论文部分内容阅读
立体几何作为中学数学的主干知识之一，每年高考都要考查，一般有选填题各一个和一道解答题．实施新课改以后，立体几何选填题所考查的内容发生了较大变化，三视图作为新课标的新增内容，目前已成为立体几何选填题考查的热点内容，其主要形式是在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算，原来的点、线、面位置关系的考查以及求角求距离为主的选填题考查模式正逐步被取而代之．从近几年新课标省份的高考试卷来看，立体几何选填题主要集中在考查空间几何体的概念与性质、线面关系的判定、表面积与体积、三视图与直观图等方面．
一、与三视图有关的长度、体积和表面积的计算
例1 某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）
A．[8-2π3] B．[8-π3]
C．[8-2π] D．[2π3]
分析 由三视图准确分析出对应几何体形状及相关数据（如棱长、半径、高等），是迅速求解此类问题的关键．
解 由三视图知，对应几何体是：在棱长为[2]的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为[2]，底面圆半径为[1]），故体积为[V=23-13⋅(π⋅12)⋅2=8-2π3]，选A．
例2 某几何体的一条棱长为[7]，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为[6]的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为[a]和[b]的线段，则[a+b]的最大值为（ ）
A．[22] B．[23] C．[4] D．[25]
分析 本题以三视图为背景，关键是构建长方体模型，把相关线段的长度转化为对角线之长．在得到[a2+b2=8]（定值）后，再结合不等式的有关知识求解．
解 由题意及三视图知识，可构建长方体模型如上图，其对角线[l]长为[7]，[l]在两个侧面和底面上的投影（即三个矩形的对角线）分别为[6]、[a]和[b]．设长方体模型的棱长为[x、y、z]，则有[x2+y2+z2=7]，[x2+y2=6]，[y2+z2=a2]，[x2+z2=b2]，可得[a2+b2=8]（定值），从而可得[a+b≤2(a2+b2)=4]，故选C．
二、空间中点、线、面位置关系的判断
例3 下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线与两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ______．
分析 对于空间几何中的概念、公理、定理和推论的理解要结合图形准确把握其本质，特别要注意限制条件，如公理3中的“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．另外，平面几何中的一些正确命题在空间几何中因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题．再就是要借助比较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，有时也可举出反例进行排除．
解 ③④
例4 设[m、n]是平面[α]内的两条不同直线，[l1、l2]是平面[β]内的两条相交直线，则[α∥][β]的一个充分而不必要条件是（ ）
A．[m∥][β]且[l1∥][α] B．[m∥][l1]且[n∥][l2]
C．[m∥][β]且[n∥][β] D．[m∥][β]且[n∥][l2]
分析 本题关键点是树立立体几何中的“模型意识”，借助正方体模型举出反例使抽象问题具体化．
解 如图，借助正方体[ABCD-A1B1C1D1]，易举出反例说明选项A、C、D不符合题意．对于选项B，当[m∥][l1]、[n∥][l2]且[m⊂α]、[n⊂α]时，有[l1∥][α]，[l2∥][α].又[l1]与[l2]相交且都在[β]内，[∴][α]//[β]时，无法推出[m∥][l1]且[n∥][l2]， [m∥][l1]且[n∥][l2]是[α∥][β]的一个充分不必要条件，故选B．
三、空间几何体的截、接问题
例5 如图，若[Ω]是长方体[ABCD-A1B1C1D1]被平面[EFGH]截去几何体[EFGHB1C1]后得到的几何体，其中[E]为线段[A1B1]上异于[B1]的点，[F]为线段[BB1]上异于[B1]的点，且[EH∥][A1D1]，则下列结论中不正确的是（ ）
A．[EH∥][FG] B．四边形[EFGH]是矩形
C．[Ω]是棱柱 D．[Ω]是棱台
分析 本题考查对空间几何体的结构特征的理解与认识，要熟练掌握棱柱的定义、线面平行、垂直的性质，具备一定的逻辑推理论证能力．
解 [∵][EH∥][A1D1]，[∴][EH∥][B1C1]，[∴][EH∥]平面[BB1C1C]．由线面平行性质知，[EH∥][FG]．同理，[EF∥][GH]，且[B1C1⊥]平面[EB1F]．由直棱柱定义知几何体[B1EF-C1HG]为直三棱柱，[∴]四边形[EFGH]为矩形，[Ω]为五棱柱，故选D．
例6 已知球的直径[SC=4]，[A、B]是该球球面上的两点，[AB=2]，[∠ASC=∠BSC=45°]，则棱锥[S-ABC]的体积为（ ）
A．[33] B．[233] C．[433] D．[533]
分析 本题关键点是根据三棱锥特征将其分割成两个小三棱锥体积之和求解．
解 由题可知，[AB]一定在与直径[SC]垂直的小圆面上，作过[AB]的小圆交直径[SC]于[D]，如图所示．
设[SD=x]，则[DC=4-x]，此时所求棱锥即分割成两个棱锥[S-ABD]和[C-ABD]．在[△SAD]和[△SBD]中，由已知条件可得[AD=BD=x]，又因为[SC]为直径，所以[∠SAC=∠SBC=90°]，[∠DAC=∠DBC=45°]. 在[△BDC]中，[BD=4-x]，故[x=4-x]，解得[x=2]，所以[AD=BD=2].
