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古希腊数学家毕达哥拉斯认为，一切立体图形最美是球，一切平面图形最美是圆. 而圆的学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习. 数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁. 本文就带领同学们到“圆”的世界里挖掘蕴含其中的数学思想，领略它美丽的风采.
一、 转化思想
转化思想是数学中最基本最重要的思想之一，它的实质是揭示问题的联系. 通常要同学们把未知转化成已知，将题目中不确定的关系转化成确定的关系，将一般情况转化成特殊情况来处理.
1. 圆中弧长和弦长的相互转化
例1 如图1，BC是⊙O的直径，BD与EC是弦，BD=EC，说明AB=AC.
【分析】同学们的思路很清晰，会利用等角对等边，把说明边相等的问题转化成说明角相等的问题. 如图2，一部分同学通过说明三角形全等，实现∠B=∠C. 这种方法很好，利用了圆的半径处处相等的隐含条件构造全等三角形实现角度转化. 还有一部分同学会利用同圆中弧和这条弧所对的弦的关系，把弦相等的问题转化成弧相等. 即通过BD=EC说明■=■，进一步说明■=■，从而实现∠B=∠C.
比较两种方法，利用圆中弧和弦的相互转化是解决圆中线段问题的有效手段.
练习：如图3，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与△ABC的外接圆交于点D.
（1） 若∠BCA=60°，说明△ABD是等边三角形；（2） 设点F为■上一点，且■=■，DF的延长线交BA的延长线于点E，说明AC·AF=DF·FE.
【分析】第二小题中要利用■=■，说明∠CDB=∠FDA，进一步得∠CDA=∠FDB，从而得∠FAE=∠CDA，为相似创造条件，得到AC·AF=DC·FE. 其次利用同弧所对的圆周角相等，对圆周角转化后得到∠DBA=∠DAB，进一步转化为■=■，得到■=■，从而得到DC=DF.
2. 圆中同弧所对圆周角、圆心角的转化
例2 如图4，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6 cm，∠DAC=∠ABC，求AC的长.
【分析】连接DC，如图5，利用同弧■，就可以得到∠ABC与∠ADC相等，在Rt△ACD中实现求AC的目标. 所以同学们在圆中要善于观察同弧所对的圆周角. 必要时构造同弧所对的圆周角转化已知角度.
练习：如图6，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
（1） P是■上一点（不与C、D重合），说明：∠CPD=∠COB；
（2） 点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？
【分析】（1） 如图6，连接OD，由垂径定理可知，■=■，得到∠COB=■∠COD，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠CPD=■∠COD，故∠CPD=∠COB.
（2） 由于∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°.
二、 分类讨论思想
分类讨论在圆中也经常运用到，分类时必须遵循三条原则：（1） 分类标准必须统一；（2） 任何两种情况不能重复；（3） 每一种情况都不能遗漏.
例3 A、B、C、D都在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O半径为13，求以A、B、D、C为顶点的梯形的面积.
【分析】由于圆是轴对称图形，仅仅已知弦长，在圆中的位置是不确定的，所以要分两种情况进行讨论. 如图7，分CD在优弧■和劣弧■上. 利用垂径定理，我们可以分别求得梯形ABDC的高.
练习：（2012·江苏南京）如图8，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角.
（1） 已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
①若AB为⊙O的直径，则∠APB=______；
②若⊙O半径为1，AB=■，求∠APB的度数.
（2） 已知O2为⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB为⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
【分析】（1）①∵AB为圆O的直径，
∴∠APB=90°. 故答案为：90°.
②如图9，连接OA、OB、AB，∵圆O半径为1，AB=■，∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧AB上，则∠AP1B=■∠AOB=45°；
若点P在劣弧AB上，则∠AP2B=180°-∠AP1B=135°. ∴∠APB的度数为45°或135°.
（2） 同学们要探究∠APB与∠MAN、∠ANB的关系，就要考虑点P、M、N在圆中的位置，三个不定点要去研究，分类讨论的标准是一个难点. 如图10，要综合考虑点P在优弧■或劣弧■上，点M、N在优弧■或劣弧■上，从而对∠APB、∠MAN、∠ANB进行分类讨论. 所以，我们进行如下讨论：
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间.
如图①，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB.
第二种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间.
如图②，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB.
第三种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间.
如图③，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°.
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB.
三、 类比思想
类比思想在探究题中经常用到. 它能够解决一些看似复杂困难的问题. 从迁移过程看，有些类比十分明显、直接，比较简单，而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现.
例4 如图11，⊙O1与⊙O2相交于A、B，P为⊙O1优弧■上一点，PA、PB、PO1分别交⊙O2于C、D、E三点.
（1） 写出CD与PE位置关系.
（2） 点P为劣弧■上一点时，（1）中结论是否成立？画出图形.
【分析】（1） 如图12，易得∠PBA=∠ACD，由同弧所对圆周角相等得∠PBA=∠PMA，从而得到∠PMA=∠ACD，由于∠PMA+∠APM=90°，故∠PCD+∠APM=90°，也就是∠CNE=90°，即CD⊥PE.
这类题型由于点的位置不同，图形肯定会发生变化，但类比问题（1），有很多本质没有变：如图13，直线PA交⊙O2于点D，直线PB交⊙O2于点C，直线PO1交⊙O2于点E. 所以，上一题的结论依然成立. 一般情况下这种题的说明思路也是一样的.
（2） 如图14，由同弧所对圆周角相等得∠BCD=∠BAP，∠HPB=∠HAB，所以又得∠CPE=∠HAB，由于HP是直径，所以∠HAB+∠BAP=90°，所以∠PCD+∠CPE=90°，故CD⊥PE.
