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由于初一学生数学知识比较贫乏,抽象思维能力也较为薄弱,把数学思想方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础,因而,只能将数学知识作为载体,把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中,使学生具备一定的数学思维能力,初步领悟到这些数学思想的应用,激发学生了解数学思想的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断追求新知,发现、提出、分析并创造性地解决问题。曹才翰教授认为:“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念,对于新学习是有利的”。
基于上述认识,笔者尝试从问题情境设计为切入口探求如何在问题中渗透数学概念、数学思想,让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。其目的在于培养初一新生的数学思维能力,从而提高数学学习效益。
一、创设悬念情境,引导学生从中寻找数学规律。
苏格拉底曾说:“思想应当诞生在学生的心里,教师仅仅应当像助产士那样办事。”教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察,得到猜想。
七年级数学教材的第一章“走进数学世界”,有这样一道题:
例,在下图中,填入1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数,使每行、每列及对角线上各数的和都为15。
在解此题前,我先给同学们讲一个故事:传说在很久以前,夏禹治水来到洛水,洛水中浮起一只大乌龟,乌龟背上有一个奇怪的图,图上有许多圈和点。这些神秘的圈和点表示什么意思呢?有人好奇地数了一下龟背上的圈数和点数,再用数字表示出来,发现这里面有非常有趣的关系:把龟背上的数填入3×3的正方形方格中,不管是把横着的3个数相加,还是把竖着的相加,其和都等于15。
听了这个古老神奇的故事,同学们的思维得到了激发,非常积极投入地寻找问题的答案,并且有不少同学找到了问题答案,
在学生讨论中,我虽然不时给以思维方向的引导,但最终的具体答案和填数规律是要求同学自己口述表达的,同学们充分体会了成功的喜悦,也懂得了解完一个数学题目并不是结束,透过问题表面体会其中深藏的数学规律,并力求用已有的数学知识表达出来才是一个数学问题的真正完成。
二、创设开放性问题情境,关注学生创造性思维的培养。
数学——“思维的体操”,理应成为学生创造性思维能力培养的最前沿学科。为了培养学生的创造性思维,在数学教学中我们尤其应当注重应充分尊重学生的独立思考精神,尽量鼓励他们探索问题,自己得出结论,支持他们大胆怀疑,勇于创新,不“人云亦云”,不盲从“老师说的”和“书上写的”。在完成教材1.2节“让我们来做数学”第12页的推荐问题4后,我增加了以下问题,启发学生认识生活中的实物大多是由某些基本的几何图形组合构成的,使学生养成用数学的眼光去观察生活,进一步体会一切的数学理论、数学思想都来自生活,大自然就是我们的老师。
例,请在圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形等几何图形中任选若干个为基本构件(至少选三个以上,同一构件可重复使用),构思一幅新颖独特而有意义的图案,并给解说词。
这是一道新颖的开放式构图试题,由于思路宽,所以答案不唯一。解答本题,关键在于正确选用构件,构造出新颖有意义的图案。解题中,同学们拼出了一个圆头方腿的洋娃娃、烟囱里冒着烟的农舍、两个女学生、一辆小汽车、一副望远镜、一个悬空楼梯、还有一位同学设计了一个骷髅头……同学丰富的想象力令我折服。
三、创设直观性图形情境,引导学生深刻理解数学概念,发展形象思维。
教材在第二章“有理数”第一节就开门见山地引入了负数,把数的范围扩展到有理数后,紧接着推出了数轴的概念,这是中学数学的第一个数形结合概念,教学中可充分利用数轴的形引导学生体会一个重要数学思维方式——数形结合。
例,数轴的认识。