[△ABD]为正三角形，所以[V=13SΔABD×4=433]，故应填C．
【专题训练八】
1．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
[2][正（主）视图] [2] [2] [2] [2][侧（左）视图] [俯视图]
A．[2π+23] B．[4π+23]
C．[2π+233] D．[4π+233]
2．在空间直角坐标系[O-xyz]中，点[P]坐标为[P(2,-1,3)]．若点[A]与点[P]关于[xOy]平面对称，点[B]与点[P]关于[z]轴对称，则[AB=] ．
3．如图，网格纸的小正方形的边长是[1]，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______ ．
4．已知直线[l⊥]平面[α]，直线[m⊂]平面[β]，有下面四个命题：①[α][∥][β⇒l⊥m]；②[α⊥β⇒l][∥][m]； ③[l][∥][m⇒α⊥β]；④ [l⊥m⇒α∥][β]．其中正确的两个命题的序号是（ ）
A．①与② B．③与④
C．②与④ D．①与③
5．设[l、m]是两条不同的直线，[α]是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若[l⊥m]，[m⊂α]，则[l⊥α]
B．若[l⊥α]，[l][∥][m]，则[m⊥α]
C．若[l][∥][α]，[m⊂α]，则[l][∥][m]
D．若[l][∥][α]，[m][∥][α]，则[l][∥][m]
6．已知三棱锥[S-ABC]中，底面[ABC]为边长等于[2]的等边三角形，[SA]垂直于底面[ABC]，[SA=3]，那么直线[AB]与平面[SBC]所成角的正弦值为（ ）
A. [34]______ B. [54]
C. [74]______ D. [34]
7．等边三角形[ABC]与正方形[ABDE]有一公共边[AB]，二面角[C-AB-D]的余弦值为[33]，[M、N]分别是[AC、BC]的中点，则[EM、AN]所成角的余弦值等于______．
8．如图，空间四点[A、B、C、D]中，每两点所连线段的长都等于[a]．动点[P]在线段[AB]上，动点[Q]在线段[CD]上，则[P]与[Q]之间的最短距离为 ．
9．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的[316]，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
10．如图，正四面体[ABCD]的顶点[A、B、C]分别在两两垂直的三条射线[Ox、Oy、Oz]上，则下列命题中错误的是（ ）
A．[O-ABC]是正三棱锥
B．直线[OB][∥]平面[ACD]
C．直线[AD]与[OB]所成的角是[45∘]
D．[OC⊥AB]
11．如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为[1]，过点[A]作平面[A1BD]的垂线，垂足为点[H]，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点[H]是[△A1BD]的垂心
B．[AH⊥]平面[CB1D1]
C．[AH]的延长线经过点[C1]
D．直线[AH]和[BB1]所成的角为[45∘]
12．如图，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，，给出下列四个命题：①点[P]在直线[BC1]上运动时，三棱锥[A-D1PC]的体积不变；②点[P]在直线[BC1]上运动时，直线[AP]与平面[ACD1]所成角的大小不变；③点[P]在直线[BC1]上运动时，二面角[P-AD1-C]的大小不变；④点[M]是平面[A1B1C1D1]上到点[D]和[C1]距离相等的点，则点[M]的轨迹是过[D1]点的直线．其中真命题的序号是______ ．
【参考答案】
1． C 2．[214] 3．[23] 4．D
5．B 6. D 7．[16] 8．[22a]
9. [13] 10．B 11. D 12．①③④
一、与三视图有关的长度、体积和表面积的计算
例1 某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）
A．[8-2π3] B．[8-π3]
C．[8-2π] D．[2π3]
分析 由三视图准确分析出对应几何体形状及相关数据（如棱长、半径、高等），是迅速求解此类问题的关键．
解 由三视图知，对应几何体是：在棱长为[2]的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为[2]，底面圆半径为[1]），故体积为[V=23-13⋅(π⋅12)⋅2=8-2π3]，选A．
