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摘 要：针对学生反应的电动力学中的数学困难问题做了以下改革。首先，由物理专职教师有侧重性地集中讲解数学问题；疏清知识点，穿插在习题讲解中；最后利用一些类比来理解数学中抽象的概念。
关键词：电动力学；数学；教学改革
中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）07-0103-02
一、目前现状及存在问题
电动力学是大学物理类本科生的必修课程之一，是学生进行基础物理学理论知识训练的核心课程，也是进一步学习更高等的基础课和各类专业课必不可少的准备专业课程。它包括宏观经典电磁场理论和狭义相对论的理论，这都是需要学生熟练掌握的内容。大学生对于该课程的学习是本科生教育中至关重要的一环。但是目前理工科本科学生普遍感到电动力学难学。其中一个重要原因就在于：学生往往不能快速有效地掌握并熟练应用电磁场理论所依赖的数学基础——微积分方程。因为要想很好地驾驭电动力学中微积分计算，不仅要有较好的物理思想，而且要有好的数学基础。这样，初学者常常从一开始就感到电动力学课程枯燥无味、难以上手；上课听讲似懂非懂、云里雾里，下课做题更无从下手。
数学方面的困难主要表现在以下几个方面：首先，学生的数学基础差。这主要是两方面原因造成的。其一，很多大学中物理专业的数学课程大多是由数学专业的老师讲授的，数学专业老师在物理专业知识方面的欠缺往往不能讲解数学方程所包含的物理内涵，这使得数学的讲解不能偏向物理专业的课程需要。其二，很多知识点讲解比较空乏，比较靠后的、在课程最后提到的某些知识，老师讲解的时候往往一带而过甚至不讲理，学生必然似懂非懂，这就欠了很多帐，而这往往恰恰是我们物理中所要用到的。比如著名的斯托克斯定理，大多数学生都不能深入理解并熟练运用，不能理解它在物理领域中的重要内涵和应用。因此，还需要在电动力学的教学中补足这些相关知识的教授并辅以必要的练习。
其次，数学的知识点较多，而且引入了比较抽象的概念，这造成学生普遍不能熟悉这些知识点。即使勉强记住也不能领会其意义，更不用说应用了。电动力学中常常用到的数学知识点如梯度，散度，旋度，点积，矢积，并积，各种正交坐标系，张量等等，学生往往学了后面忘了前面的，更不用说熟练地进行相关应用和推导。
最后，不能将抽象的数学与它的物理意义联系起来。学生往往对物理概念不清楚。比如，散度和旋度是学习电动力学首先接触到的两个概念，他们的数学与物理之间的对应是众多学生深感困惑和头疼的难题。于是他们就在学习最初就对这门课程产生畏难情绪，一直到最后。甚至有学生学完后问我：“老师，电动力学里面为什么有那么多的数学？”
二、针对这几个问题的对策
因为数学如此重要，以至于它决定了我们是否能够进入这门课程的学习，所以我们决定不要怕在数学上费时间，而专门多花些时间在数学方面，抓住学习电动力学的敲门砖。
针对以上这几方面的问题，我们有的放矢，做出了以下几个方面的举措，取得了一定的成绩。秉承适合学生的就是最好的教学方法、教无定法的原则，我们在教学中摸索以下关于数学方面的对策。
1.先不惜余力地强调数学对于物理学习的重要性并集中补充数学知识，精心挑选典型例题，结合例题讲解某个或某几个数学定理的运用
我们在课程伊始，就隆重告诉学生物理的精髓的载体就是数学公式，物理之美的体现也往往是用简洁漂亮的数学公式来表达。因此我们学习的第一步是要掌握好数学工具，具有从数学公式中鉴赏物理之美的能力，我们才能在万物之理的海洋里畅游无阻。引导学生以轻松愉快的心情带着物理思想去学习数学，才有可能在以后明白数学式子所包含的物理意义。这是学好数学的第一步，重在防止学生心理的不重视而造成态度上的不认真，从而浪费掉入门的恰当时机。
集中讲解，让学生对我们将要用到的数学有直观感受；仔细选择例题，使得例题涵盖比较难的数学式子的应用，使学生能力在处理具体问题的过程得到提高。我们还把教师讲解与学生积极参与有机地结合起来，引导学生在对各种公式的学习和领会，并体会它的物理意义，从而产生钻研本课程内容的兴趣。通过我们的尝试，取得了一定的效果。
