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[摘 要]本文主要研究在切换拓扑情形下带有通信时延的二阶多个体系统的一致性.首先，介绍连续时间状态下的二阶多个体系统的控制协议.构造合适的Lyapunov-Krasovskii函数，借助拉普拉斯矩阵的特征，通过平均一致性，证明当通信时延充分小时，个体位置和速度均能达成一致，即充分小的时延不影响系统的一致性.
[关键词]一致性；通信时延；二阶多个体系统
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）46-0156-02
引言
近年来，多个体系统的协调控制引起了众多研究领域学者的研究兴趣，如生物、人工智能、自动控制等。目前，作为多个体系统的协调控制中最基本的问题之一，一致性问题受到了科学工作者的广泛关注。在多个体系统的协调控制网络中，个体之间通过传感器或通信设备进行信息传输而产生的通信时延，对系统集体行为的影响不容忽视。介于自然界中许多个体并不都是由单一行为构成，二阶多个体系统值得我们深入研究。目前，具有通信时延的二阶多个体系统的一致性问题引起了广泛关注。
本文将研究个体动力学为二阶连续形式，且具有通信时延情形的无向网络多个体系统计算问题。主要基于凸分析的方法来研究闭环系统的一致性，本文将主要通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii函数来分析闭环系统的一致收敛性[2]。
1 背景知识
现实中的多个体系统拥有个体数量多，并且它们之间的相互作用关系复杂，构成一个巨大的网络结构。有个个体的多个体系统通信拓扑图由顶点集，边集和加权邻接矩阵组成。其中，为顶点个数，顶点表示第个个体。若且，亦即，则是无向图，否则称为有向图。表示个体在时刻的邻居集合，其中是一个分段常量函数，为包含所有可能图的有限集合。时间段上的图定义为 ，。
假设1连续变化的时间间隔存在下界，为常数且。
2 问题描述
考虑具有个个体的无向网络，网络中每个个体具有如下二阶连续动力学行为：
（1）
（2）
，均为个体的状态变量，分别表示个体的位置和个体的速度；控制输入或控制协议。
设为个体间信息交流产生的时延。则对多个体系统（1）和（2），设计如下带有通信时延的分布式控制协议
（3）
定义如下拉普拉斯矩阵，，。
注1 的秩为，当且仅当图是强连通的。
注2 。
注3 拉普拉斯矩阵有一个零特征根，因此可设它的一个右特征向量为
因此控制协议（3）可表示如下（4）
假设2设通信时延有界，即存在一个正数使得。
3 主要结论
定理1 对任意的，在控制协议（4）作用下，系统（1）满足
（5）
即个体位置状态达成一致。
证明：首先，设计出如下Lyapunov-Krasovskii函数
（6）
其中
（7）
（8）
注意对无向图成立恒有，，因此也有，。
设，故当时，对任意的，存在使得对任意的，，有
（12）
因此
（13）
由Jensen’s不等式得
（14）
对任意的，和，有
（15）
因此
（16）
综合以上分析，对任意的，，存在存在使得对任意的，有
（17）
定义，。且不增，不减。依据和的定义，现设，，存在，使得，。
由（17）式得和，使得。
不失一般性，对任意的，当时，与集合的距离[9]，。同理，对任意的，当时与集合的距离，。因此，，所以。
即对任意有限的通信时延，任意的，和趋于一致。
注4 设个体的速度的平均一致性值为。
注5 在无向图中，显然成立，并且是不变的。
引理1 在切换拓扑下，对于连续时间下的多个体系统有。
定理2 对任意的，在控制协议（4）作用下，系统（2）满足
（18）
即个体速度达成平均一致。
证明：由注3可知，则
（19）
若每个点的确定值，则对任意的满足，这说明为的左特征向量，且有一个特征值为零，因此。根据引理1得出，进而有。这可以说有一个稳定值，因此存在并且等于平均值。
故，说明个体速度能达到动态一致。证明完毕。
定理1通过构造一个合适的Lyapunov-Krasovskii函数，依据拉普拉斯矩阵的特性，设计最短距离函数，使得个体位置在切换拓扑结构下渐近达成一致，并且当时延充分小时，时延对系统的一致性几乎无影响；定理2依据拉普拉斯矩阵的特征，设定个体速度的平均值，当个体速度与这个平均值无限接近时，就说明个体速度能达成动态一致，在此过程中，充分小的时延对系统的一致性影响不大。
小结
现有文献对仅存通信时延的研究较多，对自时延和通信时延并存的研究较少，在实际的网络中，个体之间的通信会受多时延、噪声的干扰、外部的攻击以及不确定因素的影响。如何设计多个体系统的一致性算法，使其具有更强的可靠性、灵活性和鲁棒性是一个重要的问题。一部分文献表示在所得一致性条件下，通信时延虽不影响系统的收敛，但影响系统动态性能，如延长收敛时间。然而，在算法中引入的自时延能够加速一致性收敛速度。尽管如此，在多个体系统中如何引入时延以及如何选择时延大小来达到比较好的控制效果，都有待于进一步探索。
参考文献
[1] Ren W， Atkins E， Distributed multi-vehicle coordinated control via local information exchange[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2007， 17（10）：1002-1033.
