论文部分内容阅读
摘要：通过30 年的积累，分形已经发展成为一个庞大的以几何为基础，涉及自然科学、社会科学、方法论甚至现代艺术的完整体系。其本质是一种新的世界观和方法论，其理论运用于规划研究领域则刚刚起步。本文将分形方法运用于米脂县城空间研究，找出城市空间分布问题所在，以此提出合理对策。
关键词：分形，城市规划，米脂
中图分类号：TU984文献标识码：A
1.分形理论概述
长期以来，受到欧式几何学及纯数学方法的影响，习惯于把复杂的问题抽象化，建立起理想几何模型，把问题纳入可以解决的范畴内。对于这种思维方式大家都是习以为常。因为从小学、中学到大学，我们已经反反复复地被灌输熏陶。但是对于实际中的复杂的非线性问题，我们只能采取近似线性的做法。著名科学家曼德布罗特( B. B.Mandelbrot) 于1975年发表了划时代的论文《英国的海岸线有多长》， 志着分形几何学的诞生。分型理论诞生后，我们有了新的工具，从新的视角来进一步了解自然和社会，其应用范围涵盖了自然科学、社会科学领域。其产生与发展弥补了欧式几何学在解决生活实际问题的不足。Fractal（分形）一词源于拉丁文形容词fractus，原意为 “不规则的”、“分数的”、“支离破碎的”物体，它与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。由此可见，分形一词用来描述自然界中自发生长形成的不规则物体。
曼德勃罗特在1982年曾给出分形的定义:如果一个集合在欧式空间中的豪斯道夫维（DH）恒大于其拓扑维数（DT），即DH ＞DT。豪斯道夫维（DH），反映物体的维数，拓扑维数（DT）是几何对象中的经典维数，其取整数并不随几何对象的形状变化而变化，点是一维，线是二维，面是三维。所以物体的豪斯道夫维是分数的物体我们称为分维。
四年后曼德勃罗特又提出了新的定义：组成部分以某种方式与整体相似的形体称为分形。
伴随着分形理论的发展，多名专家及学者对其定义进行了补充与完善。一般说来，称集F是分形，即认为它具有如下典型性质：
F具有精细的结构，既有任意小比例的细节。
F是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。
F通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。
F的“分形维数”一般大于它的拓扑维数。
F可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生 。
事实上，具有自相似性与层级迭代的形态广泛存在于我们的日常生活中。如曲折的海岸线，当我们在卫星图上观察时，我们看到的海岸线是由许多不规则的曲线构成，当我们观察高度降低时，我们发现这些凹凹凸凸的曲线是一个个的半岛与港湾，当我们观察高度进一步降低时，我们发现这些半岛与港湾是由更小的半岛与港湾构成，进一步当我们走在海边时，我们发现脚下的海岸线由石子沙滩构成更微小的不规则曲线。又如一棵大树由一个主干及一些从主干上分出来的枝杈组成，当我们切下枝杈会发现，枝杈是由枝杈与枝杈上分出来的枝条组成。当我们切下枝条会发现，枝条是由枝条及枝条上生出的葉子构成。切下叶子又会发现叶子和叶脉也有这种层级迭代与自相似关系，又如我们见到的云朵、西兰花等，然而这些物体仅仅在一定尺度上存在自相似性，不具有严格的自相似性，只具有统计意义上的自相似。
2.城市分形维数的测算
2.1研究方法
Batty等人率先开创了城市形态的分形研究，其研究领域不断拓展，内容涉及到城市的生长和形态、形态和结构、结构和功能等等。对城市形态的研究方法主要包括网格法、半径法、边界维数来研究城市形态。
（1）网格法
网格法计量出研究对象的网格维数，网格维数反映的是研究对象在空间分布的均质程度。网格维数又称为记盒维数，是迄今在各学科领域中应用得最为广泛的一种维数，也是较早地被引入到城市问题研究的分形维数之一。本方法主要是采取具有不同长度特征的正方形图形去近似填充分形图形，我们用边长为r的小正方形方格网去覆盖填充某一测量对象图形，统计出含有该图形的小方格N(r)，不论是图形否充满小方格只要含有被测量图形元素的小方格就统计入内。我们改变r的边长，则统计结果N(r)也将发生变化。