数学最初的概念都是基于直觉,初一数学数轴概念的认识就是直观图形的直觉思维与数学抽象的逻辑思维结合的一个数形结合的实例。通过建立数轴把数安排在数轴上,数轴,一根不起眼的直线立时显现了威力,千千万万、形形色色的有理数一旦回到数轴上便变得规规矩矩,井然有序,从左到右依次按从小到大排成一队,谁也不敢站错位。有了数轴的基本概念后,我插入了下面一个情境故事:同学们,如果把数轴看作一个庄园,那么可以说在这个庄园里从古到今只住着三个部落——正数、0、负数。正数部落人丁兴旺,谁也数不完它们有多少;0孑然一身,真是名副其实的孤苦“0”丁;负数部落虽然生成较晚,但他的子孙后代并不比正数部落逊色。尽管正数部落、负数部落家庭十分兴旺,但它们从不欺负0,反而处处尊重0,它们把庄园中特别的位置——原点让给了它。在学生听得兴意盎然时让他们做个游戏,把全体同学分成两部分,用事先准备好的分别写有正数负数的号码布依次别在他们胸前,请他们在画有数轴的黑板前寻找站立位置,学生们全部迅速正确地找到了自己的地点,在游戏中学生深刻地理解了数轴,知道了数轴原来是无穷无尽的数的海洋的一个井然有序的安乐家。
一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出:“数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过恰当的训练提高的,只要我们每一位数学老师做数学教育的有心人。
四、创设应用性问题情境,引导学生自己发现数学命题(公式),发展抽象思维。
把数学命题渗透在现实生活中,化抽象的数学命题为具象的情境问题,使学生在最短的时间内对该命题有明确的感性领悟,然后在进一步的学习中渐渐渗透,最终由感性认识升华到理性高度,内化为永久性的基本知识。
例,命题“互为相反数的两个数的和为0”的认识
星期一,妈妈给小言50元钱,到星期日正好全部花完,又到星期一,这时小言又回到了上星期一妈妈给钱前的状态。把得到50元记作+50,花掉的50元记作-50,假如我们把上星期一称为初始状态,那么第二个星期一又回到初始状态,可用0表示,所以整个过程我们可以用数学式子表示:+50+(-50)=0。此时引导学生寻找规律。得出结论:“互为相反数的两个数的和为0”。结合“a的相反数是-a”的概念得出这个文字命题的具有普适性的数学字母表达式:a+(-a)=0,也为以后合并同类项的学习奠定基础。同时,增加了这个情境问题,加深学生对这个命题的理解记忆,在处理“-24+3.2-16-3.5+0.3”这样的加减混合运算时要求学生先考虑+3.2+0.3通过结合可与-3.5构成互为相反数关系,达到简化运算,提高正确率的目的,学生接受此运算技巧也显得顺理成章。
五、创设疑惑陷阱情境,让学生在发现错误、改正错误中学会数学的分类讨论思考方法。
教师可充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的启示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握,发展数学思维,提高思考问题、解决问题的能力。
教材在引进负数时,是把负数与正数作为一对具有相反意义的量进行比较认识的,并且用负号来记录一个具体的负数,如负3记作“-3”,这个记录形式很容易导致学生误以为负数是带有负号的数,进一步误以为带有负号的数就是负数,并且自然地就把-a当作负数。所以。在介绍“a的相反数是-a”后,设置一个陷阱:问“-a是负数吗?”学生齐声回答:“是”。接着,我问,当a=-3时,-a是负数吗?这时学生觉得不对劲,有一部分同学马上就认为-a是正数了。继续举例,当a=3时,-a又变成负数了,当a=0时,a就是0,而0既不是正数又不是负数,由此可见,-a是什么数要具体问题具体分析,同理,a是正数还是负数的问题当然也不能一概而论,水到渠成地给出下面的抽象的数学意义:当a大于0时,a是正数;当a=0时,a是零;当a小于0时,a是负数。此时,学生脸上都绽开会意的笑容。通过上述问题的辨析,加深了学生对a与-a认识。不仅使学生从“陷阱”中跳出来,增强了防御“陷阱”的经验,更主要的是能使学生参与讨论,在讨论中自觉地辨析正误,了解数学中的重要思维——分类讨论思维,为后面要学习的有理数的大小比较中处理“6-b与6的大小”之类问题时,奠定了良好的思维基础。同时与“加在代数式外面的绝对植符号的去除”形成了呼应,加深同学对此难点的进一步认识。
六、创设讨论情境氛围,使学生在接近真理的过程中体会数学思想,培养数学思维。
合作讨论题是相对于常见的独立解决题而言的。有些数学题涉及的情况较多,需要分类讨论,解答有较多的层次性,需要小组甚至全班同学共同合作完成,以便更好地利用时间和空间。我在实际教学中把学生分成若干小组,通过分类讨论使学生互相启发、互相学习。
在学生们学完了有理数的乘法后,我插入了下面这样一个看起来不值得讨论,讨论后却令同学觉得大有深意的问题——对于0的认识,使同学经过讨论后再次认识抽象的数学符号的无穷魅力。
例,请同学分组讨论对0的认识。
“0”在《辞海》上的一种解释是“它在任何计量单位中表示‘没有’”。
实际上,“0”不仅表示“没有”,而且还表示多方面的意义,请同学说出自己对0的认识。
同学开始思考0究竟还有什么其他意义?