2.我们将尽可能地把数学公式与物理真实对应起来
由于数学专业的老师讲课往往不能侧重于物理知识点的学习，那么我们在课程前二到三次时间里集中将式子引入物理真实，将物理中用到的数学式子单独摘出来，重点讲解，并且重点偏向于应用。至于证明，给学生指定权威的参考文献，以供学有余力的学生查阅。
3.针对物理中用到的知识点，重点讲解；并布置习题，让学生分组完成
一般教师会在第一次讲解后留一些比较难而且典型的习题，让学生分组完成。这种看似浪费时间的行为将在以后整个课程学习和教学中大大受益。
现在物理专业的课程学时一般都很紧张，需要老师不停地讲解，往往抽不出时间来做其他课外的师生交流。但是恰恰是四大力学之一的电动力学，即使课时紧张，也要抽出时间来解决数学问题。
分组就是其中一个解决办法。分组的好处在于：学生的程度不同，着眼点不同，分组讨论时，可以相互碰撞出火花；另外，也有利于先进带动、促进后进，无形中减轻了教师的压力。
分组采取的形式一般为：（1）在第一次课结束后，學生找时间进行第一次讨论。针对老师留下的难处理的问题给出初稿，然后老师参加第二次讨论，针对学生的初稿指出不足。（2）搜集学生第一次讨论后的认为的难点、容易混淆的点，让学生每个组写出自己的心得体会和解决方法。群策群力，学生一般会在这种解决问题中提高自己的认识，锻炼了自己的能力。
经过这样的分组讨论和梳理思路，学生已经对学过的数学知识有了初步的应用能力。
4.借助于一些较不那么抽象的概念或者实物来理解抽象的数学公式和概念 散度和旋度是我们首先接触并且贯穿始终的两个物理量，一定要把它的意义吃透。在定义的基础上，首先形象给学生说明：从一个点向外发射“射线”，穿过紧紧包围着这个点的一个小球面，散度是那穿过小球面的射线的通量；而一个量绕着一个很小的圆环，而这个量的旋度就是垂直穿过这个小圆环的量，方向用右手判断，四指沿圆环的给定方向，拇指竖起，就是该旋度方向。
如果学生还表示不理解，那么我们可以借助水流把上面说明中的散度和旋度具体化。设想水从一个源头流出，不同大小、不同水流量的源头在不同时间内流出的水体积不同，为了表征这种不同，引入了散度的概念。注意这里散度是点量，因为它的物理意义是在单位时间内单位体积内流水的体积。水流量是积分量，它的物理意义是就是单位时间内流出的水量。这样流水量就可类比于通量。散度是有正负的，有水涌出的源就有正的散度，有水涌入的源散度就为负。
在这种水流情况下，可以根据水中的涡旋旋转的快慢不同，我们引入水流的旋度来描述涡旋旋转的快慢。无旋就是没有漩涡源。
我们还可以想象：有一条河，如果河水不流走，也没有其他水源、泉水加入，那么散度就是零。进多少，出多少。你撒一大把黑白相间的小球进入河流，如果小球都不旋转，旋度就是零。转得多，旋度大。
概括说来，我们可以通过流水来形象地理解散度和旋度：有水流出或流入的地方即为有散度；而旋度是因为有涡旋，有旋涡就有旋度。也就是说散度对应源来说，旋度对应旋而言。
总之，为了扫除数学这个障碍，我们需要在课程伊始就下大工夫，为我们以后学习、征服最终享受物理打好基础，并使数学成为我们得心应手的工具。
三、结论
电动力学对于物理学专业的学生来说是非常重要的课程，是进一步进入很多科学研究领域的基础课程，但在学习伊始，就有很多同学因为数学问题欠账而对这门课的学习痛苦不堪。所以，我们针对电动力学中的数学问题进行了自己的探索和改革，让学生能够积极主动投入到这门课程的学习之中。同时由于学习的相通性，這种能力的提高必然在后续物理知识的学习上让学生受益无穷。
（作者单位：郑州大学物理工程学院）
参考文献：
[1]郭硕鸿.电动力学第三版.高等教育出版社，2009.
[2]俞允强.电动力学简明教程.北京大学出版社，1999.
[3]罗春荣，陆建隆.电动力学.西安交通大学出版社，2000.
[4]Yu.V.Novozhilov and Yu，A.Yappa，Electrodynamics，MirPublishersMoscow，1986.
[5]潘根.基础物理述评教程.科学出版社，2001.
