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直尺、三角板、量角器这些学具是学生再熟悉不过的操作工具．以往的考场上，这些学具主要是用来测量和作图的．在近几年的中考试卷中，这些学具却又呈现出不同的角色，它们成了一些中考数学试题的问题背景，操作工具，探究载体．学具的融入让“冰冷”的中考题透出一股灵气，为学生的思维搭建起操作平台，使学生的探究多了一份空间．现举例分析如下．
1． 借助刻度读数，考查学生从不同的问题情境中提取信息的能力
例1 （2010年?达州市）如图1，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．
解析 本题把直尺两边的平行与直尺的可度量性和圆的有关知识融合在一起，考查学生对垂径定理的掌握情况．数据的呈现非常独特，学生必须从题境中提取出这样的条件：弦长为8cm，弓形高为2cm，才能利用垂径定理求得光盘的直径．直尺和光盘的融入使单调的图形多了一些生气．
例2 （2009年?浙江）如图2，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为 °（只需写出0°～90°的角度）．
解析 本题借助于大小不等的两个量角器，构造出相交两圆的基本图形．学生要能够从这一背景中提取出弧的度数和弧所对圆心角的度数，并通过构造等腰三角形，把两个圆心角联系起来考虑才能顺利解决．
综合分析：以上两例将直尺、量角器与圆的有关知识融合在一起，让学生从中体验到学具在数学问题中的独特应用，大大激发了学生的解题兴趣．同时学具的融入提醒着学生要时刻关注生活，提高运用学具来解决问题的能力以及从不同的问题情境中提取信息的能力．
2． 借助学具操作，让学生在动手尝试中感知变化，明晰方法
例3 （2010年?浙江）如图3，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，2 （长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 （长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点．设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1） 过A，B两点的直线解析式是 ；
（2） 当t＝4时，点P的坐标为 ；当t ＝ ，点P与点E重合；
（3） ① 作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t=2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） y=－x+3； （2）（0，），t=；
（3） ① 当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图4）解得t=；
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图5），解得t=．
② 存在．理由如下： ∵ t=2， ∴ OE=，AP=2，OP=1．将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图6）． ∵ OB⊥EF， ∴ 点B′在直线EF上，C点坐标为（－，－1）．过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC．由===，可得Q的坐标为（－，）．根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′（－，）也符合条件．
解析 本题将直尺和三角板结合在一起，为学生设置了一个动手探究的问题情境．学生可以借助于现有三角板较为准确地画出图形，再通过平移直尺，找到点P和直线之间所有可能的相对位置，从而完整作答．一些抽象能力相对较弱的学生通过对直尺的操作，可以加深对问题理解．
例4 （2010年?株洲市）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得OA=3cm；
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图7），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1） 写出抛物线的对称轴；
（2） 求抛物线的解析式；
（3） 将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图8），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F． 求证：S=（EF2－9）．
解：（1） x=．（2） 抛物线的解析式为：y=x2－x．（3）过点E作ED⊥FG，垂足为D，设E（x,x2－x），则F（x+3,x2+x），得：EF2=DE2+DF2=32+［（x2+x）－（x2－x）］2=9+9x2
S=（EH+FG）=?［（x2－x）+（x2+x）］=x2．
∵ （EF2－9）=×9x2=x2， ∴ S=（EF2－9）．
解析 直尺的引入，增加了问题条件的隐蔽性．解决时学生如果能够借助于直尺平移，就能够把直尺的宽3cm用到图8中，发现抛物线上点E、F两点之间的水平距离是3cm，从而能够用点E的横坐标来表示点F的横坐标．在这里，直尺的引入为单调的图形增加了动感，让学生在探究的过程中可以借助于直尺帮助自己打开思路，从而发现解决问题的方法．
3． 借助于三角板的旋转，考查学生对不变因素的探究能力
例5 （2010年?黑龙江）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图9），易证∶AF+BF=2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图10、图11的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 解 如图12，作BH⊥CE，交CE于点H，证△ACE≌△CBH，得AE＝CH，BH＝CE． 图12中有结论AF＋BF＝2CE． 图13中有结论AF－BF＝2CE．
解析 因为等腰直角三角板的两直角边是相等的，所以在三角板旋转的过程中始终有△ACE≌△CBH．学生如果能够借助于学具操作，就容易抓住这样一个不变关系，问题也就迎刃而解．
例6 （2008年?徐州市）如图14，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图15，当=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
（2） 如图16，当=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当=m时，EP与EQ满足的数量关系式为 ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）．
【探究二】若=2，AC＝30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S的值或取值范围．
解：探究一（1） 通过全等证EP=EQ．（2） 作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，通过相似证Rt△EMP∽Rt△ENQ，所以==．（3）=，0 探究二：（1）设EQ=x，则S=EP?EQ=EQ2=x2，其中10≤x≤10．所以当x=EF=10cm时，S取得最小值50cm2；当x=EF=10cm时，S取得最大值75cm2．（2）当x=EB=5cm时，S=62.5cm2．故当50cm2＜S≤62.5cm2时，对应△EPQ有2个；当S=50cm2或62.5cm2＜S≤75cm2时，对应△EPQ有1个．
