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随着广告费用占企业总费用的比例逐年攀升，广告现已是企业营销的最重要手段之一。本文便着眼于了解市场行情，制定合理的广告策略。在VW模型的基础上，综合考虑了多个商家间的广告竞争和广告的组合投放，一方面使模型能更真实地反映实际情况，一方面使模型不仅能求解出最优的广告投资总额，还能求解得到相应的广告组合投放具体形式，使广告方案更加完善。
动态优化控制；Vidale-Wolfe模型；数值拟合
[中图分类号]F272.3,F224.0[文献标识码]A[文章编号]1009-9646（2011）08-0014-02
广告策略问题其实就是确定在未来一段时间内企业为使其销售利润达到最大的最优广告投入费用。这类问题在数学上是一个典型的动态最优控制问题。
一、Vidale-Wolfe模型
对于最优广告投入的数学模型研究，为了客观反映市场实际现象中广告投入与销售收益之间的复杂关系。我们引入最经典的Vidale-Wolfe广告销售反应模型，通过微分方程描述了广告投入与销售变化率之间的直接关系。
目标函数：
在该模型中，商品的销售变化率依赖于两个因素，一是广告的作用，通过广告扩大商品的销路，而是人们对该商品的“遗忘”，如果没有任何的广告费用的支出，那么人们对该商品将逐渐忘却，这将引起销售率的下降。上式中令表示时刻商品的销量，表示时刻广告费用的支出，表示市场的最大容量即商品需求的饱和水平，也称之为市场对此种商品的最大承载力，表示销售额的厨师值。表示商品的自然扩散率；表示商品的被“遗忘”率（及平均衰减系数），都是常数。由于市场客观存在一个可能的最大容量，当实际销售量达到或接近时，广告费用的支出就是0或几乎为0。相反，若实际销售量比小得多，那么广告的效果则较大。
该模型将销售速率作为状态变量，而把广告的费用作为控制变量。假定该企业希望使某个目标泛函达到极大，该目标泛函反映了它的以销售率和广告费用来表示的总收益最优控制问题实质上就是找出一种能使公司的目标泛函达到极大的广告投资策略。
1.模型改进
（1）广告的多形式组合投放
上面的模型中，只考虑了对广告投入总费用的规划。针对信息时代，传媒手段日趋多样的特点，特别考虑到了广告的多形式组合投放，以实现广告总费用在多种形式广告间的合理配置，达到企业利益的最大化下。由于商品的自然扩散率与广告媒体的组合方式和各媒体的传播效果有关，同时又直接影响了最大利润，并且两者呈现正相关。所以为实现最优的广告组合投放，只需求解其相应的最大值。于是我们建立以下模型：设电视、户外广告、报刊杂志各占广告投放比率分别为。
STEP1：求解各种形式的广告对扩散因子的影响程度即相应的权重
①用表示电视媒体，表示户外广告媒体，用表示报刊杂志媒体。将广告投放方式中的三种媒体两两比较，根据Saaty等人提出的1-9比较尺度得出成对对比矩阵：
②由公式可得3.005，代入公式可得=0.003，于是==0.005<0.1，通过了一致性检验。
③由此可得各广告媒体的权重值，
STEP2：求解各形式广告的投资比例
在现实中，企业的广告投入预算是有限的。如何把有限的资金以最优的组合方式投入到广告宣传中，取得最佳效果，对企业意义重大。为此，可以建立一个线性规划数学模型，给出最佳的广告组合方案并求出商品的自然扩散率。
求解得到：。
所以可得到如下的广告组合方案：电视、户外广告、报刊杂志各占广告投放比率分别为。
STEP3：求解最优广告组合下的扩散因子
综合上述分析可得，自然扩散率为：
（2）多个商家之间的广告竞争
由初始的Vidale-Wolfe模型我们知道，商品会随时间的推移而被遗忘。而另一些人的经验也证明,广告宣传的影响虽然会保持相当长的一段时间,但终会随时间而减弱商誉可因新顾客的加入或因消费者改变其对商品的兴趣和偏爱而产生商誉随时间的推移而降低。因此，考虑到商家的竞争效应对衰减因子的直接影响。我们建立起了两者间的以下关系模型：
二、采用实际数据进行模型求解
1.数据的采集
我们以酒鬼酒企业为实例进行分析，通过网络信息查询的手段采集数据，得到该企业的年度报表，并利用相应参数描述，通过数值拟合进行计算可得以下参数的具体值：
=0.374，=1.90，=0.8，=1.20
2.函数的求解
相应的Hamilton函数为：
代入相关参数并化简可得：
由（2）式得： （4）
对（4）式求导得：（5）
将（4）（5）代入（3）式可以解出：
将（6）式代入（1）式可以求出=5.1124，从而=0.7。
再将代入（3）式可得关于的一阶常系数微分方程，用MATLAB7.0可以解出
而初值=0.8可以求出，可得
由=1.90可以得出=8.777，说明用8.777年，每年投资广告费用7000万元，从而达到销售饱和。所以，当企业在一个生命周期内的广告总投入为6.1亿元的时候，销售总利润最大。同时还需保证并且电视、户外广告、报纸杂志三种媒体形式的分配比例分为进而实现综合最优。
[1]刘剑平,潘德惠.控制理论在最优广告策略上的应用[A].中国控制与决策学术年会论文集,1993,420-425.
