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【摘 要】教师引导学生利用函数图象的物理含义、斜率及截距的意义等解决物理问题，能使学生更好地掌握物理规律，完善物理思想，也可以让学生的分析、求解过程更简洁。本文以高中物理功能问题的求解为例，利用函数图象引导学生将问题图象化，以期提升学生思维的发散性、全面性与敏捷性，把培养学生的物理核心素养落到实处。
【关键词】高中物理;函数图象;功能问题
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0060-02
在高中物理功能问题教学中，培养学生利用函数图象分析和解决问题的能力很重要。其中，利用函数图象的物理含义、斜率及截距的意义，能使学生更好地掌握物理规律，完善物理思想。
1 利用函数图象求解变力做功
对于简单的变力做功问题，可求出力对位移的平均值后，利用功的定义式求解，但多数情况下无法得到力的平均值。若能画出力对位移变化的图象，可微元处理为极短过程，将每小段的Δ fΔx累加，其数学含义为F-x图象与坐标轴围成的面积，即为该变力所做的功。
例1：如图1所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块。木块体积为V，高为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h。用力缓慢地把木块压到容器底部，假设水没有溢出，求压力的功是多少。
解析：木块缓慢下降时动能不变，由于木块横截面积为容器截面积的一半，当木块被下压到与水面平齐时，水面上升了，木块实际下降了，这一过程中浮力由线性增到ρgV，压力也是线性增大。木块在继续下降的过程中，受到的浮力不变，压力大小也不变。可作出 f-h图象（如图2），由于木块始终处于平衡状态，相应压力随下降高度变化图也可得出，此图象与坐标轴围成的面积即为压力所做的功，有第一阶段压力做功，，第二阶段压力做的功为，可得此过程中压力做功为W=。
类似的变力做功求解的例子还有弹簧弹力做功、长木板滑入粗糙平面摩擦力做功等。
2 利用函数图象探究功与动能改变量的关系
功与能的转化关系可以利用探究性试验分析，处理此试验的重点在于利用函数图象确定线性关系。
例2：用图3中的装置做“探究做功与物体速度变化的关系”实验。
（1）除了图3中已给出的实验器材外，还需要的测量器材是 。
A.秒表 B.天平
C.刻度尺 D.弹簧测力计
（2）实验前，要求通过调整长木板的倾角来平衡小车受到的阻力。可认为阻力已被平衡的方法是 。
A.轻推小车后，小车运动越来越快
B.静止释放小车后，小车仍保持静止
C.静止释放小车后，小车运动越来越快
D.轻推小车后，拖着纸带的小车能缓慢前进
（3）为更加直观地确定W与v之间的关系，应作
出 图象。
A.W B.W?v C.W?v2
答案：（1）C （2）D （3）C
3 利用函数图象斜率求解未知量
功是能量转化的量度，不同含义的功对应不同的能量转化。如合外力做功对应动能的改变，除重力和系统内弹簧弹力做功对应机械能的改变等[1]。从图象角度看，动能与位移关系图象的斜率（或某点切线的斜率）表示合外力，机械能与位移关系图象的斜率（或某点切线的斜率）表示除重力和系统弹簧弹力外的其他力[2]。
例3：从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图4所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得（ ）。
A.物体的质量为2 kg
B.h=0时，物体的速度为20 m/s
C.物体所受到的恒定阻力大小为5 N
D.从地面至h=4 m，物体的动能减少100 J
解析：重力做功对应重力势能改变。由Ep-h图象知其斜率为G，故G=20 N，解得m=2 kg，故A正确。
h=0时，Ep=0，Ek=E机?Ep=100J?0=100J，解得：v=
10 m/s，故B错误。
机械能的变化对应其他力做功，可根据E总随h变化的图象斜率解出阻力大小为5 N，故C正确。
h=0时，Ek=E机?Ep=100 J?0=100 J，h=4 m时，Ek'=
E机?Ep=80 J?80 J=0 J，故Ek?Ek'=100 J，故D正确。
4 利用函数图象建立物理情境
物理学中的情境建立能力能够体现学生的物理素养，函数图象的利用有助于学生快速准确地建立情境[3]。即利用图象的变化规律、斜率与截距等解读物理过程并进行分析计算。
例4：一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为
2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图5所示。试解答：
（1）根据图线ABC判断汽车做什么运动？
（2）求最大速度v2的大小。
（3）求匀加速直线运动中的加速度。
分析：汽车启动问题要求学生具有较强的分析能力，此例提供的条件为F-图象，看懂图象是解题的关键。可将P=Fv转化为F-关系，并理解随v增大，减小，需将图象从右向左分析。
解析：（1）图线AB牵引力F不变，阻力 f 不变，
汽车做匀加速直线运动;BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动。
（2）汽车速度为v2，牵引力为F1=1×103 N，可得速度为：v2===20 m/s。
（3）由上可知汽车受到的阻力为：f=1×103 N。根据牛顿第二定律F?f=ma，可得汽车做匀加速直线运动时的加速度为a=2 m/s2。
根据以上的例子可以发现，物理素养的养成离不开数学技能的渗透。学生在高中物理学习中必须掌握一定的数学学科知识，提升综合素养。函数规律的灵活运用，有利于培养学生对物理功能问题的科学思维，从而使学生的思维更具发散性、全面性与敏捷性，真正把培养学生的物理核心素养落到实处。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.
[2]廖伯琴.高中新课程必修教与学——物理[M].北京：北京大学出版社，2006.