[2] Ren W. Multi-vehicle consensus with a time-varying reference state[J]. Systems and Control Letters， 2007，56（7）：474-483.
[关键词]一致性；通信时延；二阶多个体系统
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）46-0156-02
引言
近年来，多个体系统的协调控制引起了众多研究领域学者的研究兴趣，如生物、人工智能、自动控制等。目前，作为多个体系统的协调控制中最基本的问题之一，一致性问题受到了科学工作者的广泛关注。在多个体系统的协调控制网络中，个体之间通过传感器或通信设备进行信息传输而产生的通信时延，对系统集体行为的影响不容忽视。介于自然界中许多个体并不都是由单一行为构成，二阶多个体系统值得我们深入研究。目前，具有通信时延的二阶多个体系统的一致性问题引起了广泛关注。
本文将研究个体动力学为二阶连续形式，且具有通信时延情形的无向网络多个体系统计算问题。主要基于凸分析的方法来研究闭环系统的一致性，本文将主要通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii函数来分析闭环系统的一致收敛性[2]。
1 背景知识
现实中的多个体系统拥有个体数量多，并且它们之间的相互作用关系复杂，构成一个巨大的网络结构。有个个体的多个体系统通信拓扑图由顶点集，边集和加权邻接矩阵组成。其中，为顶点个数，顶点表示第个个体。若且，亦即，则是无向图，否则称为有向图。表示个体在时刻的邻居集合，其中是一个分段常量函数，为包含所有可能图的有限集合。时间段上的图定义为 ，。
假设1连续变化的时间间隔存在下界，为常数且。
2 问题描述
考虑具有个个体的无向网络，网络中每个个体具有如下二阶连续动力学行为：
（1）
（2）
，均为个体的状态变量，分别表示个体的位置和个体的速度；控制输入或控制协议。
设为个体间信息交流产生的时延。则对多个体系统（1）和（2），设计如下带有通信时延的分布式控制协议
（3）
定义如下拉普拉斯矩阵，，。
注1 的秩为，当且仅当图是强连通的。
注2 。
注3 拉普拉斯矩阵有一个零特征根，因此可设它的一个右特征向量为
因此控制协议（3）可表示如下（4）
假设2设通信时延有界，即存在一个正数使得。
3 主要结论
定理1 对任意的，在控制协议（4）作用下，系统（1）满足
（5）
即个体位置状态达成一致。
证明：首先，设计出如下Lyapunov-Krasovskii函数
（6）
其中
（7）
（8）
注意对无向图成立恒有，，因此也有，。
设，故当时，对任意的，存在使得对任意的，，有
（12）
因此
（13）
由Jensen’s不等式得
（14）
对任意的，和，有
（15）
因此
（16）
综合以上分析，对任意的，，存在存在使得对任意的，有
（17）
定义，。且不增，不减。依据和的定义，现设，，存在，使得，。
由（17）式得和，使得。
不失一般性，对任意的，当时，与集合的距离[9]，。同理，对任意的，当时与集合的距离，。因此，，所以。
即对任意有限的通信时延，任意的，和趋于一致。
注4 设个体的速度的平均一致性值为。
注5 在无向图中，显然成立，并且是不变的。
引理1 在切换拓扑下，对于连续时间下的多个体系统有。
定理2 对任意的，在控制协议（4）作用下，系统（2）满足
（18）
即个体速度达成平均一致。
证明：由注3可知，则
（19）
若每个点的确定值，则对任意的满足，这说明为的左特征向量，且有一个特征值为零，因此。根据引理1得出，进而有。这可以说有一个稳定值，因此存在并且等于平均值。
故，说明个体速度能达到动态一致。证明完毕。
定理1通过构造一个合适的Lyapunov-Krasovskii函数，依据拉普拉斯矩阵的特性，设计最短距离函数，使得个体位置在切换拓扑结构下渐近达成一致，并且当时延充分小时，时延对系统的一致性几乎无影响；定理2依据拉普拉斯矩阵的特征，设定个体速度的平均值，当个体速度与这个平均值无限接近时，就说明个体速度能达成动态一致，在此过程中，充分小的时延对系统的一致性影响不大。
小结
现有文献对仅存通信时延的研究较多，对自时延和通信时延并存的研究较少，在实际的网络中，个体之间的通信会受多时延、噪声的干扰、外部的攻击以及不确定因素的影响。如何设计多个体系统的一致性算法，使其具有更强的可靠性、灵活性和鲁棒性是一个重要的问题。一部分文献表示在所得一致性条件下，通信时延虽不影响系统的收敛，但影响系统动态性能，如延长收敛时间。然而，在算法中引入的自时延能够加速一致性收敛速度。尽管如此，在多个体系统中如何引入时延以及如何选择时延大小来达到比较好的控制效果，都有待于进一步探索。
参考文献
[1] Ren W， Atkins E， Distributed multi-vehicle coordinated control via local information exchange[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2007， 17（10）：1002-1033.
[2] Ren W. Multi-vehicle consensus with a time-varying reference state[J]. Systems and Control Letters， 2007，56（7）：474-483.