计量分维数方法如下，采取边长为r1的小正方形方格网覆盖被测量对象，统计出非空方格网数量N(r1)，采取边长为r2的小正方形方格网覆盖被测量对象，统计出非空方格网数量N(r2)，以此类推得到rk，N(rk)。将所得结果采取最小二乘法进行线性回归，若满足一次函数线性关系：
LgN(r)=A-DlgR
则所测量对象具有分型特征，斜率D即为该物体的网格维数1 （2）半径法
半径法主要表述研究对象在一定空间范围内的聚集程度、向心的密集程度，假设以城市中心为圆心，以不同半径的同心圆在地形图上划分城市建设用地，统计出不同半径r测度下所含有的城市建设用地面积，城市建设用地边界参差不齐，所以城市建设用地既不是一维的直线又不是完整充满平面的二维，城市建设用地面积U与测量半径r，维度数D存在如下关系：
U(r)=krD
半径法计算出的城市半径分维表述了城市建设用地密度从中心向外的衰减程度。当D>2，表示城市建设用地密度由中心向外围增加。当我们分门别类考察城市用地形态时，D>2是非常普遍的，如城市的工业用地往往在城市外围，工业用地的分维数常常大于2。用半径法计算城市分维数时，圆心的选取对计算结果影响较大。同心圆圆心的选取有一下几处参考：①城市建设用地图形的重心；②政治中心；③某一城市职能用地的重心等等。
2.2对米脂县城维数的测算
（1）城市形态分布聚集度研究
计算之前，需要在米脂县城1:10000地形图上，提取出计算所需的城市建设用地、水系、河滩地、城市绿地及广场用地。其次需要确定同心圆的中心。国外研究中通常选取城市中央商务区（CBD）。由于县城规模小，不具有CBD，本文选择治黄路与银州路交叉口作为城市中心，因为治黄路与银州路是城市东西与南北方向的两条大动脉，道路两侧商铺云集商业繁华，在交叉口形成了城市的商业中心，同时两条道路的交叉口在空间上也是城市的几何重心。
以治黄路与银州路交叉口为圆心生成同心圆。使得同心圆能够相对完整地覆盖在南北9km东西6km的范围内，同时考虑到可能出现多标度区的情况，应该统计出较多的样本数量（环带数目），使得统计计算模型具有现实性。因此，以100m为半径公差，做出42个环带覆盖在米脂现状图上。
借助ArcGIS分别提取出43个环带内的城市建设用地，并将其中各环带的面积进行叠加，得到各同心圆内的建设用地面积。
随着与城市中心区距离的增加，城市建设用地面积总的来说是呈现逐渐升高的过程。然而升高的幅度逐渐减少，由于城市中心区区位优势明显地段价值高，根据市场竞租原则，中心区附近开发强度大。伴随着建设用地的扩张，城市需要有相适应的绿地及开放空间与之适应，开发强度逐年降低，随着同心圆半径的进一步增大，由于地形及区位等因素限制，城市建设用地增加幅度逐渐减小，城市绿化开放空间面积增加量也相应降低，城市向郊区过度。
如右图所示，在建设用地面积-半径双对数坐标图上观察其拟合效果。我们可以发现其存在着一处转折点，对象存在双标度区情况。用最小二乘法进行回归分析，从而确定转折点。在第10个环带将城市划分为两个标度区，也就是在以城市中心为圆心1公里为半径的区域作为界限。第一个标度区直线拟合效果更好，表明在第一标度区的城市形态更符合分形特征。第二标度区拟合效果不强，其为无效标度区，因此只有第一标度区能够反映出米脂县城分形形态。第一标度区线性回归斜率为1.86，因此米脂县城城市绿化开放空间城市分维数为1.86。
米脂县城的城市建设用地分维数为1.86，较国际公认的1.7左右合理城市维数较高。米脂县城建设用地分维数与合理维度数相比，县城城市向心聚集程度度相对较弱，这主要是由于黄土高原河谷沟壑城市用地受限，城市建设用地沿河谷沟壑扩张造成城市集中程度下降，向心性减弱。
（2）城市形态分布聚集度研究
