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数学解题技巧是人们在各种数学活动中不断的积累以及通过大量的练习得到的经验。它包括数学解题的基本技能技巧、创新技巧和特殊技巧,只有加强了学生解题的能力,才能更好地解决问题,因此在完成数学基础知识、基本技能学习的同时,应有目的、有意识的提高学生解题技巧的能力。
一、 基本技能技巧的加强
基本技能技巧是我们在熟练掌握数学概念、公式、定理的基础上抽象概括出来的一种方法,它源于双基而又高于双基,是解决一般性数学问题所必须掌握的,我们可以从以下几点进行加强。
1理解、掌握基础知识、基本技能
我们都听说过艺术源于生活又高于生活,学习数学也是这样一个道理,我们只有掌握了最基本的概念、公式、定理才能得到一些关于问题解决的方法。
为了更好地掌握双基,我们在授课过程中除了要求学生做到课前预习、上课认真听讲、课后自主完成作业、复习之外,在学习过程中还应该深入理解概念、公式、定理。我们可以把每一堂课所学到的重要概念、公式、定理单独抓出来放在一起,作为重点对象联系实际问题让学生揣摩。
2观察、分析、思考问题的等价问题
在我们掌握双基的同时,为了更好、更快、更容易的解决问题,我们可以观察、分析、思考问题的等价问题,即将问题转化为我们熟悉的、较容易理解的问题进行思考。
例如,如图所示,张大爷打算在院落里种上蔬菜,已知院落为东西长32m,南北宽20m 的长方形,为了行走方便,要修筑同样宽的三条道路:东西两条,南北一条,南北道路垂直于东西道路,余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜,要使蔬菜地总面积为558㎡,道路的宽应为多少。
仔细审题我们可以找出与问题直接相关的信息,根据这些信息联系图形可以知道:
道路面积+蔬菜地面积=院子的面积,假设道路宽为x,则道路面积相当于三条道路的面积减去一条路重复部分的面积。即:558+32×2x+20x-2x问题得以解决。
在这里我们利用双基虽得以解决了问题,但理解起来难,现在我们将问题进行了转化,如图(二)。认真观察我们发现它与图(一)实际上是等价的,这样一来就可将其转化为直接表示菜地面积,即:
(32-x)(20-2x)=558,达到解决问题。
二、 创新技巧的培养
创新技巧是我们在掌握基本技能、技巧的基础上升华出来的解决较难问题的一种科学方法。在这里难是相对的,它只是在一般问题的基础上绑了两层纱布,与一般问题的实质是相同的,我们只需在研究问题的时候多思、多联系实际,利用辅导性工具把问题简单化便可以顺利揭开问题的神秘面纱,我们将从以下两点培养创新技巧。
1从题意出发,把问题转化为实际问题
从题意出发,把问题转化为实际问题,要求我们善于审题,仔细分析题意,找出真正需要解决的问题,把问题转化为我们现有知识所知的,较于理解的实际问题,在这一过程中,双基是前提,基本技能技巧是基础,充分利用双基与基本技能技巧把问题实际化。
2利用辅助性工具
创新其实质就是与众不同,我们在解决问题的时候利用作辅助线、等价变形把我们所知的实际问题简单化。在作辅助线、等价变形的时候与我们所要解决的问题紧密联系,满足所作的辅助线或变形能建立两个问题的桥梁,这便要求我们要审清题意,善于抓关键点,在学习中不断发散自己的思维。
例如:如图所示,梯形ABCD中,AD//BC,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动,点Q从点C开始沿CB向B点以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、C同时出发,设移动时间t秒,求t为何值时,梯形PQCD为等腰三角形。
认真分析题意,我们可以假设P、Q运动到如图位置时,梯形是 PQCD是等腰梯形,即:PQ=CD,利用已知条件,我们可以用t表示出梯形的上、下底,但要解出t,我们必须建立一个关于t的等价关系式,在这里我们无法将梯形的上、下底直接用t联系起来,但是考虑到一条信息,我们可以想到有此作为突破口做辅助性工具,即我们作PN⊥BC,DM⊥BC,就达到把PQ=CD转化为QN=CM,根据已知条件我们可以得出QN,同时QN又可以由t表示出发,建立关系式,问题得以解决。
根据这一例子,我们便发现利用辅助性工具,用在哪里,什么时候用是一个难点,这就要求我们要紧密联系相关信息,不断发散思维,认真揣摩,不断积累经验。
三、 特殊技巧的运用
在这里特殊技巧只是我们对这种方法的一种简单命名,它是一种不按常理的超越性的解题方法,其实只是利用投机的方法以直接解决问题为目的,这一过程可能存在很多的疑问,但对问题的解决没有形成直接的影响,常用于某些选择题的备选项作为答案一,一代入原题分析,在代入原题之前,我们可以首先分析备选答案间的矛盾,由第一次代入的结论先排除部分选项,减少代入次数。
例:若│a-3│+a-3=0, 则a取值范围是()
Aa≤3Ba<3
Ca≥3Da>3
根据备选项我们可以很容易的发现,a=3是一个突破口,由a=3的首次代入便可以排除掉一半的选项,在第二次取特殊值代入问题便迎刃而解。
又例如:设a=3-2, b=2-3 c=5-2,则a、b、c的大小关系是()
Aa>b>cBa>c>b
Cc>b>aDb>c>a
同理根据备选项我们也可以找到选项的矛盾之处,根据我们掌握的基本技能,我们首先想到的便是两两作差或作商比较能够解除答案,但在这里我们只需知道3、5、2的近似取值就可以轻松选出答案,对问题的解决不够成任何差异,还提高了解题的速度。特殊技巧的培养要求我们在学习过程中要多思、好问,加强逆向思维,从不同的角度去观察问题、分析问题、思考问题,把典型体的特殊技巧的应用记录下来,不断积累经验。
