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小学数学的许多知识都是现实生活抽象概括的产物。学生要掌握这些知识，必须经历一个“具体形象感知——情景再现——本质特征抽象”的复杂认知过程，即要经历一个把内部感知材料，经过头脑的思维加工，转化为内部认识的“内化”过程。教师在教学中必须遵循小学生的认知规律。一方面为学生进行抽象概括创造良好的条件，如通过实践活动提供便于揭示知识本质和呈现知识网络的良好素材；另一方面要精心设计引导学生以最科学、最准确、最经济的途径，亲自参与抽象概括的全过程。抽象是引导学生在认识数学知识本质的过程中，抽取出同类事物的本质特征，舍弃个别的、偶然的、非本质属性的过程；概括则把抽取的一般的、本质的属性联接成整体，并推广到全部的同类事物上。在长期的教学实践中，笔者体会到“抽象与概括”是相互联系的，二者常常融为一体，缺一不可。抽象概括的功能在于帮助学生实现从感性到理性，从形象思维到抽象思维的转化。
由于小学数学知识的系统性、逻辑性很强，又比较抽象，而小学生的认识水平又处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对于数学概念和原理的理解和掌握不能一次完成。长期的教学实践使我认识到在引导学生进行数学知识的抽象概括时，要注意处理好教材的知识结构与学生的认知结构之间的关系，做到因教材而异，因学生而异，形式多样，方法灵活。
一、 课堂演示，直观描述
感知外界事物最基础的是人的细胞，课堂上通过向学生提供必要而良好的教学情境，就可以丰富学生的感知经验，以此作为揭露知识本质特征的基础，然后分层推进，逐渐过渡到凭借表象进行抽象概括。
案例：抽象概括《圆柱体积》计算公式的过程
可按四步进行：第一步：演示引进，自我感知什么是圆柱的体积，让学生用手摸圆柱，感知圆柱的体积。第二步，巧设疑问，实践迁移，强化表象。教师启发：现在该怎样来计算圆柱的体积呢？能不能把圆柱转化成我们已学过的立体图形，来计算它的体积？第三步，动手操作，自主探究。让学生思考，从演示与操作中可以看出，把圆柱分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。第四步，紧扣特征，实现迁移，自主概括。
长方体的体积＝底面积×高
↓↓↓
圆柱的体积＝底面积×高
引导学生用字母表示计算公式：V＝Sh
二、 比对板书，探究特征
教师随着教学的进展，而精心设计的板书，应该是目的明确，条理清晰，重点突出，言简意赅。因此，教师就充分发挥板书概括性和导向性的作用，引导学生联系探究过程，利用板书铺路搭桥。
案例：在进行“分数意义”教学时，教师通过实物、图形结合操作和演示。使学生获得一定的感性认识。在形成下面板书的上半部分，便可启发学生从这些具体事例中寻找共同因素。让本质特征和非本质特征在学生头脑里进行精确的分比，进而逐步抽象概括出分数概念，激发探究的兴趣。
把 一块糕点 平均
分成 二份 表示
这样的 一份 的数 二分之一 1/2
一条线段 三份 二份 三分之二 2/3
一个长方形 四份 三份 四分之三 3/4
一个圆 六份 五份 六分之五 5/6
单位“1” 若干份 一份或几份 （叫做）分数
三、 从分到合，逐步完善
抽象概括数学知识的同时，应特别注意，在对全部同类事物所具有的本质属性的概括时，必须严密准确，以保证数学知识的科学性。因此，对有的数学知识，在抽象时，应引导学生自主的按知识的层次和思维的层次从单一到综合，从局部到整体，从片面到全面，逐步探究完善。