生一:温度计上,0℃表示一个特定的温度。
我补充:0℃表示的这个特定温度正好是水在这个温度下会变成冰的温度,所以,这个温度也叫冰点。
生二:人们常说的“0”时,即24时,是指一个具体的时刻。
我补充:这个具体的时刻与《辞海》上的“它在任何计量单位中表示‘没有’”的这种解释显然不匹配。
生三:我从家出发去小店买东西,买完后原路返回,这时,我又到了家中,位置没有变化,所以,可用0表示。
我补充:同学三对0的理解是正确的,但他指出的这个0的意义与前面提出的《辞海》上的解释是一致的,可理解为“没有移动”。
生四:某地海拔高度为0米,指此地与海平面一样高。
我补充:同学们给出了很多有关0的意义,我们还知道,0既不是正数也不是负数,0是正数负数的界限;0也不是最小的有理数,0比任何负有理数都大。在运算中,任何数加0仍是这个数,任何数乘以0得0,前面已经学习的互为相反数的两个数和为0,0在数轴上表示原点等。通过引导学生讨论对0的认识,学生们纷纷感叹,原来平时认为不起眼的小小的“0”竟有那么丰富的内涵!了解一个小小的数字符号竟和那么多具体生活内容相联系,由此就会推想一切的数学符号都应能与广阔的生活情境相联系,数学非但不枯燥无味,相反是精致简洁而又内涵广阔的,使学生萌生学习中需突破常规思维的意识,树立主动对数学概念、定理探根索源的科学学习态度,学习怎样用数学的眼光观察生活中蕴涵的数学。
通过精心设计问题情境,不断激发学习动机,使学生经常处于“愤悱”的状态中,给学生提供学习的目标和思维的空间,学生才能真正进入数学世界,初步学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心。
基于上述认识,笔者尝试从问题情境设计为切入口探求如何在问题中渗透数学概念、数学思想,让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。其目的在于培养初一新生的数学思维能力,从而提高数学学习效益。
一、创设悬念情境,引导学生从中寻找数学规律。
苏格拉底曾说:“思想应当诞生在学生的心里,教师仅仅应当像助产士那样办事。”教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察,得到猜想。
七年级数学教材的第一章“走进数学世界”,有这样一道题:
例,在下图中,填入1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数,使每行、每列及对角线上各数的和都为15。
在解此题前,我先给同学们讲一个故事:传说在很久以前,夏禹治水来到洛水,洛水中浮起一只大乌龟,乌龟背上有一个奇怪的图,图上有许多圈和点。这些神秘的圈和点表示什么意思呢?有人好奇地数了一下龟背上的圈数和点数,再用数字表示出来,发现这里面有非常有趣的关系:把龟背上的数填入3×3的正方形方格中,不管是把横着的3个数相加,还是把竖着的相加,其和都等于15。
听了这个古老神奇的故事,同学们的思维得到了激发,非常积极投入地寻找问题的答案,并且有不少同学找到了问题答案,
在学生讨论中,我虽然不时给以思维方向的引导,但最终的具体答案和填数规律是要求同学自己口述表达的,同学们充分体会了成功的喜悦,也懂得了解完一个数学题目并不是结束,透过问题表面体会其中深藏的数学规律,并力求用已有的数学知识表达出来才是一个数学问题的真正完成。
二、创设开放性问题情境,关注学生创造性思维的培养。
数学——“思维的体操”,理应成为学生创造性思维能力培养的最前沿学科。为了培养学生的创造性思维,在数学教学中我们尤其应当注重应充分尊重学生的独立思考精神,尽量鼓励他们探索问题,自己得出结论,支持他们大胆怀疑,勇于创新,不“人云亦云”,不盲从“老师说的”和“书上写的”。在完成教材1.2节“让我们来做数学”第12页的推荐问题4后,我增加了以下问题,启发学生认识生活中的实物大多是由某些基本的几何图形组合构成的,使学生养成用数学的眼光去观察生活,进一步体会一切的数学理论、数学思想都来自生活,大自然就是我们的老师。