一、 基本技能技巧的加强
基本技能技巧是我们在熟练掌握数学概念、公式、定理的基础上抽象概括出来的一种方法,它源于双基而又高于双基,是解决一般性数学问题所必须掌握的,我们可以从以下几点进行加强。
1理解、掌握基础知识、基本技能
我们都听说过艺术源于生活又高于生活,学习数学也是这样一个道理,我们只有掌握了最基本的概念、公式、定理才能得到一些关于问题解决的方法。
为了更好地掌握双基,我们在授课过程中除了要求学生做到课前预习、上课认真听讲、课后自主完成作业、复习之外,在学习过程中还应该深入理解概念、公式、定理。我们可以把每一堂课所学到的重要概念、公式、定理单独抓出来放在一起,作为重点对象联系实际问题让学生揣摩。
2观察、分析、思考问题的等价问题
在我们掌握双基的同时,为了更好、更快、更容易的解决问题,我们可以观察、分析、思考问题的等价问题,即将问题转化为我们熟悉的、较容易理解的问题进行思考。
例如,如图所示,张大爷打算在院落里种上蔬菜,已知院落为东西长32m,南北宽20m 的长方形,为了行走方便,要修筑同样宽的三条道路:东西两条,南北一条,南北道路垂直于东西道路,余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜,要使蔬菜地总面积为558㎡,道路的宽应为多少。
仔细审题我们可以找出与问题直接相关的信息,根据这些信息联系图形可以知道:
道路面积+蔬菜地面积=院子的面积,假设道路宽为x,则道路面积相当于三条道路的面积减去一条路重复部分的面积。即:558+32×2x+20x-2x问题得以解决。
在这里我们利用双基虽得以解决了问题,但理解起来难,现在我们将问题进行了转化,如图(二)。认真观察我们发现它与图(一)实际上是等价的,这样一来就可将其转化为直接表示菜地面积,即:
(32-x)(20-2x)=558,达到解决问题。
二、 创新技巧的培养
创新技巧是我们在掌握基本技能、技巧的基础上升华出来的解决较难问题的一种科学方法。在这里难是相对的,它只是在一般问题的基础上绑了两层纱布,与一般问题的实质是相同的,我们只需在研究问题的时候多思、多联系实际,利用辅导性工具把问题简单化便可以顺利揭开问题的神秘面纱,我们将从以下两点培养创新技巧。
1从题意出发,把问题转化为实际问题
从题意出发,把问题转化为实际问题,要求我们善于审题,仔细分析题意,找出真正需要解决的问题,把问题转化为我们现有知识所知的,较于理解的实际问题,在这一过程中,双基是前提,基本技能技巧是基础,充分利用双基与基本技能技巧把问题实际化。
2利用辅助性工具
创新其实质就是与众不同,我们在解决问题的时候利用作辅助线、等价变形把我们所知的实际问题简单化。在作辅助线、等价变形的时候与我们所要解决的问题紧密联系,满足所作的辅助线或变形能建立两个问题的桥梁,这便要求我们要审清题意,善于抓关键点,在学习中不断发散自己的思维。
例如:如图所示,梯形ABCD中,AD//BC,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动,点Q从点C开始沿CB向B点以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、C同时出发,设移动时间t秒,求t为何值时,梯形PQCD为等腰三角形。
认真分析题意,我们可以假设P、Q运动到如图位置时,梯形是 PQCD是等腰梯形,即:PQ=CD,利用已知条件,我们可以用t表示出梯形的上、下底,但要解出t,我们必须建立一个关于t的等价关系式,在这里我们无法将梯形的上、下底直接用t联系起来,但是考虑到一条信息,我们可以想到有此作为突破口做辅助性工具,即我们作PN⊥BC,DM⊥BC,就达到把PQ=CD转化为QN=CM,根据已知条件我们可以得出QN,同时QN又可以由t表示出发,建立关系式,问题得以解决。
根据这一例子,我们便发现利用辅助性工具,用在哪里,什么时候用是一个难点,这就要求我们要紧密联系相关信息,不断发散思维,认真揣摩,不断积累经验。
三、 特殊技巧的运用
在这里特殊技巧只是我们对这种方法的一种简单命名,它是一种不按常理的超越性的解题方法,其实只是利用投机的方法以直接解决问题为目的,这一过程可能存在很多的疑问,但对问题的解决没有形成直接的影响,常用于某些选择题的备选项作为答案一,一代入原题分析,在代入原题之前,我们可以首先分析备选答案间的矛盾,由第一次代入的结论先排除部分选项,减少代入次数。
例:若│a-3│+a-3=0, 则a取值范围是()
Aa≤3Ba<3
Ca≥3Da>3
根据备选项我们可以很容易的发现,a=3是一个突破口,由a=3的首次代入便可以排除掉一半的选项,在第二次取特殊值代入问题便迎刃而解。
又例如:设a=3-2, b=2-3 c=5-2,则a、b、c的大小关系是()
Aa>b>cBa>c>b
Cc>b>aDb>c>a
同理根据备选项我们也可以找到选项的矛盾之处,根据我们掌握的基本技能,我们首先想到的便是两两作差或作商比较能够解除答案,但在这里我们只需知道3、5、2的近似取值就可以轻松选出答案,对问题的解决不够成任何差异,还提高了解题的速度。特殊技巧的培养要求我们在学习过程中要多思、好问,加强逆向思维,从不同的角度去观察问题、分析问题、思考问题,把典型体的特殊技巧的应用记录下来,不断积累经验。