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摘要：本文重点阐述了当前形式下预应力梁的分析方式，并针对横向振动提出了模态摄动方法，根据预应力梁横向振动方程分析预加力对预应力梁影响的三种可能性方程，最终设定算例，将三种方程带入其中，分析不同偏心距带来的影响，最终确立依靠模态摄动方式，总结出偏心距较大预应力对梁的自振特性有较大的影响这一思想。
关键词：预应力;B-E;模态摄动;偏心距
1.引言
预应力结构主要能够解决建筑中不同受力方向力的构造需求，通过改变预应力，能有直接影响建筑构造的动力以及静力。因此预应力得到了广泛的研究，但是预应力结构应用范围广，预加力对预应力结构产生不同方向的影响，尤其是横向振动这一方面，二者之间有着复杂的关系，因此研究内容有限。本文从建立预应力梁振动方程入手。以预应力简支梁为例，以文献计算方程、Bernoulli-Euler 梁（简称 B-E 梁，即：轴心均匀梁）方程、模态摄动方程为主要分析手法，进一步的做了对比研究，希望通过本文的分析，大家能对模态摄动方程有一个系统的了解。
2预应力梁横向振动方程
2.1横向振动方程
本文以简支梁为主要分析对象，通过图1我们可以看出，将一对预加力作用在钢筋混凝土预应力简支梁锚固点的两端，我们设由于压力所造成的偏心距为，设两端轴压力为，当受到压力时，除了外，此时还应当有第三力存在，即为附加力偶，将这个力偶的初始值设为M= 。综上所述，参考这些设定值可以做出如下判断：当梁受到震动从而产生变形时梁的两端预加力一定会发生变化。通过此可设方程
（1）
在自由振动条件下，预应力梁的横向弯曲振动微分方程为：
=0（2）
式中 EI（x）为梁的抗弯刚度，m 为梁的单位长度质量，y 为振动位移。把式（1）代入式（2）得
=0（3）
若假定所考虑的是均匀梁，梁的截面抗弯刚度和单位梁长的质量 都为常数，同时和也为常数，而和为坐标的函数。一般认为远小于，因此远小于，可以忽略不计。这样可成立等式为
（4）
2.2预加力对预应力梁影响的三种可能性方程
根据上述方程推导可得知 是随振动位移的变化而变化的预加力改变量，它对梁振动的影响表现在式（4）中的最后一项，减小了梁截面上的剪力，这一剪力的大小还与偏心距成比例。为使方程可解，需建立起与间的联系。这一关系较为复杂，本文假定与梁的振动位移成正比：
根据上述方程推导Bernoulli-Euler 梁自由振动方程、文献[2、3]振动方程、以及本文模态摄动方程，从而分析预加力对预应力梁的动力特性有一定的影响：
（1）由于预加力的作用，使梁的横向振动比 Bernoulli-Euler 梁（简称 B-E 梁）要复杂得多。即使是均匀梁，其横向振动方程也成为变系数的复杂微分方程，求解难度增加。众所周知，均匀等截面的 B-E 梁的横向自由振动方程为
（2）文献[2，3]是预加力对梁的动力影响分析的方程总结（具体方程详见文献[2，3]页数），通过其中的方程公式推导梁中点振动位移 y与成正比，得出适用于本文预应力梁横向振动的推导方程
（3）本文擦用模态摄动的方式进行方程解析，所谓模态摄动就是在：B-E 梁的基础上进行新的参数修改，由于推导篇幅有限不能进行复杂的推导演绎，遂列举其最终的模态摄动法求解方程组.
