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摘要：分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,也是一种重要的数学解题策略.题目中含有不确定的参数、某些数学概念包含多种可能、对应关系不确定、某些排列组合问题等都会诱发分类讨论.本文通过一些数学例子，分析了分类讨论的几种情况，阐明分类讨论要求对象确定、标准统一、不重复、不遗漏、分层次、不越级等原则.但有些时候,利用分类讨论解题比较烦琐,可以通过正难则反、挖掘隐含条件、分离参数、等价转化等途径简化和避免分类讨论.
关键词：分类讨论；简化；解题
Application of Classified Discussion in Mathematics Problems Solving
Jiang Feng-qin
Abstract：The thought of Classifed discussion is an important mathematics thought method, and it is an vital strategy to slove mathematical problems. In the topic, some factors are able to induce the classified discussion,for example,the proble including the indefinite parameter, containing many kinds of possibility of certain mathematics concept , indefiniting the corresponding relationships and certain arrangement combination in some problems and so on. During the classified discussion, it must accordes the principles thatthedeterming object , the unificating standard, not redundant, does not omit, does not jump the ranks and so on to carry on the classified discussion in administrative levels. But sometimes, it is quite troublesome to use classification discussion to solve problem. It may through difficult counter-, excavation ways and so on concealment condition, separation parameter, equal transformation to simplify and avoid classifing the discussion.
Key words：classifies discussion；simplifing；solving problem
分類是中学数学中一种重要的思想方法。分类讨论，一方面可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题,有助于问题的解决；另一方面，恰当进行分类，可避免以偏概全,丢值漏解。
一、题目中含有不确定的参数时需分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法，如含参数的方程或不等式，直线的点斜式方程等，这时需进行分类讨论。
例 一次函数 ,当 时,对应的 值为 ,则 的值是_____。
或或
分析 题目中给出了一个函数图象的一部分(线段),不能只认为是当 时,；当时 , 。因此可以分成 和 两种情形进行讨论:当 时,线段的两个端点为 和 ,则我们能够得到 , , ；当 时,线段两端点为 和 ,则 , , ，所以应选 。
评注：本题是针对含有不确定参数的分类讨论，由于在不同条件下问题有不同的结论，所以我们在解题时要注意分类，以免出现漏解现象。
二、某些数学概念包含多种可能时需分类讨论
有的数学概念就是分类给出的(概念的内涵分类)。如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等定义中，包含了分类。有的数学概念在定义时，明确了范围，也将引起讨论，如直线的倾斜角等。
例 解不等式：
分析要正确去掉绝对值符号，必须明确对数的正负，而相应的 的取值范围并不清楚，为便于划分 的取值区间，令 得零点值 由此分三类讨论。
解 时，原不等式化为
得
此时不等式得解为
时，同法求得
，同法求得 .
综上，原不等式的解集为
三、对应关系不确定时需分类讨论
当题目中不能确定对应关系时，在求解过程中，则需根据可能出现的情形进行分类讨论。
例 一个钢筋三角架的三边长分别是 、 、 ,现要做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为 和 的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有_____种。
分析由题意及三角形三边关系知,长为 和 的两根钢筋中,的钢筋必为欲做的钢筋三角架的一边,不妨设从 的钢筋上截下的两段长为 、 ,且 , 应分三种情况讨论:
⑴若 时,,舍去；
⑵若 时, ,符合题意；
⑶若 时,,也符合题意。
故不同的截法有两种.
例已知矩形 中， ， （ ）, 平面 ，问 边上是否存在点 使得 ，并说明理由。
分析由于矩形是变动的，在 边上是否存在 使得 与 与 的取值有关，因此需分类讨论．
解 如图所示，连接 ，由三垂线定理知，若 ，则必有 。设 ，则
在 中， ，整理得 判别式 则
当 , 即 时， 边上不存在点 满足
当 ，即 时，边 上不存在点 满足 此时 ， 即 为的中点;
当 ，即 时， 边上有两个点使得 ．此时， 。
此题是由于线段长度的不确定性引起的分类讨论，同时也体现了转化与化归思想，把点的个数问题化归为一元二次方程根的讨论问题。
四、某些排列组合问题需要分类讨论
含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题,其解题的基本策略,就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分,将问题转化为最基本、最简单的排列组合问题,然后结合加法原理或乘法原理完成解答。
例 从 个元素中，取出个放在四个不同的格子中，且元素 不能放在第二个格子里，问共有多少种不同的放法？
解法一 （元素分析法， 为特殊元素）先排 ,但考虑到取出的4个元素可以有 ，也可以没有 ，所以分两类：第一类，取出个元素中有，则排 有 种方法；再 从中取出个，排另外三个格子有 种， 此类共有 种，第二类：取出的4个元素中没有 ，则有 种方法， 共有(种)放法。
解法二(位置分析法,第二格为特殊位置)先排第二格,有 种(从 中取出一个),再排另3格有 种,共有 种放法.