[6]赵凯华.对当前物理教学改革的几点看法.大学物理，2000，19（2）
关键词：电动力学；数学；教学改革
中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）07-0103-02
一、目前现状及存在问题
电动力学是大学物理类本科生的必修课程之一，是学生进行基础物理学理论知识训练的核心课程，也是进一步学习更高等的基础课和各类专业课必不可少的准备专业课程。它包括宏观经典电磁场理论和狭义相对论的理论，这都是需要学生熟练掌握的内容。大学生对于该课程的学习是本科生教育中至关重要的一环。但是目前理工科本科学生普遍感到电动力学难学。其中一个重要原因就在于：学生往往不能快速有效地掌握并熟练应用电磁场理论所依赖的数学基础——微积分方程。因为要想很好地驾驭电动力学中微积分计算，不仅要有较好的物理思想，而且要有好的数学基础。这样，初学者常常从一开始就感到电动力学课程枯燥无味、难以上手；上课听讲似懂非懂、云里雾里，下课做题更无从下手。
数学方面的困难主要表现在以下几个方面：首先，学生的数学基础差。这主要是两方面原因造成的。其一，很多大学中物理专业的数学课程大多是由数学专业的老师讲授的，数学专业老师在物理专业知识方面的欠缺往往不能讲解数学方程所包含的物理内涵，这使得数学的讲解不能偏向物理专业的课程需要。其二，很多知识点讲解比较空乏，比较靠后的、在课程最后提到的某些知识，老师讲解的时候往往一带而过甚至不讲理，学生必然似懂非懂，这就欠了很多帐，而这往往恰恰是我们物理中所要用到的。比如著名的斯托克斯定理，大多数学生都不能深入理解并熟练运用，不能理解它在物理领域中的重要内涵和应用。因此，还需要在电动力学的教学中补足这些相关知识的教授并辅以必要的练习。
其次，数学的知识点较多，而且引入了比较抽象的概念，这造成学生普遍不能熟悉这些知识点。即使勉强记住也不能领会其意义，更不用说应用了。电动力学中常常用到的数学知识点如梯度，散度，旋度，点积，矢积，并积，各种正交坐标系，张量等等，学生往往学了后面忘了前面的，更不用说熟练地进行相关应用和推导。
最后，不能将抽象的数学与它的物理意义联系起来。学生往往对物理概念不清楚。比如，散度和旋度是学习电动力学首先接触到的两个概念，他们的数学与物理之间的对应是众多学生深感困惑和头疼的难题。于是他们就在学习最初就对这门课程产生畏难情绪，一直到最后。甚至有学生学完后问我：“老师，电动力学里面为什么有那么多的数学？”
二、针对这几个问题的对策
因为数学如此重要，以至于它决定了我们是否能够进入这门课程的学习，所以我们决定不要怕在数学上费时间，而专门多花些时间在数学方面，抓住学习电动力学的敲门砖。
针对以上这几方面的问题，我们有的放矢，做出了以下几个方面的举措，取得了一定的成绩。秉承适合学生的就是最好的教学方法、教无定法的原则，我们在教学中摸索以下关于数学方面的对策。
1.先不惜余力地强调数学对于物理学习的重要性并集中补充数学知识，精心挑选典型例题，结合例题讲解某个或某几个数学定理的运用
我们在课程伊始，就隆重告诉学生物理的精髓的载体就是数学公式，物理之美的体现也往往是用简洁漂亮的数学公式来表达。因此我们学习的第一步是要掌握好数学工具，具有从数学公式中鉴赏物理之美的能力，我们才能在万物之理的海洋里畅游无阻。引导学生以轻松愉快的心情带着物理思想去学习数学，才有可能在以后明白数学式子所包含的物理意义。这是学好数学的第一步，重在防止学生心理的不重视而造成态度上的不认真，从而浪费掉入门的恰当时机。
集中讲解，让学生对我们将要用到的数学有直观感受；仔细选择例题，使得例题涵盖比较难的数学式子的应用，使学生能力在处理具体问题的过程得到提高。我们还把教师讲解与学生积极参与有机地结合起来，引导学生在对各种公式的学习和领会，并体会它的物理意义，从而产生钻研本课程内容的兴趣。通过我们的尝试，取得了一定的效果。
2.我们将尽可能地把数学公式与物理真实对应起来
