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李炳亭先生说：高效课堂是知识的超市，生命的狂欢。高效课堂的实现必须解决两“率”——课堂精力流失率和提高高效学习率。的确，想要抓住这两“率”，教师，就必须满足学生的不同需求，精心设计好课堂环节，充分调动学生的各种“学习力”，给他们足够的思考与创造的时间，让其“展示”，以促其“内驱力”，进而使其能快乐而高效地学习。
一、课堂设计：“选”“问”“引”精致化——一石激起千层浪
一堂高效的数学课，源于课堂素材选用得当有效，课堂例题挖掘充分，点拨精巧恰当，数学思想方法渗透扎实到位，使课堂流程设计精致化，课堂设问循序渐进，课堂引导符合学生思维的最近发展区，从而使学生在课堂上获得最佳收获。
案例1：如图1，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm，点P以 2cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以1cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤12），那么当t为何值时，△QAP的面积等于32 cm2？
以此题为背景，学生经过思考，还设计了以下追问：
（1）t为何值时，点P与点Q相距6 cm？
（2）t为何值时，PQ⊥CP？
（3）是否存在这样的t，使△QCP的面积等于109 cm2？
（4）t为何值时，△QCP为直角三角形？
（5）将题改为：在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm， 点P以 2cm/s的速度从点A开始沿边AB，BC向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，到A后即刻返回D点，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤18），则t为何值时，PQ=30 cm……
本题涉及很多数学思考方法，如转化思想、化斜为直、分类讨论等，也用到了很多常见模型，如K字型证相似等，学生在自己设计题目的过程中，教师不光要仔细聆听，还要及时加以点拨与引导，使学生能将本图看得更透彻，同时，对于学生反馈中的错误，更需耐心剖析，让他们知其然，更知其所以然。
这样高效利用课堂资源，以一图为背景将数学知识、数学结论与数学本质抽丝剥茧式慢慢呈现在学生面前，更有利于学生掌握。
二、课堂呈现：“视”“听”“触”多样化——操千曲而后晓声
心理学实验表明：“人对信息的接受，味觉占1%，触觉占1.5%，嗅觉占3.5%，听觉占11%，视觉占83%，其中视、听两项合计达94%。而人对信息的记忆保存，仅靠视觉为25%，仅靠听觉为15%，视听结合可达65%。”
这个实验材料告诉我们，课堂教学如果只是局限于听讲，而不注重调动其他感觉器官的话，课堂的效果是无法达到最佳的。
以前教师上数学课喜欢用小黑板，不仅可以增加课堂容量，还可以用不同颜色的粉笔对例题进行圈点作标记，便于学生剖析例题，理解与分析问题。这样的教学呈现是将学生的听觉与视觉相结合，使他们在加深记忆的同时，也有了自己的新认识。
有了多媒体之后，数学课堂的呈现方式更变得丰富，如几何画板呈现动态的生成过程，PPT课件的导入，使原本只是数字与字母、图形构成的数学课堂，变得色彩鲜艳，容量大增。
我们利用多媒体上课时，可以调动学生的多种感觉器官，集中学生的注意力，在确保学生主动积极接受知识的同时，更是扩大了课堂容量，让学生在课堂上学有所得，学有所乐，进而减轻学生课外的学业负担。利用多样化的呈现方式，也可以促进学生学习习惯的有效养成，思维能力的提升，进而更好地提高课堂效益。
案例2：如图2，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为600。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。
