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摘 要:本节课的课型为“新授课”。通过本节的学习,使学生对函数与映射的紧密联系有更深刻的认识。
关键词:课堂案例映射
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)08(c)-0006-02
1 课程分析
映射不仅涉及到前面学习的有关集合的知识,而且为下一节函数的深入研究打下重要的基础。由于函数是一种特殊的映射,所以映射与函数有着极为密切的关系,在函数学习中起着不容忽视的铺垫作用。通过本节的学习,使学生对函数与映射的紧密联系有更深刻的认识。
2 学情分析
本节课的课型为“新授课”。因为学生刚刚学习了函数的概念,所以采用“由特殊到一般,再到特殊”的教学方法。本节概念较多,学生理解和掌握有一定的难度,在教学过程中要充分利用对应图像的形象性和直观性,这样便于学生理解和掌握有关概念。通过具体实例引出概念,再应用概念解决问题,以此加深对概念的理解；让学生分析、讨论、提炼问题,并积极参与到教学活动中来,并且使其始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习氛围中,既掌握了知识,又提高了能力。
3 教学过程
3.1 创设情境,问题引入
引例:现在名字相同的人越来越多,比如:我们学校叫“李丽”的人据说就有4个。把人与这个人的姓名对应；把人与这个人的身份证号码对应,请同学们考虑这两种对应的形式分别是怎样的？
设置问题:实际生活中,这种对应的例子还有很多,大家想一想,还有哪些例子？
学生1:看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
学生2:对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A与此相对应。
学生3:任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应。
教师:这几位同学回答的都非常好！这种对应就与“映射”有关。那么,映射是什么？映射与函数有什么关系呢？下面我们就来共同探讨这两个问题。
3.2 探索研究,寻找规律
例1(幻灯片1):某个活动小组共有6个成员,在一次体检中,他们各自的身高如表1所示。
教师:我们把这6名成员看成一个集合A,这些身高可以看成另一个集合B,这两个集合中的元素是怎样的一个对应关系呢？
学生4:每一名成员对应一个身高,两个集合的元素是一个一一对应的关系。
教师:很好！请坐！请看下面的例子。
例2(幻灯片2):在直角坐标平面内的点Q的全体构成的集合,与有序实数对全体构成的集合之间。
教师设置问题:
例3(幻灯片3):
如图1、图2、图3、图4所示。
(1)这四个对应分别是怎样形式的对应呢？
(2)这四个对应的共同特点是什么？
(3)图2、图3、图4,想一想这三个对应有什么共同特点？
学生5:图1为一对多,图2为一对一,图3为多对一,图4为一对一。
学生6:这四个对应的共同特点是集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到相对应的元素。
学生7:图2、图3、图4的共同特点是不仅集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到相对应的元素,而且是唯一的元素与之对应。
教师提出课题:像图2、图3、图4体现的这种特殊的对应就是映射。那我们如何给映射一个确定的定义呢？
教师:请大家根据要求分组进行讨论。
学生8:首先有两个集合A、B,并且集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到唯一的元素与之对应。
教师:其他同学还有补充吗？
学生9:这两个集合A、B是非空集合,还必须有对应条件。
教师:这个对应条件我们称为对应法则。
通过学生分析讨论,最终得出映射概念:
出示(幻灯片4)。
定义1：一般地,设是A、B两个非空集合,如果按照某种对应法则,对集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及A到B的对应法则)叫做A到B的映射。记作。
(同时引出象与原象的概念。可以借助“照相”的原理辅助理解。)
教师:映射中的对应形式有哪些？哪种对应形式一定不是映射？
学生10:映射中的对应形式有“一对一”或者“多对一”,而“一对多一”定不是映射。
教师:与一致吗？
同学们异口同声的回答:不一致！
教师强调映射概念中的两个“一”即“任一”、“唯一”。
教师再举例:下列从集合A到集合B的各种对应法则中,哪些是映射？
(1)A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}对应法则:乘2加1；
(2)A=N+B={0,1}对应法则:B中的元素x除以2得的余数；
(3)A=Z B=N* 对应法则:求绝对值；
(4)A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64} 对应法则:。
学生11:根据映射定义可知(1)、(2)、(4)是映射；(3)不是映射(因为A中0没有象)。
教师:同意他这个结果的请举手。
实录:其他同学纷纷举手。