例,请在圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形等几何图形中任选若干个为基本构件(至少选三个以上,同一构件可重复使用),构思一幅新颖独特而有意义的图案,并给解说词。
这是一道新颖的开放式构图试题,由于思路宽,所以答案不唯一。解答本题,关键在于正确选用构件,构造出新颖有意义的图案。解题中,同学们拼出了一个圆头方腿的洋娃娃、烟囱里冒着烟的农舍、两个女学生、一辆小汽车、一副望远镜、一个悬空楼梯、还有一位同学设计了一个骷髅头……同学丰富的想象力令我折服。
三、创设直观性图形情境,引导学生深刻理解数学概念,发展形象思维。
教材在第二章“有理数”第一节就开门见山地引入了负数,把数的范围扩展到有理数后,紧接着推出了数轴的概念,这是中学数学的第一个数形结合概念,教学中可充分利用数轴的形引导学生体会一个重要数学思维方式——数形结合。
例,数轴的认识。
数学最初的概念都是基于直觉,初一数学数轴概念的认识就是直观图形的直觉思维与数学抽象的逻辑思维结合的一个数形结合的实例。通过建立数轴把数安排在数轴上,数轴,一根不起眼的直线立时显现了威力,千千万万、形形色色的有理数一旦回到数轴上便变得规规矩矩,井然有序,从左到右依次按从小到大排成一队,谁也不敢站错位。有了数轴的基本概念后,我插入了下面一个情境故事:同学们,如果把数轴看作一个庄园,那么可以说在这个庄园里从古到今只住着三个部落——正数、0、负数。正数部落人丁兴旺,谁也数不完它们有多少;0孑然一身,真是名副其实的孤苦“0”丁;负数部落虽然生成较晚,但他的子孙后代并不比正数部落逊色。尽管正数部落、负数部落家庭十分兴旺,但它们从不欺负0,反而处处尊重0,它们把庄园中特别的位置——原点让给了它。在学生听得兴意盎然时让他们做个游戏,把全体同学分成两部分,用事先准备好的分别写有正数负数的号码布依次别在他们胸前,请他们在画有数轴的黑板前寻找站立位置,学生们全部迅速正确地找到了自己的地点,在游戏中学生深刻地理解了数轴,知道了数轴原来是无穷无尽的数的海洋的一个井然有序的安乐家。
一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出:“数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过恰当的训练提高的,只要我们每一位数学老师做数学教育的有心人。
四、创设应用性问题情境,引导学生自己发现数学命题(公式),发展抽象思维。
把数学命题渗透在现实生活中,化抽象的数学命题为具象的情境问题,使学生在最短的时间内对该命题有明确的感性领悟,然后在进一步的学习中渐渐渗透,最终由感性认识升华到理性高度,内化为永久性的基本知识。
例,命题“互为相反数的两个数的和为0”的认识
星期一,妈妈给小言50元钱,到星期日正好全部花完,又到星期一,这时小言又回到了上星期一妈妈给钱前的状态。把得到50元记作+50,花掉的50元记作-50,假如我们把上星期一称为初始状态,那么第二个星期一又回到初始状态,可用0表示,所以整个过程我们可以用数学式子表示:+50+(-50)=0。此时引导学生寻找规律。得出结论:“互为相反数的两个数的和为0”。结合“a的相反数是-a”的概念得出这个文字命题的具有普适性的数学字母表达式:a+(-a)=0,也为以后合并同类项的学习奠定基础。同时,增加了这个情境问题,加深学生对这个命题的理解记忆,在处理“-24+3.2-16-3.5+0.3”这样的加减混合运算时要求学生先考虑+3.2+0.3通过结合可与-3.5构成互为相反数关系,达到简化运算,提高正确率的目的,学生接受此运算技巧也显得顺理成章。
五、创设疑惑陷阱情境,让学生在发现错误、改正错误中学会数学的分类讨论思考方法。
