一、切比晓夫不等式及其证明
　　设 ； 为任意两组实数，
　　（1）如果 ，且 或 ，且 ，则 ；
　　（2）如果 ，而 或 ，而 ，则 。
　　上述两式中等号当且仅当 或 时成立。
　　分析：由于已知中给出了两组有顺序的数，可考虑用排序原理证明。
　　证明：（1）不妨设 ， ，则由排序原理得
　　上式等号当且仅当 或 时成立。
　　（2）的证明是类似的，作为练习留给同学们自己完成。
　　二、切比晓夫不等式的巧妙应用
　　例1 设（ ），且 ，求
　　 的最小值。
　　解析： 关于 对称，不妨设 ，
　　则 ，且 。
　　由切比晓夫不等式得 ，
　　又由柯西不等式得
　　所以 ，当且仅当 时，上面几个不等式的等号成立。
　　故 的最小值为 。
　　例2 求最大的常数 ，使对于任意的 、 、，均有 。
　　分析：先赋值，确定出 的取值范围，再综合应用切比晓夫不等式和柯西不等式来证明。
　　解析：首先令 ，得 。
　　下面证明： 。
　　由不等式的对称性，不妨设 ，则 。
　　再由切比晓夫不等式及柯西不等式得
　　故 的最大值为 。
　　点评：先研究特例得到最值，然后证明，是解决一部分探索性问题的思路，高考中经常涉及。
　　责任编辑 李婷婷