20.（2011全国）设数列{an}满足a1=0且
　　=1。
　　（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
　　（Ⅱ）设bn=，记Sn= bk，证明：Sn<1。
　　（Ⅰ）解法一：设Cn=，则Cn+1-Cn=1，C1=1，
　　即数列{Cn}是以1为首项、公差为1的等差数列。
　　∴Cn=C1+（n-1）d=n，∴ =n
　　∴an=（n∈N）
　　解法二：由=1，可得：
　　
　　
　　
　　…………
　　
　　
　　
　　把上面n-1个式子累加，得：
　　
　　又∵a1=0，得an= 。
　　解法三：由=1,得
　　∵a1=0
　　∴ =2，a2=
　　
　　
　　
　　…… ……
　　猜想：an=（n∈N）
　　下面用数学归纳法证明：
　　①当n=1时，a1=0等式成立。
　　②假设当n=k(k∈N)时成立，即ak=
　　那么，当n=k+1时，
　　
　　∴ak+1==
　　∴当n=k+1时，等式成立。
　　由①②可知，对一切的n∈N，an=（n∈N）都成立。
　　∴an=（n∈N）
　　（Ⅱ）bn=
　　∴Sn=∑bk=b1+b2+…+bn
　　=1-
　　=1- <1
　　即Sn<1。
　　反思：
　　解法一是用构造法求通项公式，或直接设为{}，简洁明了，不易出错，也是绝大多数学生选择的方法。
　　解法二用累加法（或相加相消法），过程简明扼要，学生不难理解。
　　解法三由=1，得到an与an+1的递推关系式 ，由a1=0可递推出a2、a3、……进而猜想，这种“归纳——猜想——证明”的思想方法，是“数列”模块培养学生创新能力和理性思维的主要目标。但有些学生只是完成了“归纳——猜想”两步，没有从理论上给予严格的证明，这种疏忽造成解题过程缺乏严谨性，造成没必要的失分。而依bn= 的结构特点，相加相消求其前n项和，结果显然小于1，裂项是关键，难度适中，基本上都是这种解法。
　　这三种方法都很典型，细心研究，会发现在2009年高考题第19题第（Ⅱ）问都考查过，并且这三种方法也是通性通法，在平常教学和高考复习中都会强调，学生只要灵活选择其中一种解法，都能顺利解答。考题总体来说比较平稳规范，考查了典型方法和知识，这与高考命制试题原则考查基础知识的同时注重考查能力相一致。这就要求我们平常教学中要注重基础，培养能力，将知识、能力和素质融为一体，尤其在解题的灵活性和严谨性方面多训练学生，注意解题的规范性，形成良好的思维习惯和数学素养。