摘要定積分是一元函数微积分学的基本概念之一,也是高等数学教学的一个难点。定积分因为概念比较抽象,初学者往往难以理解。本文讲述的是如何讲授才能使学生理解定积分的定义和几何意义,并在讲授的同时培养学生的思维方式,提高学生分析和解决问题的能力。
　　关键词实际应用模型极限工具分割
　　中图分类号:O13文献标识码:A
　　
　　定积分的概念是来源于实际应用模型,借助于极限工具,以结构性的形式而严格定义的。研究的是在某区间上的非均匀量的求和问题,通过“分割、近似、求和、极限”四个步骤完成。定积分的概念在积分学中既是重点也是教学难点。
　　
　　1 定义的引入
　　
　　1.1 求曲边梯形面积
　　(1)介绍曲边梯形:由曲线与直线及轴所围成的平面图形。
　　
　　(2)如何计算曲边梯形的面积?
　　(3)启发讲解:
　　A复习矩形、梯形面积的求法;
　　B 提出问题:曲边梯形面积该如何求?(学生讨论)
　　C 讨论归纳:① 对曲边梯形进行分割,且分割得越细越好;
　　② 分割出来的每个窄曲边梯形都用一个小矩形去近似替代它;
　　③ 这些小矩形面积之和即可作为曲边梯形面积的近似值;
　　④ 如何利用曲边梯形的近似值得到曲边梯形的精确值呢?
　　D 用数学语言表示上述归纳:① 分割;② 近似;③ 求和; ④极限。
　　
　　1.2求变速直线运动的路程
　　(1)提出问题:质点在[]内做变速直线运动,如何求质点在这段时间内运动的总路程?
　　(2)利用上述求曲边梯形面积的思想让学生自己归纳如何求变速直线运动的路程。
　　① 对[]这个时间段进行分割,且分割得越细越好;
　　② 分割出来的每个小时间段都用匀速直线运动近似替代它,
　　③ 各个小时间段内匀速运动的路程之和即可作为[]内质点运动的总路程;
　　④ 提问:何时这些匀速运动的路程总和能无限接近[]内质点运动的总路程呢?学生就会想到取极限这个思想上来。即:,{}
　　归纳:这两个问题虽然实际背景不同,但表达式实质相同,由此抽象出定积分的定义。
　　
　　2 定积分的定义
　　
　　(1)定义:设函数f(x)是定义在[]区间上的有界函数,在[]区间中任意插入个分点,,且记第个小区间的长度为,取max{};在第个小区间[]上任取一点(i=1,2,...,n),作和式.如果当时该和式有极限I,且该极限I不依赖于的选择,也不依赖于[]如何划分,则称此极限I为以为下限、为上限的定积分。这时我们就说函数在[]是可积的,且记
　　(2)(互动讲解)让学生思考:定积分与不定积分由哪些区别?
　　
　　3讲解例题
　　
　　例. 利用定积分定义计算:
　　[解法]:将区间[]等分,分点为
　　记每个小区间[]的长度, 取,
　　则得和式
　　由积分定义得:
　　
　　4 小结
　　
　　(1)定积分的实质是一个和式的极限值,是一个常数;
　　(2)该值与[]的划分无关,与内的取法也无关,只依赖于与[];
　　(3)的值与积分变量(用什么字母表示)无关,即=。