t图象是一条倾斜的直线，如图1所示，a、b、c、d图线均表示匀速直线运动，相互平行的a、b图线表示物体开始运动的初始位置不同，速度相同；a、c图线表示物体运动的速度方向相同，vc>va；a、d图线则反应物体运动的速度方向不一样.
运用x-t图象可以很直观地解决运动学问题.
例1张老师在渔湾水道逆流划船游玩，经过桥洞（可视为一个点位）时，船上的竹制茶杯不慎掉到河里，张老师没能立刻发现，小船继续逆行一段距离后才发现，接着立即掉头追赶，返航10 min追上茶杯，此时距桥洞1 km，设张老师静水划船的速率始终不变，小船调头的时间可忽略，求渔湾水道河水的流速.
解析从小船经过桥洞开始计时，设水流的速度大小为v0，张老师划船的速度大小为v，发现茶杯丢失并返航的时刻记为t0，作出茶杯和小船的位移随时间变化的图象如图2所示（甲表示茶杯的運动；小船的运动分两段如乙和丙所示），通过图象直观地显示了位置、速度随时间的变化关系，而待求量渔湾水道河水的流速则转化为求图2中直线甲的斜率，有-v0=k=x/t，显然求出时间t即可求得v0.由图2可知：
丙直线过A、B两点，A点坐标[t0，（v-v0）t0]，B点坐标[t，-v0t]，则丙直线的斜率可表示为k丙=-v0t-（v-v0）t01t-t0，又k丙=-（v v0），由此可解得t=2t0，则-v0=k=x12t0，其中x=-1 km，t0=10 min，代入解得v0=3 km/h.
1.2借助x-t图象切线斜率的变化比较速度
如果物体做非匀速直线运动，通过x-t图象如何求瞬时速度呢？由v=Δx1Δt可知，当Δt→0时，平均速度v的大小近似为瞬时速度的大小，在x-t图象上应为该时刻切线的斜率.如图3所表示的直线运动中，通过观察图象切线斜率的变化可知质点运动的速率越来越小.
1.3借助于v-t图象切线斜率的变化比较加速度
x-t图象切线的斜率表示瞬时速度，同样可以推理得v-t图象切线的斜率能表示加速度a，切线斜率的变化可以反映加速度大小的改变.
例2木块A、B质量相同，现用一轻弹簧将两者连接置于光滑的水平面上，开始时弹簧长度为原长，如图4所示，现给A施加一水平恒力F，弹簧第一次被压缩至最短的过程中，有一个时刻A、B速度相同，试分析此时A、B加速度的大小关系？
与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足
A.tan=sinθB.tan=cosθ
C.tan=tanθD.tan=2tanθ
解析如图13所示，斜面倾角θ即为物体位移与水平方向之间的夹角，故
tanθ=y1x=112gt21v0t=gt12v0，
而tan=vy1v0=gt1v0，
所以tan=2tanθ，即答案为D.
变式2 如图14所示，在斜面上的O点先后以v0和2v0水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：两小球可能全落在斜面上，也可能全落在水平面上，还有可能一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上.若两小球全落在斜面上，由变式1的解析可知小球运动时间 ，水平位移 ，所以 .若两小球全落在水平面上，则有 ，所以 .若一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上，则 .故本题应选A、B、C.变式3 （2012年温州三模卷）如图15所示，AB为倾角为θ的斜面.将小球（视为质点）从A点以初速v0与斜面成α角抛出，恰好落在斜面底端的B点.若不计空气阻力，则AB间的距离s应为A. B. C. D. 解析：这题如果用斜上抛运动（分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动）的方法处理，对学生的数学要求很高，学生很难得出正确的答案.但如果令α=θ，则小球作平抛运动，问题得到简化.若小球作平抛运动，则平抛时间 ，水平位移 ，则AB间的距离 .将α=θ代入四个选项可知，答案为C.点评斜面上平抛运动最显著的特点就是可以充分利用斜面倾角展开思维.很显然，如果物体从斜面抛出又落在斜面上，斜面倾角θ与水平、竖直分位移之间满足tanθ=y1x；速度与水平方向的夹角与水平、竖直分速度之间满足tan=vy1vx，且tan=2tanθ.
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷.平抛运动与斜面、曲面相结合问题，要注意建立速度角、位移角与斜面倾角等几何角之间的关系，这往往是解题的突破口.若能切实掌握平抛运动的规律、特点及其基本处理方法，就不难解决平抛问题.因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力.解析在弹簧压缩过程中，隔离A、B进行受力分析，对A有：F-kx=maA，弹簧形变量变大，A做加速度减小的加速运动；对B有：kx=maB，B做加速度增大的加速运动.定性画出A、B运动的v-t图象如图5所示，交点C表示此时两者速度相同，可以直观地看出该处B切线的斜率大于A的斜率，即aB>aA.
1.4借助于a-F（或a-11M）图象的斜率求质量（或拉力）
函数图象的斜率反映了直角坐标系中某点纵、横坐标代表的两个物理量的比值，往往与一个或几个重要的物理量相对应.
