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【摘要】 用极限的思想去研究函数是高等数学的重要研究方法之一,为此关于函数极限的求法成为了高等数学的一个重点,因而两个重要极限显得尤为重要,而在高等数学教材中关于重要极限的证明都是基于实数理论,具有一定难度,特别是第二个重要极限值的得来更难理解,本文介绍了几种关于重要极限的简洁证明方法,能给读者的理解带来一些方便。
【关键词】 重要极限 无穷小量 洛必达法则 夹逼准则 驻点 连续
【中图分类号】 O171 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0139-01
1 的证明
1.1 利用圆的面积公式证明
证明:设圆的半径为,圆心为,作圆的内接正边形,设为其一边,为其所对的圆心角,则,所以三角形的面积为
(1)
故内接正边形的面积
(2)
由极限的思想可以得知,当边形的边数无限增大时,则边形无限接近于圆周,故边形得面积无限接近于圆的面积,即
(3)
所以,由归结原理得到:
1.2 利用夹逼准则证明
夹逼准则 若变量满足;
(1)
(2),则
证:首先,函数对于一切都有定义,如图1-1所示,圆为单位圆,。圆心角为,所以,,由于(1)
所以
即(2)
不等式两边同时除以,得
即
因为,由夹逼准则得到:
2 的证明,利用夹逼准则证明
引理 设,其中,是一个正数,则满足
1)当时,取得最大值;
2),;
3)
4)
证1)在上时可导的,即
令,得驻点,且当时,则;当时,,由极值判别法知:当时,函数取得最大值。
2)由1)知当时,取得最大值,所以;
同理函数在上只有一个驻点,此时函数取最大值,故
3)由2)知和,即和
故
4)由3)知:
不等式两边同乘以,得
,即,所以,即
定理
证 由引理4)知,因为,由夹逼准则知
参考文献
[1] 赵明.关于重要极限的推证及应用[J].张家口职业技术学院学报,2008,21(3):79-80.
[2] 易良海,许伯生.高等数学(上)[M].上海:上海交通大学出版社,2008:24-25,72.
【关键词】 重要极限 无穷小量 洛必达法则 夹逼准则 驻点 连续
【中图分类号】 O171 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0139-01
1 的证明
1.1 利用圆的面积公式证明
证明:设圆的半径为,圆心为,作圆的内接正边形,设为其一边,为其所对的圆心角,则,所以三角形的面积为
(1)
故内接正边形的面积
(2)
由极限的思想可以得知,当边形的边数无限增大时,则边形无限接近于圆周,故边形得面积无限接近于圆的面积,即
(3)
所以,由归结原理得到:
1.2 利用夹逼准则证明
夹逼准则 若变量满足;
(1)
(2),则
证:首先,函数对于一切都有定义,如图1-1所示,圆为单位圆,。圆心角为,所以,,由于(1)
所以
即(2)
不等式两边同时除以,得
即
因为,由夹逼准则得到:
2 的证明,利用夹逼准则证明
引理 设,其中,是一个正数,则满足
1)当时,取得最大值;
2),;
3)
4)
证1)在上时可导的,即
令,得驻点,且当时,则;当时,,由极值判别法知:当时,函数取得最大值。
2)由1)知当时,取得最大值,所以;
同理函数在上只有一个驻点,此时函数取最大值,故
3)由2)知和,即和
故
4)由3)知:
不等式两边同乘以,得
,即,所以,即
定理
证 由引理4)知,因为,由夹逼准则知
参考文献
[1] 赵明.关于重要极限的推证及应用[J].张家口职业技术学院学报,2008,21(3):79-80.
[2] 易良海,许伯生.高等数学(上)[M].上海:上海交通大学出版社,2008:24-25,72.