本题讲解时，利用几何画板展示正方形的滚动情况，让学生观察点A在滚动中位置的确定，并点好相应位置，再画出弧线。表面看来学生对信息的接受效果很好，纷纷表示懂了，但让学生自己试试看时，发现会画的没几个人。也就是说，光看动画演示没法让学生真正掌握，所以，笔者要求学生自制一个小正方形，标好顶点A，并在图2中标示出点A每次滚动后的位置，并让学生思考点A形成的路径是什么形状，要画出这个形状，我们要找到哪些关系的量。经过点拨、操作与思考，大部分学生画出了正确图形（如图3），相信他们也真正掌握了解答滚动类考题的基本方法技巧，而这个是几何画板所无法给予的。
三、课堂生成：“题”“法”“文”多元化——一花独放不是春
精彩的课堂能激发学生的潜力，让学生乐在其中，提高效益，生成能力。笔者对“学生讲题”及“学生小论文”进行了研究与尝试。如课前五分钟学生讲题、课中的精彩一刻等形式，学生选出一个自己想讲的题，为大家进行讲解和分析，这样的课堂由于学生的高度参与而显得格外充满生机与活力。
案例3：学生讲题
不可取的“瘦身”
九（3）班 吴洁
今天考卷上做了一题，是关于一元二次方程的，原来我沾沾自喜，想着马上就会有一个大大的勾了，可不料，老师打了一个叉。
怎么会？我错哪了？于是我认真地检查了一下。
原题：证明：无论a取何值，关于x的一元二次方程x2-（2a-3）x+a-3=0有两个不相等的实数根。
原解：x2-（2a-3）x+a-3=0
△=（2a-3）2-4×1×（a-3）
=4a2-16a+21
=a2-4a+
我左看右看，终于发现了问题，我为这个方程“瘦了身”，使它整整缩小了四倍，意识到这个问题，我恍然大悟。
总结：在代数式中，千万不能给代数式“瘦身”。一定要把系数提出来。
正解：x2-（2a-3）x+a-3=0
△=（2a-3）2-4×1×（a-3）
=4（a2-4a+4）+5
=4（a-2）2+5
>0
以此为例，以后，对于这种“瘦身”，我们还是要敬而远之。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体。真正的有效是学生发自内心深处的想要学。让学生上讲台讲解数学题目，写数学小论文，而教师在旁聆听，关注课堂的新生成，在了解学生思维的同时，也为以后的教学起到了提示与扩充的作用。
第斯多惠说：“教学的艺术，不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”我想一个高效的课堂必将是：抓住知识点“无限”放大，调动学生全身心地投入课堂，使学生在不断地探索中，教师的追问下，自己的实践反思下，不断完善自己，进而实现自己的最优化发展。
作者单位：江苏省无锡市旺庄中学、江苏省无锡市新城中学
一、课堂设计：“选”“问”“引”精致化——一石激起千层浪
一堂高效的数学课，源于课堂素材选用得当有效，课堂例题挖掘充分，点拨精巧恰当，数学思想方法渗透扎实到位，使课堂流程设计精致化，课堂设问循序渐进，课堂引导符合学生思维的最近发展区，从而使学生在课堂上获得最佳收获。
案例1：如图1，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm，点P以 2cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以1cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤12），那么当t为何值时，△QAP的面积等于32 cm2？
以此题为背景，学生经过思考，还设计了以下追问：
（1）t为何值时，点P与点Q相距6 cm？
（2）t为何值时，PQ⊥CP？
（3）是否存在这样的t，使△QCP的面积等于109 cm2？
（4）t为何值时，△QCP为直角三角形？
（5）将题改为：在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm， 点P以 2cm/s的速度从点A开始沿边AB，BC向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，到A后即刻返回D点，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤18），则t为何值时，PQ=30 cm……
本题涉及很多数学思考方法，如转化思想、化斜为直、分类讨论等，也用到了很多常见模型，如K字型证相似等，学生在自己设计题目的过程中，教师不光要仔细聆听，还要及时加以点拨与引导，使学生能将本图看得更透彻，同时，对于学生反馈中的错误，更需耐心剖析，让他们知其然，更知其所以然。