[3]黎国胜.基于“学科核心素养”的高中物理教学思考[J].物理教学，2016（5）.
【作者简介】
周建中（1972～），男，汉族，江西景德镇人，本科，中学高级教師。研究方向：高中物理教学。
【关键词】高中物理;函数图象;功能问题
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0060-02
在高中物理功能问题教学中，培养学生利用函数图象分析和解决问题的能力很重要。其中，利用函数图象的物理含义、斜率及截距的意义，能使学生更好地掌握物理规律，完善物理思想。
1 利用函数图象求解变力做功
对于简单的变力做功问题，可求出力对位移的平均值后，利用功的定义式求解，但多数情况下无法得到力的平均值。若能画出力对位移变化的图象，可微元处理为极短过程，将每小段的Δ fΔx累加，其数学含义为F-x图象与坐标轴围成的面积，即为该变力所做的功。
例1：如图1所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块。木块体积为V，高为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h。用力缓慢地把木块压到容器底部，假设水没有溢出，求压力的功是多少。
解析：木块缓慢下降时动能不变，由于木块横截面积为容器截面积的一半，当木块被下压到与水面平齐时，水面上升了，木块实际下降了，这一过程中浮力由线性增到ρgV，压力也是线性增大。木块在继续下降的过程中，受到的浮力不变，压力大小也不变。可作出 f-h图象（如图2），由于木块始终处于平衡状态，相应压力随下降高度变化图也可得出，此图象与坐标轴围成的面积即为压力所做的功，有第一阶段压力做功，，第二阶段压力做的功为，可得此过程中压力做功为W=。
类似的变力做功求解的例子还有弹簧弹力做功、长木板滑入粗糙平面摩擦力做功等。
2 利用函数图象探究功与动能改变量的关系
功与能的转化关系可以利用探究性试验分析，处理此试验的重点在于利用函数图象确定线性关系。
例2：用图3中的装置做“探究做功与物体速度变化的关系”实验。
（1）除了图3中已给出的实验器材外，还需要的测量器材是 。
A.秒表 B.天平
C.刻度尺 D.弹簧测力计
（2）实验前，要求通过调整长木板的倾角来平衡小车受到的阻力。可认为阻力已被平衡的方法是 。
A.轻推小车后，小车运动越来越快
B.静止释放小车后，小车仍保持静止
C.静止释放小车后，小车运动越来越快
D.轻推小车后，拖着纸带的小车能缓慢前进
（3）为更加直观地确定W与v之间的关系，应作
出 图象。
A.W B.W?v C.W?v2
答案：（1）C （2）D （3）C
3 利用函数图象斜率求解未知量
功是能量转化的量度，不同含义的功对应不同的能量转化。如合外力做功对应动能的改变，除重力和系统内弹簧弹力做功对应机械能的改变等[1]。从图象角度看，动能与位移关系图象的斜率（或某点切线的斜率）表示合外力，机械能与位移关系图象的斜率（或某点切线的斜率）表示除重力和系统弹簧弹力外的其他力[2]。
例3：从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图4所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得（ ）。
A.物体的质量为2 kg
B.h=0时，物体的速度为20 m/s
C.物体所受到的恒定阻力大小为5 N
D.从地面至h=4 m，物体的动能减少100 J
解析：重力做功对应重力势能改变。由Ep-h图象知其斜率为G，故G=20 N，解得m=2 kg，故A正确。
h=0时，Ep=0，Ek=E机?Ep=100J?0=100J，解得：v=
10 m/s，故B错误。
机械能的变化对应其他力做功，可根据E总随h变化的图象斜率解出阻力大小为5 N，故C正确。
h=0时，Ek=E机?Ep=100 J?0=100 J，h=4 m时，Ek'=
E机?Ep=80 J?80 J=0 J，故Ek?Ek'=100 J，故D正确。
4 利用函数图象建立物理情境
物理学中的情境建立能力能够体现学生的物理素养，函数图象的利用有助于学生快速准确地建立情境[3]。即利用图象的变化规律、斜率与截距等解读物理过程并进行分析计算。
例4：一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为
2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图5所示。试解答：
（1）根据图线ABC判断汽车做什么运动？
（2）求最大速度v2的大小。
（3）求匀加速直线运动中的加速度。
分析：汽车启动问题要求学生具有较强的分析能力，此例提供的条件为F-图象，看懂图象是解题的关键。可将P=Fv转化为F-关系，并理解随v增大，减小，需将图象从右向左分析。
解析：（1）图线AB牵引力F不变，阻力 f 不变，
汽车做匀加速直线运动;BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动。
（2）汽车速度为v2，牵引力为F1=1×103 N，可得速度为：v2===20 m/s。
（3）由上可知汽车受到的阻力为：f=1×103 N。根据牛顿第二定律F?f=ma，可得汽车做匀加速直线运动时的加速度为a=2 m/s2。
根据以上的例子可以发现，物理素养的养成离不开数学技能的渗透。学生在高中物理学习中必须掌握一定的数学学科知识，提升综合素养。函数规律的灵活运用，有利于培养学生对物理功能问题的科学思维，从而使学生的思维更具发散性、全面性与敏捷性，真正把培养学生的物理核心素养落到实处。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.
[2]廖伯琴.高中新课程必修教与学——物理[M].北京：北京大学出版社，2006.
[3]黎国胜.基于“学科核心素养”的高中物理教学思考[J].物理教学，2016（5）.
【作者简介】
周建中（1972～），男，汉族，江西景德镇人，本科，中学高级教師。研究方向：高中物理教学。