例2 某几何体的一条棱长为[7]，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为[6]的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为[a]和[b]的线段，则[a+b]的最大值为（ ）
A．[22] B．[23] C．[4] D．[25]
分析 本题以三视图为背景，关键是构建长方体模型，把相关线段的长度转化为对角线之长．在得到[a2+b2=8]（定值）后，再结合不等式的有关知识求解．
解 由题意及三视图知识，可构建长方体模型如上图，其对角线[l]长为[7]，[l]在两个侧面和底面上的投影（即三个矩形的对角线）分别为[6]、[a]和[b]．设长方体模型的棱长为[x、y、z]，则有[x2+y2+z2=7]，[x2+y2=6]，[y2+z2=a2]，[x2+z2=b2]，可得[a2+b2=8]（定值），从而可得[a+b≤2(a2+b2)=4]，故选C．
二、空间中点、线、面位置关系的判断
例3 下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线与两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ______．
分析 对于空间几何中的概念、公理、定理和推论的理解要结合图形准确把握其本质，特别要注意限制条件，如公理3中的“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．另外，平面几何中的一些正确命题在空间几何中因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题．再就是要借助比较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，有时也可举出反例进行排除．
解 ③④
例4 设[m、n]是平面[α]内的两条不同直线，[l1、l2]是平面[β]内的两条相交直线，则[α∥][β]的一个充分而不必要条件是（ ）
A．[m∥][β]且[l1∥][α] B．[m∥][l1]且[n∥][l2]
C．[m∥][β]且[n∥][β] D．[m∥][β]且[n∥][l2]
分析 本题关键点是树立立体几何中的“模型意识”，借助正方体模型举出反例使抽象问题具体化．
解 如图，借助正方体[ABCD-A1B1C1D1]，易举出反例说明选项A、C、D不符合题意．对于选项B，当[m∥][l1]、[n∥][l2]且[m⊂α]、[n⊂α]时，有[l1∥][α]，[l2∥][α].又[l1]与[l2]相交且都在[β]内，[∴][α]//[β]时，无法推出[m∥][l1]且[n∥][l2]， [m∥][l1]且[n∥][l2]是[α∥][β]的一个充分不必要条件，故选B．
三、空间几何体的截、接问题
例5 如图，若[Ω]是长方体[ABCD-A1B1C1D1]被平面[EFGH]截去几何体[EFGHB1C1]后得到的几何体，其中[E]为线段[A1B1]上异于[B1]的点，[F]为线段[BB1]上异于[B1]的点，且[EH∥][A1D1]，则下列结论中不正确的是（ ）
A．[EH∥][FG] B．四边形[EFGH]是矩形
C．[Ω]是棱柱 D．[Ω]是棱台
分析 本题考查对空间几何体的结构特征的理解与认识，要熟练掌握棱柱的定义、线面平行、垂直的性质，具备一定的逻辑推理论证能力．
解 [∵][EH∥][A1D1]，[∴][EH∥][B1C1]，[∴][EH∥]平面[BB1C1C]．由线面平行性质知，[EH∥][FG]．同理，[EF∥][GH]，且[B1C1⊥]平面[EB1F]．由直棱柱定义知几何体[B1EF-C1HG]为直三棱柱，[∴]四边形[EFGH]为矩形，[Ω]为五棱柱，故选D．
例6 已知球的直径[SC=4]，[A、B]是该球球面上的两点，[AB=2]，[∠ASC=∠BSC=45°]，则棱锥[S-ABC]的体积为（ ）
A．[33] B．[233] C．[433] D．[533]
分析 本题关键点是根据三棱锥特征将其分割成两个小三棱锥体积之和求解．
解 由题可知，[AB]一定在与直径[SC]垂直的小圆面上，作过[AB]的小圆交直径[SC]于[D]，如图所示．
设[SD=x]，则[DC=4-x]，此时所求棱锥即分割成两个棱锥[S-ABD]和[C-ABD]．在[△SAD]和[△SBD]中，由已知条件可得[AD=BD=x]，又因为[SC]为直径，所以[∠SAC=∠SBC=90°]，[∠DAC=∠DBC=45°]. 在[△BDC]中，[BD=4-x]，故[x=4-x]，解得[x=2]，所以[AD=BD=2].