设置问题:下面请同学们分组讨论前面的3个例题:它们分别是哪个集合到哪个集合的映射？哪些是象,哪些是原象？是几对几的映射？
设置问题:通过实例分析,映射有几种对应形式呢？
设置问题:根据例2、例3分析,什么是一一映射？
一一映射的概念(幻灯片5)。
定义2：一般地,设A、B是两个集合,是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。并且让学生分析讨论映射与一一映射的联系与区别。
(点评:引导学生进一步分析三个例题,巩固映射的概念,进而得出一一映射的概念。)
教师设置问题:当A、B满足什么条件时,A到B的映射就叫做A到B的函数？
点评:学生通过分析交流讨论,得出结论:
当A、B都是非空的数集时,A到B的映射就叫做A到B的函数,并且记作,还可以记作或者。
教师:函数与映射有什么联系？
学生12:函数是特殊的映射。
3.3 迁移运用,加深巩固
(给学生留出时间,完成以下问题:幻灯片6。)
(1)下列是映射的是( )。
如图5所示。
A.1、2、3B.1、2、5
C.1、3、5D.1、2、3、5
(2)关于从集合A到集合B的映射,下面说法中错误的是( )。
A.A中每一个元素在B中都有象
B.A中的两个不同元素在B中的象不同
C.B中的元素在A中可以没有象
D.B中的某元素在A中的原象可能不止一个
(3)集合,下列不表示从P 到Q的映射的是( )。
(4)设集合A和B都是正整数集合N*,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,则在映射f下,象20的原象是( )。
A．2 B．3 C．4 D．5
(5)下面哪一个图形可以作为函数的图像()。
如圖6所示。
(6)从集合到集合的映射共有()个。
(点评:通过精心设计的不同形式的练习题让学生掌握概念,并使学生养成独立思考的习惯。)
3.4 归纳总结,形成结论
(学生讨论总结,教师予以引导:幻灯片7。)
(1)映射、原象、象以及一一映射的概念；
(2)映射与一一映射的联系与区别；
(3)映射与函数的联系与区别；
(4)由特殊到一般、一般到特殊的认识事物的一般规律的方法；
(5)数形结合思想。
4 课后反思
这节课是根据学生已有的知识经验引入新课:映射。教师创设情景,激发学生的情意,引导学生围绕着“体验为红线,思维为主攻”的教学思想进行自主探究、合作学习,把学生以前的被动学习,转化为主动探究。充分发挥教师的引导作用,实现学生的主体地位。
5 结语
《映射》教学论文的设计,从具体到抽象,从感性到理性,从实践到理论,层次分明,循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活具有对应关系的事物案例,进入数学领域观察、归纳,同时渗透数形结合、从特殊到一般再到特殊的数学思想,形成映射的概念。进而使学生体会函数与映射的紧密联系。
关键词:课堂案例映射
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)08(c)-0006-02
1 课程分析
映射不仅涉及到前面学习的有关集合的知识,而且为下一节函数的深入研究打下重要的基础。由于函数是一种特殊的映射,所以映射与函数有着极为密切的关系,在函数学习中起着不容忽视的铺垫作用。通过本节的学习,使学生对函数与映射的紧密联系有更深刻的认识。
2 学情分析
本节课的课型为“新授课”。因为学生刚刚学习了函数的概念,所以采用“由特殊到一般,再到特殊”的教学方法。本节概念较多,学生理解和掌握有一定的难度,在教学过程中要充分利用对应图像的形象性和直观性,这样便于学生理解和掌握有关概念。通过具体实例引出概念,再应用概念解决问题,以此加深对概念的理解；让学生分析、讨论、提炼问题,并积极参与到教学活动中来,并且使其始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习氛围中,既掌握了知识,又提高了能力。
3 教学过程
3.1 创设情境,问题引入
引例:现在名字相同的人越来越多,比如:我们学校叫“李丽”的人据说就有4个。把人与这个人的姓名对应；把人与这个人的身份证号码对应,请同学们考虑这两种对应的形式分别是怎样的？
设置问题:实际生活中,这种对应的例子还有很多,大家想一想,还有哪些例子？
学生1:看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
学生2:对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A与此相对应。
学生3:任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应。
教师:这几位同学回答的都非常好！这种对应就与“映射”有关。那么,映射是什么？映射与函数有什么关系呢？下面我们就来共同探讨这两个问题。
3.2 探索研究,寻找规律
例1(幻灯片1):某个活动小组共有6个成员,在一次体检中,他们各自的身高如表1所示。
教师:我们把这6名成员看成一个集合A,这些身高可以看成另一个集合B,这两个集合中的元素是怎样的一个对应关系呢？
学生4:每一名成员对应一个身高,两个集合的元素是一个一一对应的关系。
教师:很好！请坐！请看下面的例子。
例2(幻灯片2):在直角坐标平面内的点Q的全体构成的集合,与有序实数对全体构成的集合之间。
教师设置问题:
例3(幻灯片3):
如图1、图2、图3、图4所示。
(1)这四个对应分别是怎样形式的对应呢？
(2)这四个对应的共同特点是什么？
(3)图2、图3、图4,想一想这三个对应有什么共同特点？
学生5:图1为一对多,图2为一对一,图3为多对一,图4为一对一。
学生6:这四个对应的共同特点是集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到相对应的元素。
学生7:图2、图3、图4的共同特点是不仅集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到相对应的元素,而且是唯一的元素与之对应。
教师提出课题:像图2、图3、图4体现的这种特殊的对应就是映射。那我们如何给映射一个确定的定义呢？
教师:请大家根据要求分组进行讨论。
学生8:首先有两个集合A、B,并且集合A中的每一个元素都可以在集合B中找到唯一的元素与之对应。
教师:其他同学还有补充吗？
学生9:这两个集合A、B是非空集合,还必须有对应条件。
教师:这个对应条件我们称为对应法则。
通过学生分析讨论,最终得出映射概念:
出示(幻灯片4)。
定义1：一般地,设是A、B两个非空集合,如果按照某种对应法则,对集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及A到B的对应法则)叫做A到B的映射。记作。
(同时引出象与原象的概念。可以借助“照相”的原理辅助理解。)
教师:映射中的对应形式有哪些？哪种对应形式一定不是映射？
学生10:映射中的对应形式有“一对一”或者“多对一”,而“一对多一”定不是映射。
教师:与一致吗？
同学们异口同声的回答:不一致！
教师强调映射概念中的两个“一”即“任一”、“唯一”。
教师再举例:下列从集合A到集合B的各种对应法则中,哪些是映射？
(1)A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}对应法则:乘2加1；
(2)A=N+B={0,1}对应法则:B中的元素x除以2得的余数；
(3)A=Z B=N* 对应法则:求绝对值；
(4)A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64} 对应法则:。
学生11:根据映射定义可知(1)、(2)、(4)是映射；(3)不是映射(因为A中0没有象)。
教师:同意他这个结果的请举手。
实录:其他同学纷纷举手。
设置问题:下面请同学们分组讨论前面的3个例题:它们分别是哪个集合到哪个集合的映射？哪些是象,哪些是原象？是几对几的映射？
设置问题:通过实例分析,映射有几种对应形式呢？
设置问题:根据例2、例3分析,什么是一一映射？
一一映射的概念(幻灯片5)。
定义2：一般地,设A、B是两个集合,是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。并且让学生分析讨论映射与一一映射的联系与区别。
(点评:引导学生进一步分析三个例题,巩固映射的概念,进而得出一一映射的概念。)
教师设置问题:当A、B满足什么条件时,A到B的映射就叫做A到B的函数？
点评:学生通过分析交流讨论,得出结论:
当A、B都是非空的数集时,A到B的映射就叫做A到B的函数,并且记作,还可以记作或者。
教师:函数与映射有什么联系？
学生12:函数是特殊的映射。
3.3 迁移运用,加深巩固
(给学生留出时间,完成以下问题:幻灯片6。)
(1)下列是映射的是( )。
如图5所示。
A.1、2、3B.1、2、5
C.1、3、5D.1、2、3、5
(2)关于从集合A到集合B的映射,下面说法中错误的是( )。
A.A中每一个元素在B中都有象
B.A中的两个不同元素在B中的象不同
C.B中的元素在A中可以没有象
D.B中的某元素在A中的原象可能不止一个
(3)集合,下列不表示从P 到Q的映射的是( )。
(4)设集合A和B都是正整数集合N*,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,则在映射f下,象20的原象是( )。
A．2 B．3 C．4 D．5
(5)下面哪一个图形可以作为函数的图像()。
如圖6所示。
(6)从集合到集合的映射共有()个。
(点评:通过精心设计的不同形式的练习题让学生掌握概念,并使学生养成独立思考的习惯。)
3.4 归纳总结,形成结论
(学生讨论总结,教师予以引导:幻灯片7。)
(1)映射、原象、象以及一一映射的概念；
(2)映射与一一映射的联系与区别；
(3)映射与函数的联系与区别；
(4)由特殊到一般、一般到特殊的认识事物的一般规律的方法；
(5)数形结合思想。
4 课后反思
这节课是根据学生已有的知识经验引入新课:映射。教师创设情景,激发学生的情意,引导学生围绕着“体验为红线,思维为主攻”的教学思想进行自主探究、合作学习,把学生以前的被动学习,转化为主动探究。充分发挥教师的引导作用,实现学生的主体地位。
5 结语
《映射》教学论文的设计,从具体到抽象,从感性到理性,从实践到理论,层次分明,循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活具有对应关系的事物案例,进入数学领域观察、归纳,同时渗透数形结合、从特殊到一般再到特殊的数学思想,形成映射的概念。进而使学生体会函数与映射的紧密联系。