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1. 问题
江苏省2012届苏北四市3月高三调研卷第18题:
如图,已知椭圆C的方程为x24+y2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点.
(1) 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2) 若M,N是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解: (1) 易求A(2,1),B(-2,1).
设P(x0,y0),则x204+y20=1.由OP=mOA+nOB,得x0=2(m-n)
y0=m+n,
所以4(m-n)24+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q(m,n)在定圆x2+y2=12上.
(2) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2x1x2=-14.
平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x22),即x21+x22=4.
因为直线MN的方程为,(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以△OMN的面积
S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x224+x221-x214+12x21x22=
12x21+x22=1.
故△OMN的面积为定值1.
2. 寻根
2011山东高考理科22题:已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=62,其中O为坐标原点.
(Ⅰ) 证明:x21+x22和y21+y22均为定值;
(Ⅱ) 设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;
(Ⅲ) 椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△OPQ=S△ODG=S△OEG=62?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.
2011江苏南通高三第三次调研卷18题:
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使OM=cosθOA+sinθOB.
(ⅰ) 求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ⅱ) 求OA2+OB2.
3. 探究
探究1:如图,已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)A,B是四条直线x=±a,y=±b所围成的矩形的两个顶点.
(1) 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2) 若M(x1,y1)、N(x2,y2)是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,
(ⅰ) 求证:x21+x22和y21+y22均为定值,并求出定值.
(ⅱ) 试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解: (1) 易求A(a,b),B(-a,b).
设P(x0,y0),则x20a2+y20b2=1.由OP=mOA+nOB,得m-n=x0a
m+n=y0b,所以(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q(m,n)在定圆x2+y2=12上.
(2) 由题意知y1y2x1x2=-b2a2.两边化简得平方得x21·x22=a4y21y22b4=(a2-x21)(a2-x22),
即x21+x22=a2,同理可求y21+y22=b2.
因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以△OMN的面积
S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x22a2·b2+x221-x21a2·b2+2b2x21x22a2=
12b2(x21+x22)=12a2b2=12ab
故△OMN的面积为定值12ab.
探究3:已知抛物线方程为y2=2px(p>0),若M,N是,抛物线上两个动点,且直线OM,ON(与坐标轴不重合)的斜率之积等于-1,)试探求△OMN的面积的最小值.
解:设直线OM的直线方程为y=kx,则直线ON的方程为y=-1kx,联立方程y=kx
y2=2px,得xM=2pk2,同理可求xN=2pk2,所以△OMN的面积S=12(1+k2)2k2·|xM·xN|=2p2(1+k2)2k2=2p2k2+1k2+2≥4p2
(当且仅当k2=1时取等号),即直线MN垂直x轴时,△OMN的面积有最小值为4p
江苏省2012届苏北四市3月高三调研卷第18题:
如图,已知椭圆C的方程为x24+y2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点.
(1) 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2) 若M,N是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解: (1) 易求A(2,1),B(-2,1).
设P(x0,y0),则x204+y20=1.由OP=mOA+nOB,得x0=2(m-n)
y0=m+n,
所以4(m-n)24+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q(m,n)在定圆x2+y2=12上.
(2) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2x1x2=-14.
平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x22),即x21+x22=4.
因为直线MN的方程为,(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以△OMN的面积
S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x224+x221-x214+12x21x22=
12x21+x22=1.
故△OMN的面积为定值1.
2. 寻根
2011山东高考理科22题:已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=62,其中O为坐标原点.
(Ⅰ) 证明:x21+x22和y21+y22均为定值;
(Ⅱ) 设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;
(Ⅲ) 椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△OPQ=S△ODG=S△OEG=62?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.
2011江苏南通高三第三次调研卷18题:
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使OM=cosθOA+sinθOB.
(ⅰ) 求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ⅱ) 求OA2+OB2.
3. 探究
探究1:如图,已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)A,B是四条直线x=±a,y=±b所围成的矩形的两个顶点.
(1) 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2) 若M(x1,y1)、N(x2,y2)是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,
(ⅰ) 求证:x21+x22和y21+y22均为定值,并求出定值.
(ⅱ) 试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解: (1) 易求A(a,b),B(-a,b).
设P(x0,y0),则x20a2+y20b2=1.由OP=mOA+nOB,得m-n=x0a
m+n=y0b,所以(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q(m,n)在定圆x2+y2=12上.
(2) 由题意知y1y2x1x2=-b2a2.两边化简得平方得x21·x22=a4y21y22b4=(a2-x21)(a2-x22),
即x21+x22=a2,同理可求y21+y22=b2.
因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以△OMN的面积
S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x22a2·b2+x221-x21a2·b2+2b2x21x22a2=
12b2(x21+x22)=12a2b2=12ab
故△OMN的面积为定值12ab.
探究3:已知抛物线方程为y2=2px(p>0),若M,N是,抛物线上两个动点,且直线OM,ON(与坐标轴不重合)的斜率之积等于-1,)试探求△OMN的面积的最小值.
解:设直线OM的直线方程为y=kx,则直线ON的方程为y=-1kx,联立方程y=kx
y2=2px,得xM=2pk2,同理可求xN=2pk2,所以△OMN的面积S=12(1+k2)2k2·|xM·xN|=2p2(1+k2)2k2=2p2k2+1k2+2≥4p2
(当且仅当k2=1时取等号),即直线MN垂直x轴时,△OMN的面积有最小值为4p