[2]夏顺萍.广告设计的经济效益与社会效益[J].科技咨询导报,2007,(4):87.
[3]蔡伟.透析商业广告与企业效益[J].商场现代化,2007,(4):217-218.
[4]姜启源,谢金星.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
动态优化控制；Vidale-Wolfe模型；数值拟合
[中图分类号]F272.3,F224.0[文献标识码]A[文章编号]1009-9646（2011）08-0014-02
广告策略问题其实就是确定在未来一段时间内企业为使其销售利润达到最大的最优广告投入费用。这类问题在数学上是一个典型的动态最优控制问题。
一、Vidale-Wolfe模型
对于最优广告投入的数学模型研究，为了客观反映市场实际现象中广告投入与销售收益之间的复杂关系。我们引入最经典的Vidale-Wolfe广告销售反应模型，通过微分方程描述了广告投入与销售变化率之间的直接关系。
目标函数：
在该模型中，商品的销售变化率依赖于两个因素，一是广告的作用，通过广告扩大商品的销路，而是人们对该商品的“遗忘”，如果没有任何的广告费用的支出，那么人们对该商品将逐渐忘却，这将引起销售率的下降。上式中令表示时刻商品的销量，表示时刻广告费用的支出，表示市场的最大容量即商品需求的饱和水平，也称之为市场对此种商品的最大承载力，表示销售额的厨师值。表示商品的自然扩散率；表示商品的被“遗忘”率（及平均衰减系数），都是常数。由于市场客观存在一个可能的最大容量，当实际销售量达到或接近时，广告费用的支出就是0或几乎为0。相反，若实际销售量比小得多，那么广告的效果则较大。
该模型将销售速率作为状态变量，而把广告的费用作为控制变量。假定该企业希望使某个目标泛函达到极大，该目标泛函反映了它的以销售率和广告费用来表示的总收益最优控制问题实质上就是找出一种能使公司的目标泛函达到极大的广告投资策略。
1.模型改进
（1）广告的多形式组合投放
上面的模型中，只考虑了对广告投入总费用的规划。针对信息时代，传媒手段日趋多样的特点，特别考虑到了广告的多形式组合投放，以实现广告总费用在多种形式广告间的合理配置，达到企业利益的最大化下。由于商品的自然扩散率与广告媒体的组合方式和各媒体的传播效果有关，同时又直接影响了最大利润，并且两者呈现正相关。所以为实现最优的广告组合投放，只需求解其相应的最大值。于是我们建立以下模型：设电视、户外广告、报刊杂志各占广告投放比率分别为。
STEP1：求解各种形式的广告对扩散因子的影响程度即相应的权重
①用表示电视媒体，表示户外广告媒体，用表示报刊杂志媒体。将广告投放方式中的三种媒体两两比较，根据Saaty等人提出的1-9比较尺度得出成对对比矩阵：
②由公式可得3.005，代入公式可得=0.003，于是==0.005<0.1，通过了一致性检验。
③由此可得各广告媒体的权重值，
STEP2：求解各形式广告的投资比例
在现实中，企业的广告投入预算是有限的。如何把有限的资金以最优的组合方式投入到广告宣传中，取得最佳效果，对企业意义重大。为此，可以建立一个线性规划数学模型，给出最佳的广告组合方案并求出商品的自然扩散率。
求解得到：。
所以可得到如下的广告组合方案：电视、户外广告、报刊杂志各占广告投放比率分别为。
STEP3：求解最优广告组合下的扩散因子
综合上述分析可得，自然扩散率为：
（2）多个商家之间的广告竞争
由初始的Vidale-Wolfe模型我们知道，商品会随时间的推移而被遗忘。而另一些人的经验也证明,广告宣传的影响虽然会保持相当长的一段时间,但终会随时间而减弱商誉可因新顾客的加入或因消费者改变其对商品的兴趣和偏爱而产生商誉随时间的推移而降低。因此，考虑到商家的竞争效应对衰减因子的直接影响。我们建立起了两者间的以下关系模型：
二、采用实际数据进行模型求解
1.数据的采集
我们以酒鬼酒企业为实例进行分析，通过网络信息查询的手段采集数据，得到该企业的年度报表，并利用相应参数描述，通过数值拟合进行计算可得以下参数的具体值：
=0.374，=1.90，=0.8，=1.20
2.函数的求解
相应的Hamilton函数为：
代入相关参数并化简可得：
由（2）式得： （4）
对（4）式求导得：（5）
将（4）（5）代入（3）式可以解出：
将（6）式代入（1）式可以求出=5.1124，从而=0.7。
再将代入（3）式可得关于的一阶常系数微分方程，用MATLAB7.0可以解出
而初值=0.8可以求出，可得
由=1.90可以得出=8.777，说明用8.777年，每年投资广告费用7000万元，从而达到销售饱和。所以，当企业在一个生命周期内的广告总投入为6.1亿元的时候，销售总利润最大。同时还需保证并且电视、户外广告、报纸杂志三种媒体形式的分配比例分为进而实现综合最优。
[1]刘剑平,潘德惠.控制理论在最优广告策略上的应用[A].中国控制与决策学术年会论文集,1993,420-425.
[2]夏顺萍.广告设计的经济效益与社会效益[J].科技咨询导报,2007,(4):87.
[3]蔡伟.透析商业广告与企业效益[J].商场现代化,2007,(4):217-218.
[4]姜启源,谢金星.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.