教师可充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的启示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握,发展数学思维,提高思考问题、解决问题的能力。
教材在引进负数时,是把负数与正数作为一对具有相反意义的量进行比较认识的,并且用负号来记录一个具体的负数,如负3记作“-3”,这个记录形式很容易导致学生误以为负数是带有负号的数,进一步误以为带有负号的数就是负数,并且自然地就把-a当作负数。所以。在介绍“a的相反数是-a”后,设置一个陷阱:问“-a是负数吗?”学生齐声回答:“是”。接着,我问,当a=-3时,-a是负数吗?这时学生觉得不对劲,有一部分同学马上就认为-a是正数了。继续举例,当a=3时,-a又变成负数了,当a=0时,a就是0,而0既不是正数又不是负数,由此可见,-a是什么数要具体问题具体分析,同理,a是正数还是负数的问题当然也不能一概而论,水到渠成地给出下面的抽象的数学意义:当a大于0时,a是正数;当a=0时,a是零;当a小于0时,a是负数。此时,学生脸上都绽开会意的笑容。通过上述问题的辨析,加深了学生对a与-a认识。不仅使学生从“陷阱”中跳出来,增强了防御“陷阱”的经验,更主要的是能使学生参与讨论,在讨论中自觉地辨析正误,了解数学中的重要思维——分类讨论思维,为后面要学习的有理数的大小比较中处理“6-b与6的大小”之类问题时,奠定了良好的思维基础。同时与“加在代数式外面的绝对植符号的去除”形成了呼应,加深同学对此难点的进一步认识。
六、创设讨论情境氛围,使学生在接近真理的过程中体会数学思想,培养数学思维。
合作讨论题是相对于常见的独立解决题而言的。有些数学题涉及的情况较多,需要分类讨论,解答有较多的层次性,需要小组甚至全班同学共同合作完成,以便更好地利用时间和空间。我在实际教学中把学生分成若干小组,通过分类讨论使学生互相启发、互相学习。
在学生们学完了有理数的乘法后,我插入了下面这样一个看起来不值得讨论,讨论后却令同学觉得大有深意的问题——对于0的认识,使同学经过讨论后再次认识抽象的数学符号的无穷魅力。
例,请同学分组讨论对0的认识。
“0”在《辞海》上的一种解释是“它在任何计量单位中表示‘没有’”。
实际上,“0”不仅表示“没有”,而且还表示多方面的意义,请同学说出自己对0的认识。
同学开始思考0究竟还有什么其他意义?
生一:温度计上,0℃表示一个特定的温度。
我补充:0℃表示的这个特定温度正好是水在这个温度下会变成冰的温度,所以,这个温度也叫冰点。
生二:人们常说的“0”时,即24时,是指一个具体的时刻。
我补充:这个具体的时刻与《辞海》上的“它在任何计量单位中表示‘没有’”的这种解释显然不匹配。
生三:我从家出发去小店买东西,买完后原路返回,这时,我又到了家中,位置没有变化,所以,可用0表示。
我补充:同学三对0的理解是正确的,但他指出的这个0的意义与前面提出的《辞海》上的解释是一致的,可理解为“没有移动”。
生四:某地海拔高度为0米,指此地与海平面一样高。
我补充:同学们给出了很多有关0的意义,我们还知道,0既不是正数也不是负数,0是正数负数的界限;0也不是最小的有理数,0比任何负有理数都大。在运算中,任何数加0仍是这个数,任何数乘以0得0,前面已经学习的互为相反数的两个数和为0,0在数轴上表示原点等。通过引导学生讨论对0的认识,学生们纷纷感叹,原来平时认为不起眼的小小的“0”竟有那么丰富的内涵!了解一个小小的数字符号竟和那么多具体生活内容相联系,由此就会推想一切的数学符号都应能与广阔的生活情境相联系,数学非但不枯燥无味,相反是精致简洁而又内涵广阔的,使学生萌生学习中需突破常规思维的意识,树立主动对数学概念、定理探根索源的科学学习态度,学习怎样用数学的眼光观察生活中蕴涵的数学。
通过精心设计问题情境,不断激发学习动机,使学生经常处于“愤悱”的状态中,给学生提供学习的目标和思维的空间,学生才能真正进入数学世界,初步学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心。