解析 本题借助于一副三角板，设置了一个探究空间非常大的压轴题．多数学生如果想不到借助于实物操作，则很难准确求出探究一中m的取值范围，以及探究二中的两问．
从以上几例可以看出，这种以学生身边熟悉的工具来设计的数学问题，打破了数学问题背景单一而枯燥的形式，体现了数学问题有趣而可求的本质．这种以学具为载体的问题常常与多边形、圆、函数等知识相结合，考察学生数形结合的能力以及综合运用知识分析问题的能力，这类问题有时还与图形的平移、对称、旋转相结合，考察学生变换的数学思想．
1． 借助刻度读数，考查学生从不同的问题情境中提取信息的能力
例1 （2010年?达州市）如图1，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．
解析 本题把直尺两边的平行与直尺的可度量性和圆的有关知识融合在一起，考查学生对垂径定理的掌握情况．数据的呈现非常独特，学生必须从题境中提取出这样的条件：弦长为8cm，弓形高为2cm，才能利用垂径定理求得光盘的直径．直尺和光盘的融入使单调的图形多了一些生气．
例2 （2009年?浙江）如图2，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为 °（只需写出0°～90°的角度）．
解析 本题借助于大小不等的两个量角器，构造出相交两圆的基本图形．学生要能够从这一背景中提取出弧的度数和弧所对圆心角的度数，并通过构造等腰三角形，把两个圆心角联系起来考虑才能顺利解决．
综合分析：以上两例将直尺、量角器与圆的有关知识融合在一起，让学生从中体验到学具在数学问题中的独特应用，大大激发了学生的解题兴趣．同时学具的融入提醒着学生要时刻关注生活，提高运用学具来解决问题的能力以及从不同的问题情境中提取信息的能力．
2． 借助学具操作，让学生在动手尝试中感知变化，明晰方法
例3 （2010年?浙江）如图3，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，2 （长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 （长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点．设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1） 过A，B两点的直线解析式是 ；
（2） 当t＝4时，点P的坐标为 ；当t ＝ ，点P与点E重合；
（3） ① 作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t=2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） y=－x+3； （2）（0，），t=；
（3） ① 当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图4）解得t=；
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图5），解得t=．
② 存在．理由如下： ∵ t=2， ∴ OE=，AP=2，OP=1．将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图6）． ∵ OB⊥EF， ∴ 点B′在直线EF上，C点坐标为（－，－1）．过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC．由===，可得Q的坐标为（－，）．根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′（－，）也符合条件．
解析 本题将直尺和三角板结合在一起，为学生设置了一个动手探究的问题情境．学生可以借助于现有三角板较为准确地画出图形，再通过平移直尺，找到点P和直线之间所有可能的相对位置，从而完整作答．一些抽象能力相对较弱的学生通过对直尺的操作，可以加深对问题理解．
例4 （2010年?株洲市）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得OA=3cm；
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图7），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1） 写出抛物线的对称轴；
（2） 求抛物线的解析式；
（3） 将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图8），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F． 求证：S=（EF2－9）．
解：（1） x=．（2） 抛物线的解析式为：y=x2－x．（3）过点E作ED⊥FG，垂足为D，设E（x,x2－x），则F（x+3,x2+x），得：EF2=DE2+DF2=32+［（x2+x）－（x2－x）］2=9+9x2
S=（EH+FG）=?［（x2－x）+（x2+x）］=x2．
∵ （EF2－9）=×9x2=x2， ∴ S=（EF2－9）．
解析 直尺的引入，增加了问题条件的隐蔽性．解决时学生如果能够借助于直尺平移，就能够把直尺的宽3cm用到图8中，发现抛物线上点E、F两点之间的水平距离是3cm，从而能够用点E的横坐标来表示点F的横坐标．在这里，直尺的引入为单调的图形增加了动感，让学生在探究的过程中可以借助于直尺帮助自己打开思路，从而发现解决问题的方法．
3． 借助于三角板的旋转，考查学生对不变因素的探究能力
例5 （2010年?黑龙江）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图9），易证∶AF+BF=2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图10、图11的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 解 如图12，作BH⊥CE，交CE于点H，证△ACE≌△CBH，得AE＝CH，BH＝CE． 图12中有结论AF＋BF＝2CE． 图13中有结论AF－BF＝2CE．
解析 因为等腰直角三角板的两直角边是相等的，所以在三角板旋转的过程中始终有△ACE≌△CBH．学生如果能够借助于学具操作，就容易抓住这样一个不变关系，问题也就迎刃而解．
例6 （2008年?徐州市）如图14，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图15，当=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
（2） 如图16，当=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当=m时，EP与EQ满足的数量关系式为 ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）．
【探究二】若=2，AC＝30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S的值或取值范围．
解：探究一（1） 通过全等证EP=EQ．（2） 作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，通过相似证Rt△EMP∽Rt△ENQ，所以==．（3）=，0
解析 本题借助于一副三角板，设置了一个探究空间非常大的压轴题．多数学生如果想不到借助于实物操作，则很难准确求出探究一中m的取值范围，以及探究二中的两问．
从以上几例可以看出，这种以学生身边熟悉的工具来设计的数学问题，打破了数学问题背景单一而枯燥的形式，体现了数学问题有趣而可求的本质．这种以学具为载体的问题常常与多边形、圆、函数等知识相结合，考察学生数形结合的能力以及综合运用知识分析问题的能力，这类问题有时还与图形的平移、对称、旋转相结合，考察学生变换的数学思想．