案例：教学“分数的基本性质”时，利用分数与除法的关系，引入并在实践操作中，用圆形纸张折叠得到“3/4=6/8=9/12”的基础上进行抽象概括时，可从部分到整体，分四步探究进行：第一步，引导学生从左到右观察比较，试述上面的例子的特性。“分数的分子和分母都同时除以相同的数，分数的大小不变”；第二步，引导学生从右到左观察比较，再说该式特性，“分数的分子和分母都乘相同的数，分数的大小不变”；第三步，把上面两种说法综合得到，分数的分子和分母都乘或除以相同的数，分数的大小不变；第四步，引导学生讨论，乘或除以的数，是不是任何数都可以？为什么？通过讨论、探究，进而发现，“0除外”，使自主概括总结的结论得以严密完整。
四、 巧设“中介”，实施引渡
由于小学生的年龄特点，感知、观察能力有局限性，存在比较片面的缺点，加上知识与经验的限制和语言的障碍，而数学知识的抽象性与概括性又很强，因此他们往往很难一次就直觉抽象概括“到位”，这就需要教师在教学中为学生设置自主探究抽象概括的“中间站”，帮助判断在抽象中哪些“舍去”，哪些“抽取”，在概括中怎样进行“集中”和“系统”。
案例：在教学“乘法分配律”的过程中，借助4套课桌椅的实物图，启发学生分别用两种方法列式计算总价，进而发现两种算法的结果相同，并通过分析、综合为一个等式，即“(10+5)×4=10×4+5×4”。用同样的方法还可得到(18+7)×8=18×8+7×8，等等。如果这时就立即要抽象概括出乘法分配律来，显然难以达到，倘若教学时以通俗易懂的语言为：“中介”，引导学生先把第一个等式转化为通俗易懂的语言为“中介”，再“引渡”为抽象的数学语言，就容易得多：
具体数
学语言 10与5的和与 4相乘 等于 10与5分别与4相乘 再把两
个积相加
↓ ↓ ↓ ↓
抽象数
学语言 两个数的和与 一个数相乘 把这两个数分别与这个数相乘
五、 反复锤炼，不断提升
引导学生进行抽象概括，首先需要帮助学生借助直观性描述的语言把知觉形象牢固地记忆在头脑里，然后，凭借思维的工具——语言，不断地对思维进行“再加工”。因此，抽象概括的过程，是一个反复锤炼的过程。
案例：在引导学生抽象概括“0和任何数相乘都得0”时，通过实物演示，从同数连加过渡到0与一个数，相乘，得到：
0+0+0→0×3=0→0×5=0，0×9=0……
再指出：3×0=0→5×0=0，9×0=0……
至此，作为转化“枢纽”的表象已经基本形成。学生在观察比较中，注意到虽然算式不同，但却蕴藏着相同的乘法运算和相同的一个因数0，以及相同的结果0。抓住这一感知觉形象中有思考意义的共同因素，要求学生逐步摆脱具体的知觉形象，鼓励他们先“粗炼”出有一定形象成分的具体想法，用形象化的语言进行粗略的表述，并尽可能让每个学生都有表述的机会，通过议论，交换自己发现的“秘密”。如：“0和任何数相乘都等于0”；“随便哪个数和0相乘，还是得0”；“只要看见0和一个数相乘，等号后面就写0”……借助这些不完整、不准确的直观性描述，再启发他们对自己的说法不断进行反复的浓缩，用准确、精炼的数学语言进行表述，最后提炼出“0和任何数相乘都是0”。
六、 类比迁移，以“旧”促“新”
随着学生认知结构的逐步形成与发展，他们头脑逐渐形成数学知识的系统，因此教学时可以通过创设类比迁移的情境，引导学生通过知识的同化，即通过“表象联系→ 类比 →迁移→ 同化”的过程，让学生把所要学习的知识与认知结构中已有的相关知识进行联系和感知辨别，让新旧知识在头脑里得到精确的分化，实现知识的迁移。