3.通过横向振动方程进行算例结果分析
将上文中预加力对预应力梁影响的三种可能性方程以实际算例计算进行分析，分析对象为建筑工地最长间的简支梁数据，即：高为h=600mm宽为b=300mm的简支梁，在此设预加力、偏心距为e、梁长 L取两组不同的偏心距数据进行对比分析，即：e=50mm， e/h=0.083时数据与e=200mm， e/h=0.3333时数据。在此算例中采用 3 种不同方法计算预应力简支梁的自振频率。这 3 种方法分别是：（1） 不考虑预应力影响，即按 B-E 梁计算（误差1的表述方式）;（2） 文献[2，3]方法（误差2的表述方式）;（3） 本文建议的模态摄动法（误差3的表述方式）
表 1a 不同偏心距 e 对梁自振频率的影响（e=50mm， e/h=0.083）
计算方法
本文
59.89
241.72
544.21
967.50
误差1/%
1.95
0.27
0.067
0.015
误差2/%
0.91
0.015
-0.049
-0.050
误差3/%
-1.02
-0.26
-0.12
-0.07
表 1b 不同偏心距 e 对梁自振频率的影响（e=200mm， e/h=0.3333）
计算方法
本文
63.5363.53
250.98 556.89
982.57
误差1/%
19.55
3.06
0.77
0.18
误差2/%
-4.86
-3.68
-2.32
-1.58
误差3/%
-20.42
-6.54
-3.07
-1.76
从表中的数据可看出：预加力偏心距的大小对梁的各阶自振频率的影响较大，偏心距越大，按 B-E 梁计算产生的误差也越大，按照模态摄动计算所产生的误差越小。因此模态摄动计算有助于在偏心距不固定的状态下对预应力梁横向振动进行分析。
结束语：
模态摄动分析方式并不适合分析所有领域的预应力梁横向振动，比如在B-E并不确定为轴心均匀梁的情况下，或者偏心距固定的预应力梁，因此在对比分析时应进行梁的判定，当然本文还存在许多不足之处，没有对三种公式进行细致的推导、没有对不同预加力对梁的自振影响进行分析，希望业界各位同仁能够一同努力，对此问题进行逐一探讨分析。
参考文献：
[1] Said M， Douglas B， Fang S. Priestess force effect on vibration frequency of concrete bridges [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1994， 120（7）： 2233-2241.
[2] Ayah M. Behavior of priestesses beam strengthened with external tendons [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 2000， 126（9）： 1030～1037.
[3] 刘宏伟， 张伟， 庄惠平. 预加力对梁的动力影响分析[J]. 黑龙江科技学院学报， 2002， 12（3）： 37～39.
[4] 楼梦麟， 吴京宁. 复杂梁动力问题的近似分析方法[J]. 上海力学， 1997， 18（3）： 234～240.
关键词：预应力;B-E;模态摄动;偏心距
1.引言
预应力结构主要能够解决建筑中不同受力方向力的构造需求，通过改变预应力，能有直接影响建筑构造的动力以及静力。因此预应力得到了广泛的研究，但是预应力结构应用范围广，预加力对预应力结构产生不同方向的影响，尤其是横向振动这一方面，二者之间有着复杂的关系，因此研究内容有限。本文从建立预应力梁振动方程入手。以预应力简支梁为例，以文献计算方程、Bernoulli-Euler 梁（简称 B-E 梁，即：轴心均匀梁）方程、模态摄动方程为主要分析手法，进一步的做了对比研究，希望通过本文的分析，大家能对模态摄动方程有一个系统的了解。
2预应力梁横向振动方程
2.1横向振动方程
本文以简支梁为主要分析对象，通过图1我们可以看出，将一对预加力作用在钢筋混凝土预应力简支梁锚固点的两端，我们设由于压力所造成的偏心距为，设两端轴压力为，当受到压力时，除了外，此时还应当有第三力存在，即为附加力偶，将这个力偶的初始值设为M= 。综上所述，参考这些设定值可以做出如下判断：当梁受到震动从而产生变形时梁的两端预加力一定会发生变化。通过此可设方程
（1）
在自由振动条件下，预应力梁的横向弯曲振动微分方程为：
=0（2）
式中 EI（x）为梁的抗弯刚度，m 为梁的单位长度质量，y 为振动位移。把式（1）代入式（2）得
=0（3）
