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[摘要]在罕遇地震作用下，我国规范的设计原则是“大震不倒”，现有設计方法以构造设计为主，计算设计为辅。近年来，随着软硬件技术的进步，结构大震非线性全过程分析越来越得到工程界的重视。本文基于《规范》建议材料非线性本构关系和非线性有限元分析技术，针对一栋钢筋混凝土框架剪力墙结构，开展了大震作用下的非线性全过程模拟研究。基于分析结果，讨论了大震作用下结构的非线性行为特点和损伤扩展规律。本文采用方法能够得到结构在大震作用下的非线性响应，并为结构的大震设计提供基础和依据。
[关键词]钢筋混凝土；框架剪力墙结构；大震；全过程分析
Nonlinear Simulation of RC frame shear wall structure subjected to severe earthquake
Qian Yaokun
(Shanghai Shanggui Architectural Design & Resear Institute CO.,LTD., 353 Jiamusi Road,Shanghai 200433,China)
Abstract: According to the design code, the structure should not collapse when subjected to severe earthquake. In recent years, the engineering community pays more and more attentions to the nonlinear time history analysis of structures. Based on the nonlinear material models proposed by the design code of concrete structures, the nonlinear time history analysis of a RC frame-shearwall structure is performed in the present paper. Based on the simulating results, the structural behaviors are discussed, especially for the damage evolution within the structure. The proposed method laid a foundation for the seismic design of structures.
Key words: reinforced concrete; frame shearwall structure; severe earthquake; time-history analysis
0. 引言
我国结构设计采用的是三水准的设计目标，即所谓“小震不坏，中震可修，大震不倒”。采用了所谓“两阶段”的设计方法：在多遇地震阶段，设计中通常采用反应谱方法将地震荷载简化成静力荷载，然后再参与各种荷载效应组合，最近形成截面控制内力进行设计；对于罕遇地震作用下结构的分析和设计，则缺乏必要的手段，只采用“构造设计”的方法避免可能的大震倒塌。同时，现行《抗震规范》中对于罕遇地震峰值加速度的取值也整体偏小。近年来发生的几次大型地震，如中国汶川地震、日本北海地震等，的峰值加速度均大大超过当地的罕遇地震规定峰值加速度。
为了保证抗震结果特别是大型复杂结构在罕遇地震作用下的安全性，实现“大震不倒”的设计目标，近年来，结构在大震作用下的非线性全过程分析越来越受到设计者的重视。结构大震非线性全过程分析采用精细的有限元方法建立结构的分析模型，采用实际的地震波模拟地震输入，采用材料非线性本构关系模拟结构的非线性行为，是一种精细的结构地震性能评估和分析方法。由于计算机软硬件技术的长足进步，使得进行结构大震非线性全过程分析所耗费的设计成本大大降低，从而催生了等大量的需求。另一方面，由于涉及到结构非线性分析，特别是材料本构关系等均需要考虑材料的非线性特性，这就使得这一类分析对操作者的要求较高，同时对软件设计和开发者而言，开发能够稳健的进行结构非线性全过程分析的软件也面临着巨大的挑战。为了适应工程设计中对结构全过程非线性分析的需求，最新一版颁布实施的《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]专门设置附录C对材料本构关系进行了阐述。对于混凝土材料，则在我国学者以往研究结果的基础之上，建议了损伤本构关系模型。损伤模型以损伤变量表征混凝土在外力作用之下的软化和弱化特性，其物理含义清晰，表达方式简洁，同时也便于工程师理解结构的性能。同时，其输出结果里包含对材料的“损伤”的度量，这将十分有利于工程师对对结构的整体损伤状况进行合理的评估。
在《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]附录C建议损伤本构关系和钢筋本构关系基础上，进行了一栋典型钢筋混凝土框架剪力墙结构在大震作用下的非线性全过程分析。基于分析结构讨论了结构的动力性能，为工程设计提供了分析基础。
1. 现行规范建议混凝土本构关系