深入挖掘圆中的数学思想，掌握和深化数学思想，对于提升数学能力有着长远的意义. 掌握数学思想方法，用以对数学问题的认识、处理和解决，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是会印入你的逻辑思维中.
一、 转化思想
转化思想是数学中最基本最重要的思想之一，它的实质是揭示问题的联系. 通常要同学们把未知转化成已知，将题目中不确定的关系转化成确定的关系，将一般情况转化成特殊情况来处理.
1. 圆中弧长和弦长的相互转化
例1 如图1，BC是⊙O的直径，BD与EC是弦，BD=EC，说明AB=AC.
【分析】同学们的思路很清晰，会利用等角对等边，把说明边相等的问题转化成说明角相等的问题. 如图2，一部分同学通过说明三角形全等，实现∠B=∠C. 这种方法很好，利用了圆的半径处处相等的隐含条件构造全等三角形实现角度转化. 还有一部分同学会利用同圆中弧和这条弧所对的弦的关系，把弦相等的问题转化成弧相等. 即通过BD=EC说明■=■，进一步说明■=■，从而实现∠B=∠C.
比较两种方法，利用圆中弧和弦的相互转化是解决圆中线段问题的有效手段.
练习：如图3，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与△ABC的外接圆交于点D.
（1） 若∠BCA=60°，说明△ABD是等边三角形；（2） 设点F为■上一点，且■=■，DF的延长线交BA的延长线于点E，说明AC·AF=DF·FE.
【分析】第二小题中要利用■=■，说明∠CDB=∠FDA，进一步得∠CDA=∠FDB，从而得∠FAE=∠CDA，为相似创造条件，得到AC·AF=DC·FE. 其次利用同弧所对的圆周角相等，对圆周角转化后得到∠DBA=∠DAB，进一步转化为■=■，得到■=■，从而得到DC=DF.
2. 圆中同弧所对圆周角、圆心角的转化
例2 如图4，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6 cm，∠DAC=∠ABC，求AC的长.
【分析】连接DC，如图5，利用同弧■，就可以得到∠ABC与∠ADC相等，在Rt△ACD中实现求AC的目标. 所以同学们在圆中要善于观察同弧所对的圆周角. 必要时构造同弧所对的圆周角转化已知角度.
练习：如图6，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
（1） P是■上一点（不与C、D重合），说明：∠CPD=∠COB；
（2） 点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？
【分析】（1） 如图6，连接OD，由垂径定理可知，■=■，得到∠COB=■∠COD，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠CPD=■∠COD，故∠CPD=∠COB.
（2） 由于∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°.
二、 分类讨论思想
分类讨论在圆中也经常运用到，分类时必须遵循三条原则：（1） 分类标准必须统一；（2） 任何两种情况不能重复；（3） 每一种情况都不能遗漏.
例3 A、B、C、D都在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O半径为13，求以A、B、D、C为顶点的梯形的面积.
【分析】由于圆是轴对称图形，仅仅已知弦长，在圆中的位置是不确定的，所以要分两种情况进行讨论. 如图7，分CD在优弧■和劣弧■上. 利用垂径定理，我们可以分别求得梯形ABDC的高.
练习：（2012·江苏南京）如图8，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角.
（1） 已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
①若AB为⊙O的直径，则∠APB=______；
②若⊙O半径为1，AB=■，求∠APB的度数.
（2） 已知O2为⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB为⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
【分析】（1）①∵AB为圆O的直径，
∴∠APB=90°. 故答案为：90°.
②如图9，连接OA、OB、AB，∵圆O半径为1，AB=■，∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧AB上，则∠AP1B=■∠AOB=45°；
若点P在劣弧AB上，则∠AP2B=180°-∠AP1B=135°. ∴∠APB的度数为45°或135°.
（2） 同学们要探究∠APB与∠MAN、∠ANB的关系，就要考虑点P、M、N在圆中的位置，三个不定点要去研究，分类讨论的标准是一个难点. 如图10，要综合考虑点P在优弧■或劣弧■上，点M、N在优弧■或劣弧■上，从而对∠APB、∠MAN、∠ANB进行分类讨论. 所以，我们进行如下讨论：
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间.
如图①，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB.
第二种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间.
如图②，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB.
第三种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间.
如图③，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°.
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB.
三、 类比思想
类比思想在探究题中经常用到. 它能够解决一些看似复杂困难的问题. 从迁移过程看，有些类比十分明显、直接，比较简单，而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现.
例4 如图11，⊙O1与⊙O2相交于A、B，P为⊙O1优弧■上一点，PA、PB、PO1分别交⊙O2于C、D、E三点.
（1） 写出CD与PE位置关系.
（2） 点P为劣弧■上一点时，（1）中结论是否成立？画出图形.
【分析】（1） 如图12，易得∠PBA=∠ACD，由同弧所对圆周角相等得∠PBA=∠PMA，从而得到∠PMA=∠ACD，由于∠PMA+∠APM=90°，故∠PCD+∠APM=90°，也就是∠CNE=90°，即CD⊥PE.
这类题型由于点的位置不同，图形肯定会发生变化，但类比问题（1），有很多本质没有变：如图13，直线PA交⊙O2于点D，直线PB交⊙O2于点C，直线PO1交⊙O2于点E. 所以，上一题的结论依然成立. 一般情况下这种题的说明思路也是一样的.
（2） 如图14，由同弧所对圆周角相等得∠BCD=∠BAP，∠HPB=∠HAB，所以又得∠CPE=∠HAB，由于HP是直径，所以∠HAB+∠BAP=90°，所以∠PCD+∠CPE=90°，故CD⊥PE.
深入挖掘圆中的数学思想，掌握和深化数学思想，对于提升数学能力有着长远的意义. 掌握数学思想方法，用以对数学问题的认识、处理和解决，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是会印入你的逻辑思维中.