对于城市用地来说，其网格分维值越大空间分布越均质，城市的网格维数一般是小于等于2并大于1的。当城市用地网格维数等于2时，表示空间分布极度均匀，完整无间隙的布满研究范围形成2维平面；当其等于1时，表示城市用地分布极度不均匀，完全聚集在一条1维直线之上。由此可推断出城市盒维数表征含义：首先，如果城市空间形态网格维数过高, 则表明城空间的分布过于均衡，一方面会具有均质空间形态，城市各处用地具有便捷的可达性，然而另一方面會削减城市中心区集聚效应，影响城市功能强度；另外, 如果城市形态的网格维数过低，则表明城市在某一区域过于集中，降低空间的连接程度，影响到居民是使用便捷度。
米脂县城的盒维数计算统计过程如下。首先在米脂县城1:1000地形图上提取出计算所需的城市建设用地、及绿化开敞空间用地。其次分别以边长为10m、20m、30m、40m、50m、60m、70m、80m、90m、100m、110m、120m的正方形方格网去覆盖城市建设用地及绿化开敞空间用地。借助ArcGIS、excel等工具分别统计出对应不同尺度网格r下所含有的城乡建设用地要素的网格数N（r）及含有绿化开敞空间要素的网格数ε(r)。
对城市建设用地-网格边长进行双对数线性回归分析。回归系数R2分别为0.999，线性拟合程度好，城乡建设用地满足分形特征，直线的斜率绝对值即为对象的分维数。城市建设用地网格维数为1.8。同样的，网格维数也反映出城市用地分布均质性较强的特征，各片区及团块分布均衡差异性不大，导致城市均衡扩张，缺乏必要的绿地及开敞空间介入。
3.研究总结
分形为我们研究城市提供了一种全新视角新方法。千百年来城市的发展本是依赖于大自然的，其过程发展就是一种自生长。通常情况下我们对城市的研究方法包括设计方法，往往是局限于简单的欧式几何方法研究，分形几何学的诞生给了我们新的思路。它告诉人们世界是随机的，万事万物都不是规则的，而且混乱中也包含了无形的规律。它给了我们另一个视角看待世界，另一把“尺子”度量不规则的城市形态。
然而城市作为一种复杂的巨系统，其空间即涉及自然生态因素又涉及人的行为习惯。目前的研究方法多是从形态角度去总结论证，然而城市居民的行为习惯还没有量化模型，在涉及城市分形研究的过程中能加入人为因素的数学模型，就能够更好的为城市用地的合理布局服务。
关键词：分形，城市规划，米脂
中图分类号：TU984文献标识码：A
1.分形理论概述
长期以来，受到欧式几何学及纯数学方法的影响，习惯于把复杂的问题抽象化，建立起理想几何模型，把问题纳入可以解决的范畴内。对于这种思维方式大家都是习以为常。因为从小学、中学到大学，我们已经反反复复地被灌输熏陶。但是对于实际中的复杂的非线性问题，我们只能采取近似线性的做法。著名科学家曼德布罗特( B. B.Mandelbrot) 于1975年发表了划时代的论文《英国的海岸线有多长》， 志着分形几何学的诞生。分型理论诞生后，我们有了新的工具，从新的视角来进一步了解自然和社会，其应用范围涵盖了自然科学、社会科学领域。其产生与发展弥补了欧式几何学在解决生活实际问题的不足。Fractal（分形）一词源于拉丁文形容词fractus，原意为 “不规则的”、“分数的”、“支离破碎的”物体，它与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。由此可见，分形一词用来描述自然界中自发生长形成的不规则物体。
曼德勃罗特在1982年曾给出分形的定义:如果一个集合在欧式空间中的豪斯道夫维（DH）恒大于其拓扑维数（DT），即DH ＞DT。豪斯道夫维（DH），反映物体的维数，拓扑维数（DT）是几何对象中的经典维数，其取整数并不随几何对象的形状变化而变化，点是一维，线是二维，面是三维。所以物体的豪斯道夫维是分数的物体我们称为分维。
四年后曼德勃罗特又提出了新的定义：组成部分以某种方式与整体相似的形体称为分形。
伴随着分形理论的发展，多名专家及学者对其定义进行了补充与完善。一般说来，称集F是分形，即认为它具有如下典型性质：
F具有精细的结构，既有任意小比例的细节。