本文将建立钢筋混凝土框架剪力墙结构的空间分析模型，那么混凝土本构关系将采用《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中建议的混凝土本构关系。
混凝土单轴受拉本构关系为：
(1)
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(2)
(3)
其中 为混凝土单轴受拉应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗拉强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
混凝土单轴受压本构关系为：
(4)
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(5)
(6)
其中 为混凝土受压应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗压强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
单轴受压条件下混凝土卸载之后的残余应变表示为如下表达式：
(7)
(8)
其中 为残余应变， 为卸载点处的应变， 定义为附加应变。当加载到 并开始卸载时，卸载段的方程可以写为：
(9)
(10)
《规范》建议混凝土本构关系曲线与实测混凝土应力应变曲线具有很好的一致性，能够反映混凝土在加载前期的非线性，以及在加载后期超过峰值之后的软化和弱化特性，其结果可望较好地描述混凝土的非线性行为[2]。
2. 结构有限元分析
从平衡方程出发，引入弱形式表达，可以建立结构有限元分析的基本表达式[3]。
考虑如下结构平衡方程：
(11)
其中 为应力张量， 为体力向量，等式右面第一项为阻尼力，与速度相关，第二项为惯性力，与加速度相关。
考虑应变的定义
(12)
式(11)结合的变分形式如下：
(13)
材料本构关系定义为：
(14)
代入式(13)，并考虑有限元划分和插值函数构造，可得结构动力方程：
(15)
其中质量矩阵
(16)
阻尼矩阵
(17)
刚度矩阵
(18)
外力向量
(19)
结构动力方程的求解需借助動力时程积分方法，其中最常用的是Newmark法。这里采用三段式Newmark方法表达式：
预估：
(20)
求解：
(21)
校正：
(22)
式(21)所定义的动力方程求解是整个Newmark方法核心，式中质量矩阵与阻尼矩阵在加载过程中可认为是不变的（对于少数质量重分布较为明显的问题，质量矩阵可能会有变化，此处不予考虑），而刚度矩阵则与结构的位移和变形之间有着复杂的非线性关系，所以对于非线性方程(21)的求解，一般采用基于迭代法的隐式求解方法。当结构进入损伤软化阶段，刚度矩阵可能出现负定，此时一般的迭代求解方法失效。为了去除负定刚度矩阵的影响，可考虑Newmark系数 ，此时式简化为
(23)
再采用集中质量矩阵与集中阻尼矩阵表达式，那么式(23)即不再是联立方程，可以逐个求解，并且不需要迭代。基于此建立的结构动力求解方法称为显式方法。
3. 钢筋混凝土框架剪力墙结构大震全过程分析
考虑钢筋混凝土框架剪力墙结构如下图所示：
（a）主体结构（b）有限元模型
图 1 钢筋混凝土框架剪力墙结构
分析中楼板、剪力墙采用壳单元，梁柱采用梁单元。
图 2 结构前9阶阵型
首先进行结构阵型分析，对结构模型进行检查和校核。结构前两阶阵型为平动振型，第三阶阵型开始出现较为明显的扭转。第七阶阵型之后，顶部阁楼部位局部阵型变得明显，结构的鞭梢效应明显。
输入地震波采用Northridge波，三个方向输入，波形如下：
（a）x向加速度时程
（b）y向加速度时程
（c）z向加速度时程
图 3 输入地震加速度时程
分别对上述结构进行线弹性分析和非线性分析，所得核心筒顶部输出结果对比如图 4所示。可以看出，大部分情况下线弹性结构的响应明显大于非线性结构，结构的非线性对地震波起到了显著的滤波作用。然而在非线性后期，非线性结构的响应开始超过线弹性结构，其原因是损伤导致的刚度退化使得结构发生了更大的变形。
图 4 核心筒顶部输出
为了讨论顶部两层阁楼的影响，这里输出了核心筒顶部与阁楼顶部的地震相应对比，此时结构均考虑为非线性结构。由图 5结果可以明显的看出，两层阁楼的响应要远大于下部主体结构，鞭梢效应十分明显。在设计中，阁楼部位还需要着重加强。
图 5 阁楼对结构响应的影响
图 6给出了核心筒的损伤演化过程。可以看出，在5s之前，地震波较小，核心筒几乎没有损伤。至第10s，结构损伤开始快速发展，此时地震动也进入最强阶段，剪力墙厚度变化的层，损伤集中十分明显。至第12s，核心筒损伤已经十分明显，而且针对剪力墙厚度的损伤集中仍旧十分明显。第20s之后，地震动进入尾段，损伤不在继续发展。可以十分明显地看到剪力墙两次收进截面对损伤演化的影响。在设计中应该十分注意。
（a）5s（b）10s
（c）12s（d）20s
图 6 核心筒损伤演化
4. 结语
从《规范》建议混凝土损伤本构关系出发，结合非线性有限元法，进行了钢筋框架剪力墙结构的非线性全过程分析。结果表明，基于非线性有限元模型和损伤本构关系，能够进行大震作用下的结构非线性全过程分析，分析结果对比表明，材料非线性对结构的响应有着显著的影响，大震作用下剪力墙的损伤开裂比较严重，在设计中应该予以重视。
参 考 文 献
[1]GB50010—2010 混凝土结构设计规范［S］． 北京: 中国建筑工业出版社，2010.