解法三 (间接法)。
例已知 是定义域 ,值域为的函数。
⑴试问：这样的函数 共有多少个？
⑵若对于定义域中 的4个不同元素，对应的函数值都是，那么这样的函数 共有多少个?
解(1)函数是一种映射,先来求从定义域 到值域 可以建立多少个不同的映射。依映射定义，只要给集合 中的7个元素在集合 中找到象既可。显然需要分七步:①1的象是0或1；共2个；②2的象是0或1,共2个； ；③7的象是0或1,共2个。根据分步计数原理,从 到 的映射共有 个。但是,函数又是一种特殊的映射。(值域中的每一个元素都必须有原象)，0或1没有原象的映射各有1个,故这样的函数 共有 个。
(2)因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素对应于值域中的0,故这样的函数 共有 个。
评注 (1)这是一道排列、组合与函数的综合题，难度高，如果不能用映射的观点去理解函数的概念，那么解答此题很困难，特别是不仅要完整准确地建立排列与组合的概念，而且要有意识地把这两个基本概念与函数或几何揉和起来，综合分析。
2)对于复杂的有多个约束条件的混合问题,可以从每个约束条件分析起,然后综合起来；也可以先不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的种数。
总之，分类讨论思想是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题思想和解题略。它具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人思维的条理性和概括性，在解题中有比较广泛的应用。
参考文献
[1] 张希孝.高中数学解题方法与技巧.北京教育出版社,2003.03.67-77
[2]汪兴.回避分类讨论的优化策略.广东教育,2006,04.15-16
[3] 顾华.简化和避免分类讨论方法略谈.中学生数理化(高一版),2006.03.27-29
[4] 程荣伟、翁献忠．如何分类讨论.中学生数学，2006.12.36-3
[5] 王建鹏.谈分类讨论思想在解题中的应用.福建中学数学,2006.08.39-40
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收稿日期：2008-10-25
关键词：分类讨论；简化；解题
Application of Classified Discussion in Mathematics Problems Solving
Jiang Feng-qin
Abstract：The thought of Classifed discussion is an important mathematics thought method, and it is an vital strategy to slove mathematical problems. In the topic, some factors are able to induce the classified discussion,for example,the proble including the indefinite parameter, containing many kinds of possibility of certain mathematics concept , indefiniting the corresponding relationships and certain arrangement combination in some problems and so on. During the classified discussion, it must accordes the principles thatthedeterming object , the unificating standard, not redundant, does not omit, does not jump the ranks and so on to carry on the classified discussion in administrative levels. But sometimes, it is quite troublesome to use classification discussion to solve problem. It may through difficult counter-, excavation ways and so on concealment condition, separation parameter, equal transformation to simplify and avoid classifing the discussion.
Key words：classifies discussion；simplifing；solving problem
分類是中学数学中一种重要的思想方法。分类讨论，一方面可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题,有助于问题的解决；另一方面，恰当进行分类，可避免以偏概全,丢值漏解。
一、题目中含有不确定的参数时需分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法，如含参数的方程或不等式，直线的点斜式方程等，这时需进行分类讨论。
例 一次函数 ,当 时,对应的 值为 ,则 的值是_____。
或或
分析 题目中给出了一个函数图象的一部分(线段),不能只认为是当 时,；当时 , 。因此可以分成 和 两种情形进行讨论:当 时,线段的两个端点为 和 ,则我们能够得到 , , ；当 时,线段两端点为 和 ,则 , , ，所以应选 。
评注：本题是针对含有不确定参数的分类讨论，由于在不同条件下问题有不同的结论，所以我们在解题时要注意分类，以免出现漏解现象。
二、某些数学概念包含多种可能时需分类讨论
有的数学概念就是分类给出的(概念的内涵分类)。如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等定义中，包含了分类。有的数学概念在定义时，明确了范围，也将引起讨论，如直线的倾斜角等。
例 解不等式：
分析要正确去掉绝对值符号，必须明确对数的正负，而相应的 的取值范围并不清楚，为便于划分 的取值区间，令 得零点值 由此分三类讨论。
解 时，原不等式化为
得
此时不等式得解为
时，同法求得
，同法求得 .