F是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。
F通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。
F的“分形维数”一般大于它的拓扑维数。
F可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生 。
事实上，具有自相似性与层级迭代的形态广泛存在于我们的日常生活中。如曲折的海岸线，当我们在卫星图上观察时，我们看到的海岸线是由许多不规则的曲线构成，当我们观察高度降低时，我们发现这些凹凹凸凸的曲线是一个个的半岛与港湾，当我们观察高度进一步降低时，我们发现这些半岛与港湾是由更小的半岛与港湾构成，进一步当我们走在海边时，我们发现脚下的海岸线由石子沙滩构成更微小的不规则曲线。又如一棵大树由一个主干及一些从主干上分出来的枝杈组成，当我们切下枝杈会发现，枝杈是由枝杈与枝杈上分出来的枝条组成。当我们切下枝条会发现，枝条是由枝条及枝条上生出的葉子构成。切下叶子又会发现叶子和叶脉也有这种层级迭代与自相似关系，又如我们见到的云朵、西兰花等，然而这些物体仅仅在一定尺度上存在自相似性，不具有严格的自相似性，只具有统计意义上的自相似。
2.城市分形维数的测算
2.1研究方法
Batty等人率先开创了城市形态的分形研究，其研究领域不断拓展，内容涉及到城市的生长和形态、形态和结构、结构和功能等等。对城市形态的研究方法主要包括网格法、半径法、边界维数来研究城市形态。
（1）网格法
网格法计量出研究对象的网格维数，网格维数反映的是研究对象在空间分布的均质程度。网格维数又称为记盒维数，是迄今在各学科领域中应用得最为广泛的一种维数，也是较早地被引入到城市问题研究的分形维数之一。本方法主要是采取具有不同长度特征的正方形图形去近似填充分形图形，我们用边长为r的小正方形方格网去覆盖填充某一测量对象图形，统计出含有该图形的小方格N(r)，不论是图形否充满小方格只要含有被测量图形元素的小方格就统计入内。我们改变r的边长，则统计结果N(r)也将发生变化。
计量分维数方法如下，采取边长为r1的小正方形方格网覆盖被测量对象，统计出非空方格网数量N(r1)，采取边长为r2的小正方形方格网覆盖被测量对象，统计出非空方格网数量N(r2)，以此类推得到rk，N(rk)。将所得结果采取最小二乘法进行线性回归，若满足一次函数线性关系：
LgN(r)=A-DlgR
则所测量对象具有分型特征，斜率D即为该物体的网格维数1
半径法主要表述研究对象在一定空间范围内的聚集程度、向心的密集程度，假设以城市中心为圆心，以不同半径的同心圆在地形图上划分城市建设用地，统计出不同半径r测度下所含有的城市建设用地面积，城市建设用地边界参差不齐，所以城市建设用地既不是一维的直线又不是完整充满平面的二维，城市建设用地面积U与测量半径r，维度数D存在如下关系：
U(r)=krD
半径法计算出的城市半径分维表述了城市建设用地密度从中心向外的衰减程度。当D>2，表示城市建设用地密度由中心向外围增加。当我们分门别类考察城市用地形态时，D>2是非常普遍的，如城市的工业用地往往在城市外围，工业用地的分维数常常大于2。用半径法计算城市分维数时，圆心的选取对计算结果影响较大。同心圆圆心的选取有一下几处参考：①城市建设用地图形的重心；②政治中心；③某一城市职能用地的重心等等。
2.2对米脂县城维数的测算
（1）城市形态分布聚集度研究
计算之前，需要在米脂县城1:10000地形图上，提取出计算所需的城市建设用地、水系、河滩地、城市绿地及广场用地。其次需要确定同心圆的中心。国外研究中通常选取城市中央商务区（CBD）。由于县城规模小，不具有CBD，本文选择治黄路与银州路交叉口作为城市中心，因为治黄路与银州路是城市东西与南北方向的两条大动脉，道路两侧商铺云集商业繁华，在交叉口形成了城市的商业中心，同时两条道路的交叉口在空间上也是城市的几何重心。