案例：在教学“梯形的认识”时，可联系学生已有的知识，先通过重现平行四边形的图形，重温它的特征；然后结合实例出示尚不认识的梯形图形，“这个图形的特征是什么呢？”让学生动手操作，用尺子量一量，用三角板推一推，发现这个图形与平行四边形相比，相同的都是“四边形”，而不同的是平行四边形是“两组对边分别平等”，而这个图形是“只有一组对边平行”。最后，当学生急切地想知道像这样只有一组对边平行的四边形叫什么的时候，教师因势利导，引导学生阅读教材，从而抽象概括出梯形的概念。
数学教学中只有激发学生自主探究的兴趣，培养抽象概括的能力，才能提高学生解题能力。
由于小学数学知识的系统性、逻辑性很强，又比较抽象，而小学生的认识水平又处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对于数学概念和原理的理解和掌握不能一次完成。长期的教学实践使我认识到在引导学生进行数学知识的抽象概括时，要注意处理好教材的知识结构与学生的认知结构之间的关系，做到因教材而异，因学生而异，形式多样，方法灵活。
一、 课堂演示，直观描述
感知外界事物最基础的是人的细胞，课堂上通过向学生提供必要而良好的教学情境，就可以丰富学生的感知经验，以此作为揭露知识本质特征的基础，然后分层推进，逐渐过渡到凭借表象进行抽象概括。
案例：抽象概括《圆柱体积》计算公式的过程
可按四步进行：第一步：演示引进，自我感知什么是圆柱的体积，让学生用手摸圆柱，感知圆柱的体积。第二步，巧设疑问，实践迁移，强化表象。教师启发：现在该怎样来计算圆柱的体积呢？能不能把圆柱转化成我们已学过的立体图形，来计算它的体积？第三步，动手操作，自主探究。让学生思考，从演示与操作中可以看出，把圆柱分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。第四步，紧扣特征，实现迁移，自主概括。
长方体的体积＝底面积×高
↓↓↓
圆柱的体积＝底面积×高
引导学生用字母表示计算公式：V＝Sh
二、 比对板书，探究特征
教师随着教学的进展，而精心设计的板书，应该是目的明确，条理清晰，重点突出，言简意赅。因此，教师就充分发挥板书概括性和导向性的作用，引导学生联系探究过程，利用板书铺路搭桥。
案例：在进行“分数意义”教学时，教师通过实物、图形结合操作和演示。使学生获得一定的感性认识。在形成下面板书的上半部分，便可启发学生从这些具体事例中寻找共同因素。让本质特征和非本质特征在学生头脑里进行精确的分比，进而逐步抽象概括出分数概念，激发探究的兴趣。
把 一块糕点 平均
分成 二份 表示
这样的 一份 的数 二分之一 1/2
一条线段 三份 二份 三分之二 2/3
一个长方形 四份 三份 四分之三 3/4
一个圆 六份 五份 六分之五 5/6
单位“1” 若干份 一份或几份 （叫做）分数
三、 从分到合，逐步完善
抽象概括数学知识的同时，应特别注意，在对全部同类事物所具有的本质属性的概括时，必须严密准确，以保证数学知识的科学性。因此，对有的数学知识，在抽象时，应引导学生自主的按知识的层次和思维的层次从单一到综合，从局部到整体，从片面到全面，逐步探究完善。
案例：教学“分数的基本性质”时，利用分数与除法的关系，引入并在实践操作中，用圆形纸张折叠得到“3/4=6/8=9/12”的基础上进行抽象概括时，可从部分到整体，分四步探究进行：第一步，引导学生从左到右观察比较，试述上面的例子的特性。“分数的分子和分母都同时除以相同的数，分数的大小不变”；第二步，引导学生从右到左观察比较，再说该式特性，“分数的分子和分母都乘相同的数，分数的大小不变”；第三步，把上面两种说法综合得到，分数的分子和分母都乘或除以相同的数，分数的大小不变；第四步，引导学生讨论，乘或除以的数，是不是任何数都可以？为什么？通过讨论、探究，进而发现，“0除外”，使自主概括总结的结论得以严密完整。