[2]Wu J Y， Li J and Faria R. An energy release rate-based plastic-damage model for concrete [J]. International Journal of Solids and Structures，Volume 43，Issues 3-4，February 2006，Pages 583-612.
[3]Hughes, T. J. R., The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis[M]. New York: Dover Publication, 2000
[关键词]钢筋混凝土；框架剪力墙结构；大震；全过程分析
Nonlinear Simulation of RC frame shear wall structure subjected to severe earthquake
Qian Yaokun
(Shanghai Shanggui Architectural Design & Resear Institute CO.,LTD., 353 Jiamusi Road,Shanghai 200433,China)
Abstract: According to the design code, the structure should not collapse when subjected to severe earthquake. In recent years, the engineering community pays more and more attentions to the nonlinear time history analysis of structures. Based on the nonlinear material models proposed by the design code of concrete structures, the nonlinear time history analysis of a RC frame-shearwall structure is performed in the present paper. Based on the simulating results, the structural behaviors are discussed, especially for the damage evolution within the structure. The proposed method laid a foundation for the seismic design of structures.
Key words: reinforced concrete; frame shearwall structure; severe earthquake; time-history analysis
0. 引言
我国结构设计采用的是三水准的设计目标，即所谓“小震不坏，中震可修，大震不倒”。采用了所谓“两阶段”的设计方法：在多遇地震阶段，设计中通常采用反应谱方法将地震荷载简化成静力荷载，然后再参与各种荷载效应组合，最近形成截面控制内力进行设计；对于罕遇地震作用下结构的分析和设计，则缺乏必要的手段，只采用“构造设计”的方法避免可能的大震倒塌。同时，现行《抗震规范》中对于罕遇地震峰值加速度的取值也整体偏小。近年来发生的几次大型地震，如中国汶川地震、日本北海地震等，的峰值加速度均大大超过当地的罕遇地震规定峰值加速度。
为了保证抗震结果特别是大型复杂结构在罕遇地震作用下的安全性，实现“大震不倒”的设计目标，近年来，结构在大震作用下的非线性全过程分析越来越受到设计者的重视。结构大震非线性全过程分析采用精细的有限元方法建立结构的分析模型，采用实际的地震波模拟地震输入，采用材料非线性本构关系模拟结构的非线性行为，是一种精细的结构地震性能评估和分析方法。由于计算机软硬件技术的长足进步，使得进行结构大震非线性全过程分析所耗费的设计成本大大降低，从而催生了等大量的需求。另一方面，由于涉及到结构非线性分析，特别是材料本构关系等均需要考虑材料的非线性特性，这就使得这一类分析对操作者的要求较高，同时对软件设计和开发者而言，开发能够稳健的进行结构非线性全过程分析的软件也面临着巨大的挑战。为了适应工程设计中对结构全过程非线性分析的需求，最新一版颁布实施的《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]专门设置附录C对材料本构关系进行了阐述。对于混凝土材料，则在我国学者以往研究结果的基础之上，建议了损伤本构关系模型。损伤模型以损伤变量表征混凝土在外力作用之下的软化和弱化特性，其物理含义清晰，表达方式简洁，同时也便于工程师理解结构的性能。同时，其输出结果里包含对材料的“损伤”的度量，这将十分有利于工程师对对结构的整体损伤状况进行合理的评估。
在《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]附录C建议损伤本构关系和钢筋本构关系基础上，进行了一栋典型钢筋混凝土框架剪力墙结构在大震作用下的非线性全过程分析。基于分析结构讨论了结构的动力性能，为工程设计提供了分析基础。
1. 现行规范建议混凝土本构关系
本文将建立钢筋混凝土框架剪力墙结构的空间分析模型，那么混凝土本构关系将采用《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中建议的混凝土本构关系。
混凝土单轴受拉本构关系为：
(1)
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(2)
