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笔者在教学当中发现课本一道习题很有趣.在当时教学中笔者不是就题论题,单单的讲了这道题,而是引导学生去探索,研究,拓展,得到了一些漂亮的结果.让学生经历数学的形成过程,进而激发他们学习数学的兴趣,为以后的学习作好铺垫.
题目:已知f(x)=lg1-x1+x，a，b∈（-1，1），求证f(a)+f(b)=fa+b1+ab.
证明很简单,只是验证而已.
文献［1］中,其作者作了一些拓展:
① f(x)=lgm-xm+x，（m＞0）. 具有性质:a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2.
② f(x)=lga-xb+x，（a＞0，b＞0）. 其对称中心a-b2，0.
笔者在此处没有收尾,而是引导学生继续探索.
1.第一步探索和拓展.
问:m能不能小于0呢?
考察f(x)=lg-1-x-1+x=lg1+x1-x，a，b∈（-1，1），
f(a)+f(b)=lg1+a1-a+lg1+b1-b=lg1+(a+b)+ab1-(a+b)+ab=lg1+a+b1+ab1-a+b1+ab=fa+b1+ab.
并且也很容易验证, f(x)=lgm-xm+x，（m≠0）. 仍有性质:
a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2.
同样也有,f(x)=lga-xb+x，（a2+b2≠0）. 其对称中心a-b2，0.
2.第二步探索和拓展.
从上面不难发现,结论与底数无关,因此底数推广也成立.易验证:
对于函数f(x)=loga1-x1+x（a＞0，a≠1）. 满足x，y∈（-1，1），f(x)+f(y)=fx+y1+xy.
f(x)=logam-xm+x，（m≠0，a＞0，a≠1）.仍然具有性质:
a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2
函数f(x)=logaλ-xμ+x，（λ2+μ2≠0，a＞0，a≠1）. 其对称中心λ-μ2，0.
3. 第三步探索和拓展.
问:怎样的函数具有如下性质呢?
x,y∈Df，f(x+y)=f(x)+f(y)1+f(x)f(y).
当时一些学生马上把y=tanx搬出来了,但要注意tan(x+y)=tanx+tany1-tanxtany. 此时学生就开始犯嘀咕了.笔者继续引导,大家回忆一下指数和对数的运算性质,以及指数函数与对数函数互为反函数.通过观察,比较,你们能发现什么呢?同时我将其板书便于学生观察.反应快的学生立即说出这样的函数应是上述函数的反函数.
到底对不对呢?我们来验证,探究一下.
设函数y=f(x)满足a，b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+ab.且其反函数为y=g(x).
令a=g(p)，b=g(q)，p,q∈Rf. 代入可得
p+q=fg(p)+g(q)1+g(p)g(q)（1）
（1） 两边作用g,即得
g(p+q)=g(p)+g(q)1+g(p)g(q).
但是此处我们还不能轻易下结论.
若函数y=g(x)满足p，q∈Dg，g(p+q)=g(p)+g(q)1+g(p)g(q).
令p=q=0,得g(0)=2g(0)1+g2(0).
当g(0)≠0时,得g2(0)=1g(0)=±1.
令q=0，可得g(p)=g(p)+g(0)1+g(p)g(0).
当g(0)=1时,得g(p)=1.
当g(0)=-1时,得g(p)=-1
因此,只有x∈Dg，g(x)不恒为1或-1时,y=g(x)是y=f(x)的反函数.
1°函数f(x)=loga1-x1+x，（a＞0，a≠1）. 的反函数f-1（x）=1-ax1+ax，（a＞0，a≠1）. 具有性质:
x，y∈R，f-1（x+y）=f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y).
∵ f-1(x)+f-1（y）=2（1-ax+y）1+(ax+ay)+ax+y.
又∵ f-1(x)f-1(y)=1-(ax+ay)+ax+y1+(ax+ay)+ax+y.
∴ f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y)=1-ax+y1+ax+y=f-1(x+y).
2°f(x)=logam-xm+x，（m≠0，a＞0，a≠1）的反函数f-1（x）=m(1-ax)1+ax（m≠0，a＞0，a≠1）.
也很容易验证具有性质:
x，y∈R，f-1（x+y）=f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y)m2
3°函数f(x)=logaλ-xμ+x，（λ2+μ2≠0，a＞0,a≠1） 的反函数
f-1(x)=λ-μax1+ax，（λ2+μ2≠0，a＞0，a≠1）. 其对称中心0，λ-μ2.
定理1.若函数y=f(x)满足a，b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+ab，y=g(x)满足
x∈Dg，g(x)不恒为1或-1，且p，q∈Dg，g（p+q）=g(p)+g(q)1+g(p)g(q)，则y=f(x)和y=g(x)互为反函数,且均为奇函数.
二者互为反函数,上面已经论证,也很容易验证y=f(x)是奇函数,文献［1］中其作者已经验证过了,因此其反函数y=g(x)是奇函数.
定理2.若函数y=f(x)满足a,b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+abm2，y=g(x)满足x∈Dg，g(x)不恒为1或-1，且p，q∈Dg，g（p+q）=g(p)+g(q)1+g(p)g(q)m2，则y=f(x)和y=g(x)互为反函数,且均为奇函数.(其中m≠0)
像y=tanx一样,若存在函数y=F(x)也满足:
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
题目:已知f(x)=lg1-x1+x，a，b∈（-1，1），求证f(a)+f(b)=fa+b1+ab.