综上，原不等式的解集为
三、对应关系不确定时需分类讨论
当题目中不能确定对应关系时，在求解过程中，则需根据可能出现的情形进行分类讨论。
例 一个钢筋三角架的三边长分别是 、 、 ,现要做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为 和 的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有_____种。
分析由题意及三角形三边关系知,长为 和 的两根钢筋中,的钢筋必为欲做的钢筋三角架的一边,不妨设从 的钢筋上截下的两段长为 、 ,且 , 应分三种情况讨论:
⑴若 时,,舍去；
⑵若 时, ,符合题意；
⑶若 时,,也符合题意。
故不同的截法有两种.
例已知矩形 中， ， （ ）, 平面 ，问 边上是否存在点 使得 ，并说明理由。
分析由于矩形是变动的，在 边上是否存在 使得 与 与 的取值有关，因此需分类讨论．
解 如图所示，连接 ，由三垂线定理知，若 ，则必有 。设 ，则
在 中， ，整理得 判别式 则
当 , 即 时， 边上不存在点 满足
当 ，即 时，边 上不存在点 满足 此时 ， 即 为的中点;
当 ，即 时， 边上有两个点使得 ．此时， 。
此题是由于线段长度的不确定性引起的分类讨论，同时也体现了转化与化归思想，把点的个数问题化归为一元二次方程根的讨论问题。
四、某些排列组合问题需要分类讨论
含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题,其解题的基本策略,就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分,将问题转化为最基本、最简单的排列组合问题,然后结合加法原理或乘法原理完成解答。
例 从 个元素中，取出个放在四个不同的格子中，且元素 不能放在第二个格子里，问共有多少种不同的放法？
解法一 （元素分析法， 为特殊元素）先排 ,但考虑到取出的4个元素可以有 ，也可以没有 ，所以分两类：第一类，取出个元素中有，则排 有 种方法；再 从中取出个，排另外三个格子有 种， 此类共有 种，第二类：取出的4个元素中没有 ，则有 种方法， 共有(种)放法。
解法二(位置分析法,第二格为特殊位置)先排第二格,有 种(从 中取出一个),再排另3格有 种,共有 种放法.
解法三 (间接法)。
例已知 是定义域 ,值域为的函数。
⑴试问：这样的函数 共有多少个？
⑵若对于定义域中 的4个不同元素，对应的函数值都是，那么这样的函数 共有多少个?
解(1)函数是一种映射,先来求从定义域 到值域 可以建立多少个不同的映射。依映射定义，只要给集合 中的7个元素在集合 中找到象既可。显然需要分七步:①1的象是0或1；共2个；②2的象是0或1,共2个； ；③7的象是0或1,共2个。根据分步计数原理,从 到 的映射共有 个。但是,函数又是一种特殊的映射。(值域中的每一个元素都必须有原象)，0或1没有原象的映射各有1个,故这样的函数 共有 个。
(2)因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素对应于值域中的0,故这样的函数 共有 个。
评注 (1)这是一道排列、组合与函数的综合题，难度高，如果不能用映射的观点去理解函数的概念，那么解答此题很困难，特别是不仅要完整准确地建立排列与组合的概念，而且要有意识地把这两个基本概念与函数或几何揉和起来，综合分析。
2)对于复杂的有多个约束条件的混合问题,可以从每个约束条件分析起,然后综合起来；也可以先不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的种数。
总之，分类讨论思想是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题思想和解题略。它具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人思维的条理性和概括性，在解题中有比较广泛的应用。
参考文献
[1] 张希孝.高中数学解题方法与技巧.北京教育出版社,2003.03.67-77
[2]汪兴.回避分类讨论的优化策略.广东教育,2006,04.15-16
[3] 顾华.简化和避免分类讨论方法略谈.中学生数理化(高一版),2006.03.27-29
[4] 程荣伟、翁献忠．如何分类讨论.中学生数学，2006.12.36-3
[5] 王建鹏.谈分类讨论思想在解题中的应用.福建中学数学,2006.08.39-40
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收稿日期：2008-10-25