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圆是形状优美、内涵丰富的图形，它在实际生活中的应用很广泛. 同学们认识了圆，学习了圆的一系列基本知识，那么能否把这些知识活学活用，解决一些与圆有关的实际问题？让同学们体会数学的来源和数学的应用是课标的要求，近年来，中考一方面偏向于考查日常生活中圆的简单应用，另一方面也出现了一类从实际生活和生产中取材，要求同学们先动手操作再应用圆的基本性质来计算或证明的新题型. 现例举如下：
一、 圆的知识在日常生活中的简单应用
例1 （2011·江苏常州）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20π cm，则此扇形的半径是____________cm，面积是______cm2.
【解析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出半径：设扇形的半径是r，则由扇形弧长公式有■=20π？圯r=24. 由扇形面积公式可得：扇形面积为■×20π×24=240π.
例2 （2012·贵州毕节）第三十届奥运会于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案由五个圆环组成，图1也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（ ）.
A. 外离 B. 内切
C. 外切 D. 相交
【解析】观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含；并且存在两个圆只有一个公共点，即外切；存在两个圆没有公共点，即外离；存在两个圆有两个公共点，即相交. 因此它们的位置关系有外切、外离、相交. 故选B.
【点评】扇形中相关量的计算在生活中的应用非常广泛，例如扇面、圣诞帽、甜筒，以及某些建筑的房顶设计制作等都与扇形有关. 圆与圆、圆与直线、圆与点的位置关系是本章中所要掌握的基本内容. 以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标，用背景公平、切合实际、富有趣味的题目检验同学们基础知识的掌握程度，这种考题已逐步呈现于各地的中考试卷中.
二、 实际背景下与圆有关的操作探索题
例3 （2005·江苏常州）如图2，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔. 现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形），并且分别说明理由.
【解析】到现在为止，我们学习了很多线段中垂线的确定方法，本题有三种思路. 方法一：如图3，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），过点O作TH的垂线l交TH于D，则点D就是TH的中点；方法二：如图4，根据三角形的三条高交于一点、等腰三角形三线合一，分别过点T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F作直线l交HT于点D，则点D就是HT的中点；方法三：如图5，根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，过点T、H分别作圆O的切线，两切线交于点G，连接OG得直线l，l与HT的交点D就是HT的中点.
【点评】俗话说条条大路通罗马，但是三种方法竞相呈现眼前时，孰优孰劣、孰简孰繁显而易见. 通过这道题同学们可以体会到随着数学知识的积累，对很多问题的处理都可化繁为简.
例4 （2012·江西省）已知，纸片⊙O的半径为2，如图6，沿弦AB折叠操作.
（1） 如图7，折叠后的■经过圆心O时，求■的长度；
（2） 如图8，当弦AB=2时，求折叠后■所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3） 再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作：①如图9，当AB∥CD，折叠后的■与■所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；②如图10，当AB与CD不平行，折叠后的■与■所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论.
【解析】圆本身就是轴对称图形，折叠前后的图形又具有轴对称性，所以本题的切入点就是构造轴对称图形，利用轴对称性把问题的相关量转化到等腰三角形和直角三角形中去解决. （1）如图11，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到■的圆心角，再根据弧长公式计算，求得■的长度=■=■.
（2） 如图12，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求得折叠后■所在圆的圆心O′到弦AB的距离为■.
（3） ①如图13，■与■所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H，交CD于G，交■于点E，交■于点F，根据垂径定理及折叠性质可证点P在EF上，进而求点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=■PE+■PF=■（PE+PF）=2.
②当AB与CD不平行时，根据三角形中位线定理可证线段相等，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证. 证明如下：
如图14，设O′、O″为■和■所在圆的圆心.
∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，
∴点M为OO′的中点，点N为OO″的中点.
∵折叠后的■与■所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P.
∵折叠后的■与■所在圆与⊙O是等圆.
∴O′P=O″P=2.
∴PM=■OO″=ON，PN=■OO′=OM.
∴四边形OMPN是平行四边形.
【点评】本题的综合性很强，涉及图形翻折变换的轴对称性、等边三角形的判定和性质、两圆相切的性质、平行四边形的判定、垂径定理、弧长公式、解直角三角形和三角形的中位线定理等知识点. 解决这类问题同学们不仅要有扎实的基本功，更重要的是根据题目的关键信息找到切入点，即根据题意联系到相关的性质和定理，并添加适当的辅助线构造基本图形，将问题各个击破.