证明很简单,只是验证而已.
文献［1］中,其作者作了一些拓展:
① f(x)=lgm-xm+x，（m＞0）. 具有性质:a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2.
② f(x)=lga-xb+x，（a＞0，b＞0）. 其对称中心a-b2，0.
笔者在此处没有收尾,而是引导学生继续探索.
1.第一步探索和拓展.
问:m能不能小于0呢?
考察f(x)=lg-1-x-1+x=lg1+x1-x，a，b∈（-1，1），
f(a)+f(b)=lg1+a1-a+lg1+b1-b=lg1+(a+b)+ab1-(a+b)+ab=lg1+a+b1+ab1-a+b1+ab=fa+b1+ab.
并且也很容易验证, f(x)=lgm-xm+x，（m≠0）. 仍有性质:
a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2.
同样也有,f(x)=lga-xb+x，（a2+b2≠0）. 其对称中心a-b2，0.
2.第二步探索和拓展.
从上面不难发现,结论与底数无关,因此底数推广也成立.易验证:
对于函数f(x)=loga1-x1+x（a＞0，a≠1）. 满足x，y∈（-1，1），f(x)+f(y)=fx+y1+xy.
f(x)=logam-xm+x，（m≠0，a＞0，a≠1）.仍然具有性质:
a，b∈（-m，m），f(a)+f(b)=fa+b1+abm2
函数f(x)=logaλ-xμ+x，（λ2+μ2≠0，a＞0，a≠1）. 其对称中心λ-μ2，0.
3. 第三步探索和拓展.
问:怎样的函数具有如下性质呢?
x,y∈Df，f(x+y)=f(x)+f(y)1+f(x)f(y).
当时一些学生马上把y=tanx搬出来了,但要注意tan(x+y)=tanx+tany1-tanxtany. 此时学生就开始犯嘀咕了.笔者继续引导,大家回忆一下指数和对数的运算性质,以及指数函数与对数函数互为反函数.通过观察,比较,你们能发现什么呢?同时我将其板书便于学生观察.反应快的学生立即说出这样的函数应是上述函数的反函数.
到底对不对呢?我们来验证,探究一下.
设函数y=f(x)满足a，b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+ab.且其反函数为y=g(x).
令a=g(p)，b=g(q)，p,q∈Rf. 代入可得
p+q=fg(p)+g(q)1+g(p)g(q)（1）
（1） 两边作用g,即得
g(p+q)=g(p)+g(q)1+g(p)g(q).
但是此处我们还不能轻易下结论.
若函数y=g(x)满足p，q∈Dg，g(p+q)=g(p)+g(q)1+g(p)g(q).
令p=q=0,得g(0)=2g(0)1+g2(0).
当g(0)≠0时,得g2(0)=1g(0)=±1.
令q=0，可得g(p)=g(p)+g(0)1+g(p)g(0).
当g(0)=1时,得g(p)=1.
当g(0)=-1时,得g(p)=-1
因此,只有x∈Dg，g(x)不恒为1或-1时,y=g(x)是y=f(x)的反函数.
1°函数f(x)=loga1-x1+x，（a＞0，a≠1）. 的反函数f-1（x）=1-ax1+ax，（a＞0，a≠1）. 具有性质:
x，y∈R，f-1（x+y）=f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y).
∵ f-1(x)+f-1（y）=2（1-ax+y）1+(ax+ay)+ax+y.
又∵ f-1(x)f-1(y)=1-(ax+ay)+ax+y1+(ax+ay)+ax+y.
∴ f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y)=1-ax+y1+ax+y=f-1(x+y).
2°f(x)=logam-xm+x，（m≠0，a＞0，a≠1）的反函数f-1（x）=m(1-ax)1+ax（m≠0，a＞0，a≠1）.
也很容易验证具有性质:
x，y∈R，f-1（x+y）=f-1(x)+f-1(y)1+f-1(x)f-1(y)m2
3°函数f(x)=logaλ-xμ+x，（λ2+μ2≠0，a＞0,a≠1） 的反函数
f-1(x)=λ-μax1+ax，（λ2+μ2≠0，a＞0，a≠1）. 其对称中心0，λ-μ2.
定理1.若函数y=f(x)满足a，b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+ab，y=g(x)满足
x∈Dg，g(x)不恒为1或-1，且p，q∈Dg，g（p+q）=g(p)+g(q)1+g(p)g(q)，则y=f(x)和y=g(x)互为反函数,且均为奇函数.
二者互为反函数,上面已经论证,也很容易验证y=f(x)是奇函数,文献［1］中其作者已经验证过了,因此其反函数y=g(x)是奇函数.
定理2.若函数y=f(x)满足a,b∈Df，f(a)+f(b)=fa+b1+abm2，y=g(x)满足x∈Dg，g(x)不恒为1或-1，且p，q∈Dg，g（p+q）=g(p)+g(q)1+g(p)g(q)m2，则y=f(x)和y=g(x)互为反函数,且均为奇函数.(其中m≠0)
像y=tanx一样,若存在函数y=F(x)也满足:
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文