四、 巧设“中介”，实施引渡
由于小学生的年龄特点，感知、观察能力有局限性，存在比较片面的缺点，加上知识与经验的限制和语言的障碍，而数学知识的抽象性与概括性又很强，因此他们往往很难一次就直觉抽象概括“到位”，这就需要教师在教学中为学生设置自主探究抽象概括的“中间站”，帮助判断在抽象中哪些“舍去”，哪些“抽取”，在概括中怎样进行“集中”和“系统”。
案例：在教学“乘法分配律”的过程中，借助4套课桌椅的实物图，启发学生分别用两种方法列式计算总价，进而发现两种算法的结果相同，并通过分析、综合为一个等式，即“(10+5)×4=10×4+5×4”。用同样的方法还可得到(18+7)×8=18×8+7×8，等等。如果这时就立即要抽象概括出乘法分配律来，显然难以达到，倘若教学时以通俗易懂的语言为：“中介”，引导学生先把第一个等式转化为通俗易懂的语言为“中介”，再“引渡”为抽象的数学语言，就容易得多：
具体数
学语言 10与5的和与 4相乘 等于 10与5分别与4相乘 再把两
个积相加
↓ ↓ ↓ ↓
抽象数
学语言 两个数的和与 一个数相乘 把这两个数分别与这个数相乘
五、 反复锤炼，不断提升
引导学生进行抽象概括，首先需要帮助学生借助直观性描述的语言把知觉形象牢固地记忆在头脑里，然后，凭借思维的工具——语言，不断地对思维进行“再加工”。因此，抽象概括的过程，是一个反复锤炼的过程。
案例：在引导学生抽象概括“0和任何数相乘都得0”时，通过实物演示，从同数连加过渡到0与一个数，相乘，得到：
0+0+0→0×3=0→0×5=0，0×9=0……
再指出：3×0=0→5×0=0，9×0=0……
至此，作为转化“枢纽”的表象已经基本形成。学生在观察比较中，注意到虽然算式不同，但却蕴藏着相同的乘法运算和相同的一个因数0，以及相同的结果0。抓住这一感知觉形象中有思考意义的共同因素，要求学生逐步摆脱具体的知觉形象，鼓励他们先“粗炼”出有一定形象成分的具体想法，用形象化的语言进行粗略的表述，并尽可能让每个学生都有表述的机会，通过议论，交换自己发现的“秘密”。如：“0和任何数相乘都等于0”；“随便哪个数和0相乘，还是得0”；“只要看见0和一个数相乘，等号后面就写0”……借助这些不完整、不准确的直观性描述，再启发他们对自己的说法不断进行反复的浓缩，用准确、精炼的数学语言进行表述，最后提炼出“0和任何数相乘都是0”。
六、 类比迁移，以“旧”促“新”
随着学生认知结构的逐步形成与发展，他们头脑逐渐形成数学知识的系统，因此教学时可以通过创设类比迁移的情境，引导学生通过知识的同化，即通过“表象联系→ 类比 →迁移→ 同化”的过程，让学生把所要学习的知识与认知结构中已有的相关知识进行联系和感知辨别，让新旧知识在头脑里得到精确的分化，实现知识的迁移。
案例：在教学“梯形的认识”时，可联系学生已有的知识，先通过重现平行四边形的图形，重温它的特征；然后结合实例出示尚不认识的梯形图形，“这个图形的特征是什么呢？”让学生动手操作，用尺子量一量，用三角板推一推，发现这个图形与平行四边形相比，相同的都是“四边形”，而不同的是平行四边形是“两组对边分别平等”，而这个图形是“只有一组对边平行”。最后，当学生急切地想知道像这样只有一组对边平行的四边形叫什么的时候，教师因势利导，引导学生阅读教材，从而抽象概括出梯形的概念。
数学教学中只有激发学生自主探究的兴趣，培养抽象概括的能力，才能提高学生解题能力。