(3)
其中 为混凝土单轴受拉应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗拉强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
混凝土单轴受压本构关系为：
(4)
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(5)
(6)
其中 为混凝土受压应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗压强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
单轴受压条件下混凝土卸载之后的残余应变表示为如下表达式：
(7)
(8)
其中 为残余应变， 为卸载点处的应变， 定义为附加应变。当加载到 并开始卸载时，卸载段的方程可以写为：
(9)
(10)
《规范》建议混凝土本构关系曲线与实测混凝土应力应变曲线具有很好的一致性，能够反映混凝土在加载前期的非线性，以及在加载后期超过峰值之后的软化和弱化特性，其结果可望较好地描述混凝土的非线性行为[2]。
2. 结构有限元分析
从平衡方程出发，引入弱形式表达，可以建立结构有限元分析的基本表达式[3]。
考虑如下结构平衡方程：
(11)
其中 为应力张量， 为体力向量，等式右面第一项为阻尼力，与速度相关，第二项为惯性力，与加速度相关。
考虑应变的定义
(12)
式(11)结合的变分形式如下：
(13)
材料本构关系定义为：
(14)
代入式(13)，并考虑有限元划分和插值函数构造，可得结构动力方程：
(15)
其中质量矩阵
(16)
阻尼矩阵
(17)
刚度矩阵
(18)
外力向量
(19)
结构动力方程的求解需借助動力时程积分方法，其中最常用的是Newmark法。这里采用三段式Newmark方法表达式：
预估：
(20)
求解：
(21)
校正：
(22)
式(21)所定义的动力方程求解是整个Newmark方法核心，式中质量矩阵与阻尼矩阵在加载过程中可认为是不变的（对于少数质量重分布较为明显的问题，质量矩阵可能会有变化，此处不予考虑），而刚度矩阵则与结构的位移和变形之间有着复杂的非线性关系，所以对于非线性方程(21)的求解，一般采用基于迭代法的隐式求解方法。当结构进入损伤软化阶段，刚度矩阵可能出现负定，此时一般的迭代求解方法失效。为了去除负定刚度矩阵的影响，可考虑Newmark系数 ，此时式简化为
(23)
再采用集中质量矩阵与集中阻尼矩阵表达式，那么式(23)即不再是联立方程，可以逐个求解，并且不需要迭代。基于此建立的结构动力求解方法称为显式方法。
3. 钢筋混凝土框架剪力墙结构大震全过程分析
考虑钢筋混凝土框架剪力墙结构如下图所示：
（a）主体结构（b）有限元模型
图 1 钢筋混凝土框架剪力墙结构
分析中楼板、剪力墙采用壳单元，梁柱采用梁单元。
图 2 结构前9阶阵型
首先进行结构阵型分析，对结构模型进行检查和校核。结构前两阶阵型为平动振型，第三阶阵型开始出现较为明显的扭转。第七阶阵型之后，顶部阁楼部位局部阵型变得明显，结构的鞭梢效应明显。
输入地震波采用Northridge波，三个方向输入，波形如下：
（a）x向加速度时程
（b）y向加速度时程
（c）z向加速度时程
图 3 输入地震加速度时程
分别对上述结构进行线弹性分析和非线性分析，所得核心筒顶部输出结果对比如图 4所示。可以看出，大部分情况下线弹性结构的响应明显大于非线性结构，结构的非线性对地震波起到了显著的滤波作用。然而在非线性后期，非线性结构的响应开始超过线弹性结构，其原因是损伤导致的刚度退化使得结构发生了更大的变形。
图 4 核心筒顶部输出
为了讨论顶部两层阁楼的影响，这里输出了核心筒顶部与阁楼顶部的地震相应对比，此时结构均考虑为非线性结构。由图 5结果可以明显的看出，两层阁楼的响应要远大于下部主体结构，鞭梢效应十分明显。在设计中，阁楼部位还需要着重加强。
图 5 阁楼对结构响应的影响
图 6给出了核心筒的损伤演化过程。可以看出，在5s之前，地震波较小，核心筒几乎没有损伤。至第10s，结构损伤开始快速发展，此时地震动也进入最强阶段，剪力墙厚度变化的层，损伤集中十分明显。至第12s，核心筒损伤已经十分明显，而且针对剪力墙厚度的损伤集中仍旧十分明显。第20s之后，地震动进入尾段，损伤不在继续发展。可以十分明显地看到剪力墙两次收进截面对损伤演化的影响。在设计中应该十分注意。
（a）5s（b）10s
（c）12s（d）20s
图 6 核心筒损伤演化
4. 结语
从《规范》建议混凝土损伤本构关系出发，结合非线性有限元法，进行了钢筋框架剪力墙结构的非线性全过程分析。结果表明，基于非线性有限元模型和损伤本构关系，能够进行大震作用下的结构非线性全过程分析，分析结果对比表明，材料非线性对结构的响应有着显著的影响，大震作用下剪力墙的损伤开裂比较严重，在设计中应该予以重视。
参 考 文 献
[1]GB50010—2010 混凝土结构设计规范［S］． 北京: 中国建筑工业出版社，2010.
[2]Wu J Y， Li J and Faria R. An energy release rate-based plastic-damage model for concrete [J]. International Journal of Solids and Structures，Volume 43，Issues 3-4，February 2006，Pages 583-612.
[3]Hughes, T. J. R., The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis[M]. New York: Dover Publication, 2000