函数中的任意性和存在性问题，很好地体现了函数思想与逻辑推理的紧密联系，本文通过对一个函数问题的三种变式研究，谈谈函数中有关任意性和存在性问题的转化策略，希望对同学们有所启发．
　　问题：已知函数ｆ（ｘ）＝２ｋ２ｘ＋ｋ，ｘ∈［０，１］，函数ｇ（ｘ）＝３ｘ２－２（ｋ２＋ｋ＋１）ｘ＋５，ｘ∈［－１，０］．当ｋ＝６时，对任意ｘ１∈［０，１］，是否存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立？若ｋ＝２呢？
　　分析：记ｆ（ｘ）的值域为Ａ，ｇ（ｘ）的值域为Ｂ，当ｋ＝６时，Ａ＝［６，７８］，Ｂ＝［５，９４］，由于Ａ?Ｂ，所以，对任意ｘ１∈［０，１］，存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立．
　　当ｋ＝２时，Ａ＝［２，１０］，Ｂ＝［５，１２］，由于Ａ?Ｂ，所以，对任意ｘ１∈［０，１］，不一定存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立．
　　变式１：对任意ｘ１∈［０，１］，存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立，求ｋ的取值范围．
　　分析：由于Ａ＝［ｋ，２ｋ２＋ｋ］，Ｂ＝［５，２ｋ２＋２ｋ＋１０］，根据题意，只要Ａ?Ｂ即可．也就是求满足条件ｋ≥５，
　　２ｋ
　　＋ｋ≤２ｋ
　　＋２ｋ＋１０的解集，从而解得ｋ≥５．
　　通过上面的分析，我们可归纳出如下结论：
　　结论１：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的值域为Ａ，ｇ（ｘ）在［ｃ，ｄ］上的值域为Ｂ，则Ａ?Ｂ?任意ｘ１∈［ａ，ｂ］存在ｘ２∈［ｃ，ｄ］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立．
　　变式２：存在ｘ１∈［０，１］，ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立，求ｋ的取值范围．
　　分析：要使“存在ｘ１∈［０，１］，ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立”，只要Ａ∩Ｂ≠?即可．为此，我们先求Ａ∩Ｂ≠?的ｋ的取值范围．
　　若Ａ∩Ｂ＝?，则２ｋ２＋ｋ＜５或２ｋ２＋２ｋ＋１０＜ｋ，解得＜ｋ＜，所以，符合题意的ｋ的取值范围为（－∞，］∪，＋∞）．
　　我们将上述问题再作一般性的推广，易得如下结论成立：
　　结论２：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的值域为Ａ，ｇ（ｘ）在［ｃ，ｄ］上的值域为Ｂ，则存在ｘ１∈［ａ，ｂ］，ｘ２∈［ｃ，ｄ］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立?Ａ∩Ｂ≠?．
　　变式３：对任意ｘ１∈［０，１］，存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＜ｆ（ｘ１）成立，求ｋ的取值范围．
　　分析：要使“对任意ｘ１∈［０，１］，存在ｘ２∈［－１，０］，使得ｇ（ｘ２）＜ｆ（ｘ１）成立”，只要ｇ（ｘ）ｍｉｎ＜ｆ（ｘ）ｍｉｎ即可．由于Ａ＝［ｋ，２ｋ２＋ｋ］，Ｂ＝［５，２ｋ２＋２ｋ＋１０］，所以只要ｋ＞５即可．
　　若将它推广到一般情况，则有如下结论成立：
　　结论３：任意ｘ１∈［ａ，ｂ］，存在ｘ２∈［ｃ，ｄ］，使得ｇ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）成立?ｇ（ｘ）ｍｉｎ＜ｆ（ｘ）ｍｉｎ．
　　进一步分析，易得下面结论：
　　结论４：任意ｘ１∈［ａ，ｂ］，ｘ２∈［ｃ，ｄ］，使得ｇ（ｘ２）＜ｆ（ｘ１）成立?ｇ（ｘ）ｍｉｎ＜ｆ（ｘ）ｍｉｎ．
　　讲到这里，请同学们不妨解答如下两个问题：
　　１．　已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－（ｋ２－ｋ＋１）ｘ２＋５ｘ－２，ｇ（ｘ）＝ｋ２ｘ２＋ｋｘ＋１，其中ｋ∈Ｒ．设函数ｑ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｘ≥０
　　ｆ（ｘ），ｘ＜０是否存在ｋ，对任意给定的非零实数ｘ１，存在惟一的非零实数ｘ２（ｘ２≠ｘ１），使得ｑ（ｘ２）＝ｑ（ｘ１）？若存在，求ｋ的值；若不存在，请说明理由．
　　答案：ｋ＝５．
　　２．　已知函数ｆ（ｘ）＝（２－ａ）（ｘ－１）－２ｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｘｅ１－ｘ．若对任意给定的ｘ０∈（０，ｅ］，在（０，ｅ］上总存在两个不同的ｘｉ（ｉ＝１，２），使得ｆ（ｘｉ）＝ｇ（ｘ０）成立，求ａ的取值范围．
　　答案：　ａ∈（－∞，２－］．
　　同学们，我们应该明确，有关函数中的存在性与任意性问题，可把函数值的相等关系转化为函数值域之间的包含关系，把函数值之间的不等关系转化为函数最值的大小关系，并注意转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法的恰当应用．
　　（作者单位：浙江省绍兴县柯桥中学）
　　责任编校 徐国坚