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求二次函数解析式问题,多数情况下是给出一些点为已知条件,这些点往往藏有玄机.同学们拿到这类题目,首先要研究这些点的坐标特点,破解玄机,找到最简洁的解法.
例1 已知抛物线经过点(2,1),(-1,-8),(0,-3),求这个抛物线的解析式.
解析: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
根据题意,得4a+2b+c=1,a-b+c=-8,c=-3.解得a=-1,b=4,c=-3.
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
点评:这三个点没有突出特征,因此用“一般式法”.先设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),然后将三个点的坐标分别代入,构造方程组来解.
例2 已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求此二次函数的解析式.
解析: 显然点A,B在x轴上,所以可设此二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).
因为该函数图象又过点(0,-3),代入这个解析式,可求得a=1.
因此,所求的二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.
点评:已知二次函数与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),则相当于方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,从而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).这种方法称为“交点式法”.
例3 已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,-3),且图象过点(-3,-2).求此二次函数的解析式.
解析: 设这个函数的解析式为y=a(x+2)2-3,将点(-3,-2)的坐标代入,可得a=1.故所求解析式为y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1.
点评:若已知二次函数图象的顶点坐标为(k,h),则其解析式可设为y=a(x-k)2+h.只需再知道图象上另一个点的坐标,代入求出a即可.这种解题方法称为“顶点式法”.在题设条件中,若涉及顶点坐标､对称轴､函数的最大(最小)值时,可使用顶点式法.
例4 已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三点,求这个二次函数的解析式.
解析: 观察A,C这两个点,因它们的纵坐标相同,所以它们是抛物线上的两个对称点.设解析式为y=a(x-0)(x+1)+1,将B(1,3)代入,可求得a=1.所以解析式为y=x(x+1)+1,即y=x2+x+1.
点评:当条件中有抛物线上两对称点(x1,m),(x2,m)时,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)+m.这个式子一般称为“对称点式”.显然当m=0时,对称点式就变为交点式了.我们把这种类型的题目称为“对称型”.
例5 二次函数图象的顶点坐标为C(4,- ),且在x轴上截得的线段AB的长为6.求这个二次函数的解析式.
解析: 一般地,若y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则可用a,b,c来表示线段AB的长.
AB=|x1-x2|= - = .
设抛物线的解析式为y=a(x-4)2- (a≠0),y=ax2-8ax+16a- .
设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的两个实数根.显然AB=|x1-x2|=6.
又|x1-x2|= = =6.
所以(x1-x2)2= =36,可得a= .
∴所求的函数解析式为y= (x-4)2- .
小试牛刀
1. 如图1,二次函数图象的顶点C为(2,-1),且在x轴上截得的线段AB的长为2.
(1) 求证:△ACB是等腰直角三角形.
(2) 求二次函数的解析式.
2. 如图2,二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,A,B分别在原点两侧,抛物线与y轴正半轴交于点C,若OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面积为24,求二次函数的解析式.
答案或提示1. (1) 作CD⊥AB于D,易证DA=DB=DC. (2) y=x2-4x+3. 2. 由OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面积为24,可得A(-2,0),B(6,0),C(0,6).二次函数的解析式为y=- x2+2x+6.
责任编辑/赵良河
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡
例1 已知抛物线经过点(2,1),(-1,-8),(0,-3),求这个抛物线的解析式.
解析: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
根据题意,得4a+2b+c=1,a-b+c=-8,c=-3.解得a=-1,b=4,c=-3.
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
点评:这三个点没有突出特征,因此用“一般式法”.先设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),然后将三个点的坐标分别代入,构造方程组来解.
例2 已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求此二次函数的解析式.
解析: 显然点A,B在x轴上,所以可设此二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).
因为该函数图象又过点(0,-3),代入这个解析式,可求得a=1.
因此,所求的二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.
点评:已知二次函数与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),则相当于方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,从而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).这种方法称为“交点式法”.
例3 已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,-3),且图象过点(-3,-2).求此二次函数的解析式.
解析: 设这个函数的解析式为y=a(x+2)2-3,将点(-3,-2)的坐标代入,可得a=1.故所求解析式为y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1.
点评:若已知二次函数图象的顶点坐标为(k,h),则其解析式可设为y=a(x-k)2+h.只需再知道图象上另一个点的坐标,代入求出a即可.这种解题方法称为“顶点式法”.在题设条件中,若涉及顶点坐标､对称轴､函数的最大(最小)值时,可使用顶点式法.
例4 已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三点,求这个二次函数的解析式.
解析: 观察A,C这两个点,因它们的纵坐标相同,所以它们是抛物线上的两个对称点.设解析式为y=a(x-0)(x+1)+1,将B(1,3)代入,可求得a=1.所以解析式为y=x(x+1)+1,即y=x2+x+1.
点评:当条件中有抛物线上两对称点(x1,m),(x2,m)时,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)+m.这个式子一般称为“对称点式”.显然当m=0时,对称点式就变为交点式了.我们把这种类型的题目称为“对称型”.
例5 二次函数图象的顶点坐标为C(4,- ),且在x轴上截得的线段AB的长为6.求这个二次函数的解析式.
解析: 一般地,若y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则可用a,b,c来表示线段AB的长.
AB=|x1-x2|= - = .
设抛物线的解析式为y=a(x-4)2- (a≠0),y=ax2-8ax+16a- .
设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的两个实数根.显然AB=|x1-x2|=6.
又|x1-x2|= = =6.
所以(x1-x2)2= =36,可得a= .
∴所求的函数解析式为y= (x-4)2- .
小试牛刀
1. 如图1,二次函数图象的顶点C为(2,-1),且在x轴上截得的线段AB的长为2.
(1) 求证:△ACB是等腰直角三角形.
(2) 求二次函数的解析式.
2. 如图2,二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,A,B分别在原点两侧,抛物线与y轴正半轴交于点C,若OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面积为24,求二次函数的解析式.
答案或提示1. (1) 作CD⊥AB于D,易证DA=DB=DC. (2) y=x2-4x+3. 2. 由OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且△ABC的面积为24,可得A(-2,0),B(6,0),C(0,6).二次函数的解析式为y=- x2+2x+6.
责任编辑/赵良河
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