1函数图象的斜率在力学问题中的应用
1.1借助于匀速直线运动的x-t图象的斜率求速度
匀速直线运动的位移随时间均匀变化，x-t图象是一条倾斜的直线，如图1所示，a、b、c、d图线均表示匀速直线运动，相互平行的a、b图线表示物体开始运动的初始位置不同，速度相同；a、c图线表示物体运动的速度方向相同，vc>va；a、d图线则反应物体运动的速度方向不一样.
运用x-t图象可以很直观地解决运动学问题.
例1张老师在渔湾水道逆流划船游玩，经过桥洞（可视为一个点位）时，船上的竹制茶杯不慎掉到河里，张老师没能立刻发现，小船继续逆行一段距离后才发现，接着立即掉头追赶，返航10 min追上茶杯，此时距桥洞1 km，设张老师静水划船的速率始终不变，小船调头的时间可忽略，求渔湾水道河水的流速.
解析从小船经过桥洞开始计时，设水流的速度大小为v0，张老师划船的速度大小为v，发现茶杯丢失并返航的时刻记为t0，作出茶杯和小船的位移随时间变化的图象如图2所示（甲表示茶杯的運动；小船的运动分两段如乙和丙所示），通过图象直观地显示了位置、速度随时间的变化关系，而待求量渔湾水道河水的流速则转化为求图2中直线甲的斜率，有-v0=k=x/t，显然求出时间t即可求得v0.由图2可知：
丙直线过A、B两点，A点坐标[t0，（v-v0）t0]，B点坐标[t，-v0t]，则丙直线的斜率可表示为k丙=-v0t-（v-v0）t01t-t0，又k丙=-（v v0），由此可解得t=2t0，则-v0=k=x12t0，其中x=-1 km，t0=10 min，代入解得v0=3 km/h.
1.2借助x-t图象切线斜率的变化比较速度
如果物体做非匀速直线运动，通过x-t图象如何求瞬时速度呢？由v=Δx1Δt可知，当Δt→0时，平均速度v的大小近似为瞬时速度的大小，在x-t图象上应为该时刻切线的斜率.如图3所表示的直线运动中，通过观察图象切线斜率的变化可知质点运动的速率越来越小.
1.3借助于v-t图象切线斜率的变化比较加速度
x-t图象切线的斜率表示瞬时速度，同样可以推理得v-t图象切线的斜率能表示加速度a，切线斜率的变化可以反映加速度大小的改变.
例2木块A、B质量相同，现用一轻弹簧将两者连接置于光滑的水平面上，开始时弹簧长度为原长，如图4所示，现给A施加一水平恒力F，弹簧第一次被压缩至最短的过程中，有一个时刻A、B速度相同，试分析此时A、B加速度的大小关系？
与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足
A.tan=sinθB.tan=cosθ
C.tan=tanθD.tan=2tanθ
解析如图13所示，斜面倾角θ即为物体位移与水平方向之间的夹角，故
tanθ=y1x=112gt21v0t=gt12v0，
而tan=vy1v0=gt1v0，
所以tan=2tanθ，即答案为D.
变式2 如图14所示，在斜面上的O点先后以v0和2v0水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：两小球可能全落在斜面上，也可能全落在水平面上，还有可能一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上.若两小球全落在斜面上，由变式1的解析可知小球运动时间 ，水平位移 ，所以 .若两小球全落在水平面上，则有 ，所以 .若一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上，则 .故本题应选A、B、C.变式3 （2012年温州三模卷）如图15所示，AB为倾角为θ的斜面.将小球（视为质点）从A点以初速v0与斜面成α角抛出，恰好落在斜面底端的B点.若不计空气阻力，则AB间的距离s应为A. B. C. D. 解析：这题如果用斜上抛运动（分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动）的方法处理，对学生的数学要求很高，学生很难得出正确的答案.但如果令α=θ，则小球作平抛运动，问题得到简化.若小球作平抛运动，则平抛时间 ，水平位移 ，则AB间的距离 .将α=θ代入四个选项可知，答案为C.点评斜面上平抛运动最显著的特点就是可以充分利用斜面倾角展开思维.很显然，如果物体从斜面抛出又落在斜面上，斜面倾角θ与水平、竖直分位移之间满足tanθ=y1x；速度与水平方向的夹角与水平、竖直分速度之间满足tan=vy1vx，且tan=2tanθ.
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷.平抛运动与斜面、曲面相结合问题，要注意建立速度角、位移角与斜面倾角等几何角之间的关系，这往往是解题的突破口.若能切实掌握平抛运动的规律、特点及其基本处理方法，就不难解决平抛问题.因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力.解析在弹簧压缩过程中，隔离A、B进行受力分析，对A有：F-kx=maA，弹簧形变量变大，A做加速度减小的加速运动；对B有：kx=maB，B做加速度增大的加速运动.定性画出A、B运动的v-t图象如图5所示，交点C表示此时两者速度相同，可以直观地看出该处B切线的斜率大于A的斜率，即aB>aA.
1.4借助于a-F（或a-11M）图象的斜率求质量（或拉力）