以治黄路与银州路交叉口为圆心生成同心圆。使得同心圆能够相对完整地覆盖在南北9km东西6km的范围内，同时考虑到可能出现多标度区的情况，应该统计出较多的样本数量（环带数目），使得统计计算模型具有现实性。因此，以100m为半径公差，做出42个环带覆盖在米脂现状图上。
借助ArcGIS分别提取出43个环带内的城市建设用地，并将其中各环带的面积进行叠加，得到各同心圆内的建设用地面积。
随着与城市中心区距离的增加，城市建设用地面积总的来说是呈现逐渐升高的过程。然而升高的幅度逐渐减少，由于城市中心区区位优势明显地段价值高，根据市场竞租原则，中心区附近开发强度大。伴随着建设用地的扩张，城市需要有相适应的绿地及开放空间与之适应，开发强度逐年降低，随着同心圆半径的进一步增大，由于地形及区位等因素限制，城市建设用地增加幅度逐渐减小，城市绿化开放空间面积增加量也相应降低，城市向郊区过度。
如右图所示，在建设用地面积-半径双对数坐标图上观察其拟合效果。我们可以发现其存在着一处转折点，对象存在双标度区情况。用最小二乘法进行回归分析，从而确定转折点。在第10个环带将城市划分为两个标度区，也就是在以城市中心为圆心1公里为半径的区域作为界限。第一个标度区直线拟合效果更好，表明在第一标度区的城市形态更符合分形特征。第二标度区拟合效果不强，其为无效标度区，因此只有第一标度区能够反映出米脂县城分形形态。第一标度区线性回归斜率为1.86，因此米脂县城城市绿化开放空间城市分维数为1.86。
米脂县城的城市建设用地分维数为1.86，较国际公认的1.7左右合理城市维数较高。米脂县城建设用地分维数与合理维度数相比，县城城市向心聚集程度度相对较弱，这主要是由于黄土高原河谷沟壑城市用地受限，城市建设用地沿河谷沟壑扩张造成城市集中程度下降，向心性减弱。
（2）城市形态分布聚集度研究
对于城市用地来说，其网格分维值越大空间分布越均质，城市的网格维数一般是小于等于2并大于1的。当城市用地网格维数等于2时，表示空间分布极度均匀，完整无间隙的布满研究范围形成2维平面；当其等于1时，表示城市用地分布极度不均匀，完全聚集在一条1维直线之上。由此可推断出城市盒维数表征含义：首先，如果城市空间形态网格维数过高, 则表明城空间的分布过于均衡，一方面会具有均质空间形态，城市各处用地具有便捷的可达性，然而另一方面會削减城市中心区集聚效应，影响城市功能强度；另外, 如果城市形态的网格维数过低，则表明城市在某一区域过于集中，降低空间的连接程度，影响到居民是使用便捷度。
米脂县城的盒维数计算统计过程如下。首先在米脂县城1:1000地形图上提取出计算所需的城市建设用地、及绿化开敞空间用地。其次分别以边长为10m、20m、30m、40m、50m、60m、70m、80m、90m、100m、110m、120m的正方形方格网去覆盖城市建设用地及绿化开敞空间用地。借助ArcGIS、excel等工具分别统计出对应不同尺度网格r下所含有的城乡建设用地要素的网格数N（r）及含有绿化开敞空间要素的网格数ε(r)。
对城市建设用地-网格边长进行双对数线性回归分析。回归系数R2分别为0.999，线性拟合程度好，城乡建设用地满足分形特征，直线的斜率绝对值即为对象的分维数。城市建设用地网格维数为1.8。同样的，网格维数也反映出城市用地分布均质性较强的特征，各片区及团块分布均衡差异性不大，导致城市均衡扩张，缺乏必要的绿地及开敞空间介入。
3.研究总结
分形为我们研究城市提供了一种全新视角新方法。千百年来城市的发展本是依赖于大自然的，其过程发展就是一种自生长。通常情况下我们对城市的研究方法包括设计方法，往往是局限于简单的欧式几何方法研究，分形几何学的诞生给了我们新的思路。它告诉人们世界是随机的，万事万物都不是规则的，而且混乱中也包含了无形的规律。它给了我们另一个视角看待世界，另一把“尺子”度量不规则的城市形态。
然而城市作为一种复杂的巨系统，其空间即涉及自然生态因素又涉及人的行为习惯。目前的研究方法多是从形态角度去总结论证，然而城市居民的行为习惯还没有量化模型，在涉及城市分形研究的过程中能加入人为因素的数学模型，就能够更好的为城市用地的合理布局服务。