[△ABD]为正三角形，所以[V=13SΔABD×4=433]，故应填C．
【专题训练八】
1．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
[2][正（主）视图] [2] [2] [2] [2][侧（左）视图] [俯视图]
A．[2π+23] B．[4π+23]
C．[2π+233] D．[4π+233]
2．在空间直角坐标系[O-xyz]中，点[P]坐标为[P(2,-1,3)]．若点[A]与点[P]关于[xOy]平面对称，点[B]与点[P]关于[z]轴对称，则[AB=] ．
3．如图，网格纸的小正方形的边长是[1]，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______ ．
4．已知直线[l⊥]平面[α]，直线[m⊂]平面[β]，有下面四个命题：①[α][∥][β⇒l⊥m]；②[α⊥β⇒l][∥][m]； ③[l][∥][m⇒α⊥β]；④ [l⊥m⇒α∥][β]．其中正确的两个命题的序号是（ ）
A．①与② B．③与④
C．②与④ D．①与③
5．设[l、m]是两条不同的直线，[α]是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若[l⊥m]，[m⊂α]，则[l⊥α]
B．若[l⊥α]，[l][∥][m]，则[m⊥α]
C．若[l][∥][α]，[m⊂α]，则[l][∥][m]
D．若[l][∥][α]，[m][∥][α]，则[l][∥][m]
6．已知三棱锥[S-ABC]中，底面[ABC]为边长等于[2]的等边三角形，[SA]垂直于底面[ABC]，[SA=3]，那么直线[AB]与平面[SBC]所成角的正弦值为（ ）
A. [34]______ B. [54]
C. [74]______ D. [34]
7．等边三角形[ABC]与正方形[ABDE]有一公共边[AB]，二面角[C-AB-D]的余弦值为[33]，[M、N]分别是[AC、BC]的中点，则[EM、AN]所成角的余弦值等于______．
8．如图，空间四点[A、B、C、D]中，每两点所连线段的长都等于[a]．动点[P]在线段[AB]上，动点[Q]在线段[CD]上，则[P]与[Q]之间的最短距离为 ．
9．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的[316]，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
10．如图，正四面体[ABCD]的顶点[A、B、C]分别在两两垂直的三条射线[Ox、Oy、Oz]上，则下列命题中错误的是（ ）
A．[O-ABC]是正三棱锥
B．直线[OB][∥]平面[ACD]
C．直线[AD]与[OB]所成的角是[45∘]
D．[OC⊥AB]
11．如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为[1]，过点[A]作平面[A1BD]的垂线，垂足为点[H]，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点[H]是[△A1BD]的垂心
B．[AH⊥]平面[CB1D1]
C．[AH]的延长线经过点[C1]
D．直线[AH]和[BB1]所成的角为[45∘]
12．如图，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，，给出下列四个命题：①点[P]在直线[BC1]上运动时，三棱锥[A-D1PC]的体积不变；②点[P]在直线[BC1]上运动时，直线[AP]与平面[ACD1]所成角的大小不变；③点[P]在直线[BC1]上运动时，二面角[P-AD1-C]的大小不变；④点[M]是平面[A1B1C1D1]上到点[D]和[C1]距离相等的点，则点[M]的轨迹是过[D1]点的直线．其中真命题的序号是______ ．
【参考答案】
1． C 2．[214] 3．[23] 4．D
5．B 6. D 7．[16] 8．[22a]
9. [13] 10．B 11. D 12．①③④