若假定所考虑的是均匀梁，梁的截面抗弯刚度和单位梁长的质量 都为常数，同时和也为常数，而和为坐标的函数。一般认为远小于，因此远小于，可以忽略不计。这样可成立等式为
（4）
2.2预加力对预应力梁影响的三种可能性方程
根据上述方程推导可得知 是随振动位移的变化而变化的预加力改变量，它对梁振动的影响表现在式（4）中的最后一项，减小了梁截面上的剪力，这一剪力的大小还与偏心距成比例。为使方程可解，需建立起与间的联系。这一关系较为复杂，本文假定与梁的振动位移成正比：
根据上述方程推导Bernoulli-Euler 梁自由振动方程、文献[2、3]振动方程、以及本文模态摄动方程，从而分析预加力对预应力梁的动力特性有一定的影响：
（1）由于预加力的作用，使梁的横向振动比 Bernoulli-Euler 梁（简称 B-E 梁）要复杂得多。即使是均匀梁，其横向振动方程也成为变系数的复杂微分方程，求解难度增加。众所周知，均匀等截面的 B-E 梁的横向自由振动方程为
（2）文献[2，3]是预加力对梁的动力影响分析的方程总结（具体方程详见文献[2，3]页数），通过其中的方程公式推导梁中点振动位移 y与成正比，得出适用于本文预应力梁横向振动的推导方程
（3）本文擦用模态摄动的方式进行方程解析，所谓模态摄动就是在：B-E 梁的基础上进行新的参数修改，由于推导篇幅有限不能进行复杂的推导演绎，遂列举其最终的模态摄动法求解方程组.
3.通过横向振动方程进行算例结果分析
将上文中预加力对预应力梁影响的三种可能性方程以实际算例计算进行分析，分析对象为建筑工地最长间的简支梁数据，即：高为h=600mm宽为b=300mm的简支梁，在此设预加力、偏心距为e、梁长 L取两组不同的偏心距数据进行对比分析，即：e=50mm， e/h=0.083时数据与e=200mm， e/h=0.3333时数据。在此算例中采用 3 种不同方法计算预应力简支梁的自振频率。这 3 种方法分别是：（1） 不考虑预应力影响，即按 B-E 梁计算（误差1的表述方式）;（2） 文献[2，3]方法（误差2的表述方式）;（3） 本文建议的模态摄动法（误差3的表述方式）
表 1a 不同偏心距 e 对梁自振频率的影响（e=50mm， e/h=0.083）
计算方法
本文
59.89
241.72
544.21
967.50
误差1/%
1.95
0.27
0.067
0.015
误差2/%
0.91
0.015
-0.049
-0.050
误差3/%
-1.02
-0.26
-0.12
-0.07
表 1b 不同偏心距 e 对梁自振频率的影响（e=200mm， e/h=0.3333）
计算方法
本文
63.5363.53
250.98 556.89
982.57
误差1/%
19.55
3.06
0.77
0.18
误差2/%
-4.86
-3.68
-2.32
-1.58
误差3/%
-20.42
-6.54
-3.07
-1.76
从表中的数据可看出：预加力偏心距的大小对梁的各阶自振频率的影响较大，偏心距越大，按 B-E 梁计算产生的误差也越大，按照模态摄动计算所产生的误差越小。因此模态摄动计算有助于在偏心距不固定的状态下对预应力梁横向振动进行分析。
结束语：
模态摄动分析方式并不适合分析所有领域的预应力梁横向振动，比如在B-E并不确定为轴心均匀梁的情况下，或者偏心距固定的预应力梁，因此在对比分析时应进行梁的判定，当然本文还存在许多不足之处，没有对三种公式进行细致的推导、没有对不同预加力对梁的自振影响进行分析，希望业界各位同仁能够一同努力，对此问题进行逐一探讨分析。
参考文献：
[1] Said M， Douglas B， Fang S. Priestess force effect on vibration frequency of concrete bridges [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1994， 120（7）： 2233-2241.
[2] Ayah M. Behavior of priestesses beam strengthened with external tendons [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 2000， 126（9）： 1030～1037.
[3] 刘宏伟， 张伟， 庄惠平. 预加力对梁的动力影响分析[J]. 黑龙江科技学院学报， 2002， 12（3）： 37～39.
[4] 楼梦麟， 吴京宁. 复杂梁动力问题的近似分析方法[J]. 上海力学， 1997， 18（3）： 234～240.