由于数学专业的老师讲课往往不能侧重于物理知识点的学习，那么我们在课程前二到三次时间里集中将式子引入物理真实，将物理中用到的数学式子单独摘出来，重点讲解，并且重点偏向于应用。至于证明，给学生指定权威的参考文献，以供学有余力的学生查阅。
3.针对物理中用到的知识点，重点讲解；并布置习题，让学生分组完成
一般教师会在第一次讲解后留一些比较难而且典型的习题，让学生分组完成。这种看似浪费时间的行为将在以后整个课程学习和教学中大大受益。
现在物理专业的课程学时一般都很紧张，需要老师不停地讲解，往往抽不出时间来做其他课外的师生交流。但是恰恰是四大力学之一的电动力学，即使课时紧张，也要抽出时间来解决数学问题。
分组就是其中一个解决办法。分组的好处在于：学生的程度不同，着眼点不同，分组讨论时，可以相互碰撞出火花；另外，也有利于先进带动、促进后进，无形中减轻了教师的压力。
分组采取的形式一般为：（1）在第一次课结束后，學生找时间进行第一次讨论。针对老师留下的难处理的问题给出初稿，然后老师参加第二次讨论，针对学生的初稿指出不足。（2）搜集学生第一次讨论后的认为的难点、容易混淆的点，让学生每个组写出自己的心得体会和解决方法。群策群力，学生一般会在这种解决问题中提高自己的认识，锻炼了自己的能力。
经过这样的分组讨论和梳理思路，学生已经对学过的数学知识有了初步的应用能力。
4.借助于一些较不那么抽象的概念或者实物来理解抽象的数学公式和概念 散度和旋度是我们首先接触并且贯穿始终的两个物理量，一定要把它的意义吃透。在定义的基础上，首先形象给学生说明：从一个点向外发射“射线”，穿过紧紧包围着这个点的一个小球面，散度是那穿过小球面的射线的通量；而一个量绕着一个很小的圆环，而这个量的旋度就是垂直穿过这个小圆环的量，方向用右手判断，四指沿圆环的给定方向，拇指竖起，就是该旋度方向。
如果学生还表示不理解，那么我们可以借助水流把上面说明中的散度和旋度具体化。设想水从一个源头流出，不同大小、不同水流量的源头在不同时间内流出的水体积不同，为了表征这种不同，引入了散度的概念。注意这里散度是点量，因为它的物理意义是在单位时间内单位体积内流水的体积。水流量是积分量，它的物理意义是就是单位时间内流出的水量。这样流水量就可类比于通量。散度是有正负的，有水涌出的源就有正的散度，有水涌入的源散度就为负。
在这种水流情况下，可以根据水中的涡旋旋转的快慢不同，我们引入水流的旋度来描述涡旋旋转的快慢。无旋就是没有漩涡源。
我们还可以想象：有一条河，如果河水不流走，也没有其他水源、泉水加入，那么散度就是零。进多少，出多少。你撒一大把黑白相间的小球进入河流，如果小球都不旋转，旋度就是零。转得多，旋度大。
概括说来，我们可以通过流水来形象地理解散度和旋度：有水流出或流入的地方即为有散度；而旋度是因为有涡旋，有旋涡就有旋度。也就是说散度对应源来说，旋度对应旋而言。
总之，为了扫除数学这个障碍，我们需要在课程伊始就下大工夫，为我们以后学习、征服最终享受物理打好基础，并使数学成为我们得心应手的工具。
三、结论
电动力学对于物理学专业的学生来说是非常重要的课程，是进一步进入很多科学研究领域的基础课程，但在学习伊始，就有很多同学因为数学问题欠账而对这门课的学习痛苦不堪。所以，我们针对电动力学中的数学问题进行了自己的探索和改革，让学生能够积极主动投入到这门课程的学习之中。同时由于学习的相通性，這种能力的提高必然在后续物理知识的学习上让学生受益无穷。
（作者单位：郑州大学物理工程学院）
参考文献：
[1]郭硕鸿.电动力学第三版.高等教育出版社，2009.
[2]俞允强.电动力学简明教程.北京大学出版社，1999.
[3]罗春荣，陆建隆.电动力学.西安交通大学出版社，2000.
[4]Yu.V.Novozhilov and Yu，A.Yappa，Electrodynamics，MirPublishersMoscow，1986.
[5]潘根.基础物理述评教程.科学出版社，2001.
[6]赵凯华.对当前物理教学改革的几点看法.大学物理，2000，19（2）