希望以上几个例题的解析对同学们有所帮助，以后再遇到有关圆的实际问题时能做到“心中想明白，手下巧操作”.
一、 圆的知识在日常生活中的简单应用
例1 （2011·江苏常州）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20π cm，则此扇形的半径是____________cm，面积是______cm2.
【解析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出半径：设扇形的半径是r，则由扇形弧长公式有■=20π？圯r=24. 由扇形面积公式可得：扇形面积为■×20π×24=240π.
例2 （2012·贵州毕节）第三十届奥运会于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案由五个圆环组成，图1也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（ ）.
A. 外离 B. 内切
C. 外切 D. 相交
【解析】观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含；并且存在两个圆只有一个公共点，即外切；存在两个圆没有公共点，即外离；存在两个圆有两个公共点，即相交. 因此它们的位置关系有外切、外离、相交. 故选B.
【点评】扇形中相关量的计算在生活中的应用非常广泛，例如扇面、圣诞帽、甜筒，以及某些建筑的房顶设计制作等都与扇形有关. 圆与圆、圆与直线、圆与点的位置关系是本章中所要掌握的基本内容. 以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标，用背景公平、切合实际、富有趣味的题目检验同学们基础知识的掌握程度，这种考题已逐步呈现于各地的中考试卷中.
二、 实际背景下与圆有关的操作探索题
例3 （2005·江苏常州）如图2，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔. 现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形），并且分别说明理由.
【解析】到现在为止，我们学习了很多线段中垂线的确定方法，本题有三种思路. 方法一：如图3，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），过点O作TH的垂线l交TH于D，则点D就是TH的中点；方法二：如图4，根据三角形的三条高交于一点、等腰三角形三线合一，分别过点T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F作直线l交HT于点D，则点D就是HT的中点；方法三：如图5，根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，过点T、H分别作圆O的切线，两切线交于点G，连接OG得直线l，l与HT的交点D就是HT的中点.
【点评】俗话说条条大路通罗马，但是三种方法竞相呈现眼前时，孰优孰劣、孰简孰繁显而易见. 通过这道题同学们可以体会到随着数学知识的积累，对很多问题的处理都可化繁为简.
例4 （2012·江西省）已知，纸片⊙O的半径为2，如图6，沿弦AB折叠操作.
（1） 如图7，折叠后的■经过圆心O时，求■的长度；
（2） 如图8，当弦AB=2时，求折叠后■所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3） 再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作：①如图9，当AB∥CD，折叠后的■与■所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；②如图10，当AB与CD不平行，折叠后的■与■所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论.
【解析】圆本身就是轴对称图形，折叠前后的图形又具有轴对称性，所以本题的切入点就是构造轴对称图形，利用轴对称性把问题的相关量转化到等腰三角形和直角三角形中去解决. （1）如图11，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到■的圆心角，再根据弧长公式计算，求得■的长度=■=■.
（2） 如图12，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求得折叠后■所在圆的圆心O′到弦AB的距离为■.
（3） ①如图13，■与■所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H，交CD于G，交■于点E，交■于点F，根据垂径定理及折叠性质可证点P在EF上，进而求点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=■PE+■PF=■（PE+PF）=2.
②当AB与CD不平行时，根据三角形中位线定理可证线段相等，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证. 证明如下：
如图14，设O′、O″为■和■所在圆的圆心.
∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，
∴点M为OO′的中点，点N为OO″的中点.
∵折叠后的■与■所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P.
∵折叠后的■与■所在圆与⊙O是等圆.
∴O′P=O″P=2.
∴PM=■OO″=ON，PN=■OO′=OM.
∴四边形OMPN是平行四边形.
【点评】本题的综合性很强，涉及图形翻折变换的轴对称性、等边三角形的判定和性质、两圆相切的性质、平行四边形的判定、垂径定理、弧长公式、解直角三角形和三角形的中位线定理等知识点. 解决这类问题同学们不仅要有扎实的基本功，更重要的是根据题目的关键信息找到切入点，即根据题意联系到相关的性质和定理，并添加适当的辅助线构造基本图形，将问题各个击破.
希望以上几个例题的解析对同学们有所帮助，以后再遇到有关圆的实际问题时能做到“心中想明白，手下巧操作”.