这样高效利用课堂资源，以一图为背景将数学知识、数学结论与数学本质抽丝剥茧式慢慢呈现在学生面前，更有利于学生掌握。
二、课堂呈现：“视”“听”“触”多样化——操千曲而后晓声
心理学实验表明：“人对信息的接受，味觉占1%，触觉占1.5%，嗅觉占3.5%，听觉占11%，视觉占83%，其中视、听两项合计达94%。而人对信息的记忆保存，仅靠视觉为25%，仅靠听觉为15%，视听结合可达65%。”
这个实验材料告诉我们，课堂教学如果只是局限于听讲，而不注重调动其他感觉器官的话，课堂的效果是无法达到最佳的。
以前教师上数学课喜欢用小黑板，不仅可以增加课堂容量，还可以用不同颜色的粉笔对例题进行圈点作标记，便于学生剖析例题，理解与分析问题。这样的教学呈现是将学生的听觉与视觉相结合，使他们在加深记忆的同时，也有了自己的新认识。
有了多媒体之后，数学课堂的呈现方式更变得丰富，如几何画板呈现动态的生成过程，PPT课件的导入，使原本只是数字与字母、图形构成的数学课堂，变得色彩鲜艳，容量大增。
我们利用多媒体上课时，可以调动学生的多种感觉器官，集中学生的注意力，在确保学生主动积极接受知识的同时，更是扩大了课堂容量，让学生在课堂上学有所得，学有所乐，进而减轻学生课外的学业负担。利用多样化的呈现方式，也可以促进学生学习习惯的有效养成，思维能力的提升，进而更好地提高课堂效益。
案例2：如图2，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为600。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。
本题讲解时，利用几何画板展示正方形的滚动情况，让学生观察点A在滚动中位置的确定，并点好相应位置，再画出弧线。表面看来学生对信息的接受效果很好，纷纷表示懂了，但让学生自己试试看时，发现会画的没几个人。也就是说，光看动画演示没法让学生真正掌握，所以，笔者要求学生自制一个小正方形，标好顶点A，并在图2中标示出点A每次滚动后的位置，并让学生思考点A形成的路径是什么形状，要画出这个形状，我们要找到哪些关系的量。经过点拨、操作与思考，大部分学生画出了正确图形（如图3），相信他们也真正掌握了解答滚动类考题的基本方法技巧，而这个是几何画板所无法给予的。
三、课堂生成：“题”“法”“文”多元化——一花独放不是春
精彩的课堂能激发学生的潜力，让学生乐在其中，提高效益，生成能力。笔者对“学生讲题”及“学生小论文”进行了研究与尝试。如课前五分钟学生讲题、课中的精彩一刻等形式，学生选出一个自己想讲的题，为大家进行讲解和分析，这样的课堂由于学生的高度参与而显得格外充满生机与活力。
案例3：学生讲题
不可取的“瘦身”
九（3）班 吴洁
今天考卷上做了一题，是关于一元二次方程的，原来我沾沾自喜，想着马上就会有一个大大的勾了，可不料，老师打了一个叉。
怎么会？我错哪了？于是我认真地检查了一下。
原题：证明：无论a取何值，关于x的一元二次方程x2-（2a-3）x+a-3=0有两个不相等的实数根。
原解：x2-（2a-3）x+a-3=0
△=（2a-3）2-4×1×（a-3）
=4a2-16a+21
=a2-4a+
我左看右看，终于发现了问题，我为这个方程“瘦了身”，使它整整缩小了四倍，意识到这个问题，我恍然大悟。
总结：在代数式中，千万不能给代数式“瘦身”。一定要把系数提出来。
正解：x2-（2a-3）x+a-3=0
△=（2a-3）2-4×1×（a-3）
=4（a2-4a+4）+5
=4（a-2）2+5
>0
以此为例，以后，对于这种“瘦身”，我们还是要敬而远之。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体。真正的有效是学生发自内心深处的想要学。让学生上讲台讲解数学题目，写数学小论文，而教师在旁聆听，关注课堂的新生成，在了解学生思维的同时，也为以后的教学起到了提示与扩充的作用。
第斯多惠说：“教学的艺术，不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”我想一个高效的课堂必将是：抓住知识点“无限”放大，调动学生全身心地投入课堂，使学生在不断地探索中，教师的追问下，自己的实践反思下，不断完善自己，进而实现自己的最优化发展。
作者单位：江苏省无锡市旺庄中学、江苏省无锡市新城中学